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初中数学竞赛辅导资料(59)

发布时间:2014-04-09 09:14:22  

初中

一、内容提要 专题选讲(初三.15) “或者”与“并且”

1.“或者”与“并且”的词义是清楚的,区别也是明显的. 例如:

① 正整数a是3或5的倍数,那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15??;

如果正整数b是3的倍数且是5的倍数,那么b=15,30,45,60,??. 在正整数中,设3的倍数的集合为P,5的倍数集合为Q,那么 :

a 是P和Q两个集合中的所有元素,而b是这两个集合中的公共元素. ?x?2,② ?是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当 y??1.?

x=2并且y=-1时,等式x+y=1成立.

?x?2,等价于x=2并且y=-1. ??y??1.

x?2?记作?? x=2并且y=-1. y??1?

x=2, x=-2是方程x2-4=0 的两个解.

即当x=2或者x=-2时,等式x2-4=0成立.

x=2或x=-2 可记作 x=±2 .

即 x=±2? x=2或x=-2.

2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.

①.x≥4?x>4或x=4.

②.-4<x<4?x>-4且x<4??

③.x ≠2?x<2或x<2 ?x??4, ?x?4.

?x?2?④.x≠±2?x≠2且x≠-2???

x??2??

)如图:

3. 判断带有“或者”词义的命题的真假:

第一种,命题结论带有“或者”的. 例如:

⑤ 命题3≥2,读作3大于2或等于2,它是真命题. 因为“3大于2”, “3等于2”两个命题,用“或者”连结,只要有一个成立,就是真命题. ⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”,也是真命题,因为这个命题等价于:

若a=0, 则a2>0或a2=0,两个结论,用“或者”连结,有一个成立即可. 212

第二种,命题的题设出现“或者”的. 例如

⑦ 命题“如果a≥0,则a2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a2=0. 它是假命题 因

为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于:

若a=0,则a2=0且若a>0,则a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.

⑧ 方程和方程组的解:

方程( x-a)(x-b)=0, 同解于x-a=0或者x-b=0.

?x?a?0,方程组? 同解于x-a=0并且x-b=0. x?b?0.?

⑨ 不等式和不等式组的解集:

不等式组??x?a?0, 等价于x+a>0并且x+b>0. x?b?0.?

?x?a?0,?x?a?0, 或者? ?x?b?0;?x?b?0.不等式(x+a)(x+b)>0 等价于?

二、例题

例1.写出下列命题的等价命题:

①实数a, b, c都不为零; ②实数a,b,c不都为零; ③x=±3且y=±2;

??4?x?4,④? x?0.?

?a?0???解:①. a, b, c都不为零.?a≠0且b≠0且c≠0.??b?0??abc≠0.

?c?0???

②. a, b, c不都为零?a, b, c中至少有一个不为零.

?a≠0或b≠0或c≠0.

?不是a, b, c都等于零.

?a2+b2+c2≠0.

③. x=±3且y=±2 ???x??3?? y??2??

?x?3或x??3???? ?y?2或y??2?

?3?x?3,?x?3,?x??,?x??3,或或或 ????y?2;y??2;y?2;y??2.????

??4?x?4,④.??x?0.??x??4??x??4,?x??4,?????x?4? ??x?4,或?x?4,

?x?0或x?0??x?0;?x?0.????

213

2??x?4,例2. 解方程组?2 2??x?y?6.

解:由x2=4,得x=±2.

把x=±2.代入4+y2=6, 得y=±2.

∴原方程组的解是 ??x??2,

?y??2. ?x?2,?x?2,?x??2,?x??2,即原方程组有四个解:? ? ? ?

?y?2;?y??2;?y?2;?y??2.

例3. 已知:a, b, c是△ABC的三边,试按下列条件判定三边之间的大小关系: ① (a-b)(b-c)=0 ; ②(a-b)2+(b-c)2=0.

解:① ∵当a-b=0或b-c=0时,等式成立.

∴a, b, c三边的大小关系是:

a=b;或b=c;或a=b=c.

② ∵当(a-b)2=0且(b-c)2=0时,等式成立.

?a?b?0, ∴? b?c?0.?

∴a, b, c三边的大小关系是:a=b=c.

例4. x取什么值时,下列各式在实数范围内有意义?

①?x3?x; ②1

4?x.

?1?x?0,?x3?x解:① 有意义.?? 3?x?0.?

???x??1, x?3.?

这个不等式组的解集,是 -1≤x≤3.

∴当-1≤x≤3时,?x?x有意义.

?x?0,② 有意义.?? 4?x?4?x?0.1

?x?0,?? x?16.?

∴这个不等式组的解集,是:x≥0且x≠16.

214

即当0≤x<16或x>16时,1

4