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初中数学竞赛辅导资料(57)

发布时间:2014-04-09 09:14:21  

初中数学竞赛专题选讲(初三.13)

逆推法

一、内容提要

1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理,那么与习惯方法相反的逆向推理方法,就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言,没有绝对的界限.

2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如:

① 乘法公式的逆向应用之一,就是因式分解. 还有其他变形的应用,如:

(x+y)2=x2+xy+y2,以x, y的基本对称式,表示x, y的平方和、立方和(差):

x2+y2=(x+y)2-2xy , x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y).

② 分数的加减法则的逆向应用,可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差): 1=111ab, . ???n(n?1)nn?1a?ba?b

③ “互为相反数相加得零”的逆向应用:0=a+(-a).

在因式分解中折项,添项,配方都用到它,在证明恒等式或化简、计算中也常用它. ④ 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如:

?a(a?0)a?a??的逆向应用是: ?a(a?0)?2

当a≥0时,a=a;当a<0 时,a= -a;

2如 x<y<0时, 则x-y=-(x?y). 22

⑤ 因为定义可以反叙,所以定义既是判定又是性质. 例如:

对应边成比?例相似多边形的定义: . ??相似多边形对应角相等?

方程解的定义:若m 是方程ax2+bx+c=0的解,则 am2+bm+c=0;

反过来,若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解.

⑥ 对于定理的逆用,当然要先判断定理的逆命题为真.

一个定理的题设和结论不只一项时,交换题设和结论中的一项,就组成一个逆命题,故逆命题有多个,有真,有假.

一般地,若题设和结论都是唯一对象的定理,它有逆定理;

对于分段式的定理也有逆定理.

3. 解答数学题通常是:在顺向推理有困难时用反向推理;在正面探求有困难时用反面探求;直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握,灵活应用,那么解题能力就能较大地提高.

二、例题

例1解方程(a2-12112222x+(x+c-a=0 . (a-?c))?0). 222bbb

204

分析:由观察法,可得到一个根为1 (∵方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解:

∵方程a2-11222+(+ c-a=0 , 有一个实数根是1 . ?c)22bb

∴可设另一根为x2, 根据韦达定理

c?a2b2(c2?a2)

得 1×x2==. 221ab?1a2?2b2

b2(c2?a2)

解得 x2=. a2b2?1

b2(c2?a2)

∴原方程的解是 x1=1, x2=. 22ab?1

例2. 化简3--3?. 解:∵3-5-3?<0, ∴3-5-3?=-(3-5-3?5)2

=-3-?3?5-2(3-5)(3?) =-2.

例3. 已知:a?1,b?1 . 求证:a?b??ab.

分析:本题直接证明有困难,不论是从左到右或从右到左,都难以完成,估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法,从结论倒推出应有的不等式. 由a?b??ab

两边平方,得a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2.

a2+b2-a2b2-1<0,

分解因式:(1-b2)(a2-1)<0,

由已知可推出这不等式.

证明: ∵a?1,b?1, ∴a2<1,b2<1,

∴a2-1<0,1-b2>0.

(a2-1)(1-b2)<0,

a2+b2-a2b2-1<0,

∴a2+b2+2ab<1+a2b2+2ab

∴(a+b)2<(1+ab)2 .

∴ a?b??ab.

205

例4. 已知:四边形ABCD中,AB+BD<AC+CD. 求证:AB<AC.

分析:直接推导,应证明 BD=CD或BD>CD. D

即证明∠BCD≥∠1,有困难,不妨用反证法. 这也是一种逆推法,从反面推导.

证明:设AB不小于AC,即AB≥AC, ∴∠2≥∠ABC.

∵∠BCD>∠2, ∠ABC>∠1.

∴∠BCD>∠1.

∴BD>CD.

∴AB+BD>AC+CD,这和已知条件相矛盾,故假设不能成立.

∴AB<AC.

例5. 有100个人排成一列,自1往下报数,报奇数的人,走出队列,留下的人按原顺序

重新报数,报奇数的又走出队列,这样继续下去,最后留下一人,问这人第一次报数是多少?

解:从第1,2,3??次往下推,可知人数分别是100,50,25,12,6,3人,要确定留下的人,依次是报几号,最好是用逆推法,由最后一次,在3人中的报号必定是2;上一次,在6人中的报号必定是报4;再上一次在12人中,必是报8. 其规律是:21,22,23,?,2 n.

所以,第一次报数应是小于100的2的最高次幂,

∵26<100<27,

∴这人第一次报数是2 6即64.

例6. 计算:3×5×17×257×??×(22n?1).

2n分析:本题直接计算有困难,可由通式2?1,用确定n的自然数值,回还原数3,

a2?b2

5,17,257,?再逆用平方差公式a+b=, 就可很快得出结果 . a?b

(2+1)解:原式= (22021?1)(22?1)(28+1)?(22?1) n2n 22?124?128?1216?122?2?1?2???2n=. 2?12?124?128?12?1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)??(2

=22n?12n?1) ?1

三、练习

1. 已知:a,b,c,d 都是实数 . 求证: (a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd).

2. 已知:a,b,c 是△ABC的三边长. 求证: (ab+bc+ca)<(a+b+c)<4(ab+bc+ca).

---3. 已知: a2+a1-1=0, b4+b2-1=0, ab2≠1. 求:a1+b2的值.

206

4. 已知: (x+y)(y+z)(z+x)=0,xyz≠0. 求证: 1111. ??? xyzx?y?z

4xk?k215. 已知:方程不会增根. 求:实数k取值范围. ?1??2x?2x?24?x

6. 已知:a, b, c 是互不相等的实数. 求证:b?cc?aa?b222 ?????(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)a?bb?cc?a.

27. 已知:x=(a+a?1)

化简:( x1

m1n2mnm?n(mn≠0,m≠n,a>1). 11?mn ?x)2-4a2x

8. 小王卖馒头,第一次卖去一半又半个,第二次卖去剩下的一半又半个,第三次又卖去剩

下的一半又半个,这时,还剩有馒头一个,问小王共拿几个馒头来卖?

9. 三个容器内都有水,如果把甲容器内的水的

倒入丙容器,最后把丙容器内现有的水的11倒入乙容器,再把这时乙容器内的水的341倒入甲容器,则各容器内的水都是9升,10

问原有各容器内的水各是几升?

10. 求证: 不论a 取什么值,如下方程都有实数解.

(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a=0.

11. 要使下列三个方程中至少有一个方程有实数根,m的取值应是什么?

2x2-2x+m=0, x2 +2mx+m-m+=0, (m+1)x2-2mx+m+2=0.

12. 90张卡片,每张都写上一个非负整数,这90个数字的和不超过1979求证90张卡片中

至少有3张数字相同.

13. 已知:△ABC中边BC被点D和点E三等分,求证:AD,AE不能三等分∠BAC.

14. 已知:不等式x2+ax+b<0 的解集是2<x<3, 则a=____,b=_____

15. 55599??????______. 10?1111?1212?13100

2)x?(3?2)x?10,则x=____. 16. 已知:(?

17.

计算 )

(A)1. (B)5. (C

) (D)52. (2000年全国初中数学联赛题)

练习题参考答案

1,2两题都可以用求差法证明,也可用反证法.

3.由已知a-1,b2是方程 x2+x-1=0相异的两根

4.由已知x,y,z至少有两个是互为相反数

5. k=-1,2

207

6.b?c11可由逆推而出 ?(a?b)(a?c)a?ba?c

7. 0

8. 15 个

9.甲12,乙8,丙7.

10.先化为关于a的方程,(x4-3x2-4)a=2x2-x3-x4,0a=0时,a有一切实数解?

11.用反推法,若三个方程都没有实数根,解不等式组得m的值是

∴当m?1?m?1, 21或m ≥1时,三个方程中至少有一个方程有实数根. 2

10. 反推若只有两张相同,则(0+1+2+?+44)×2=1980>1979,所以要把1张调换

小于44的非负整数,于是??

11. 用反证法,设∠BAD=∠DAE=∠EAC,则BDAB==1, DEAE

即AD⊥BE,同理AE⊥DC,这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,??

12. a=-5, b=6.

13. 15. 9. 40

14. 16. x=2, x=-2.

15. 17.(C).

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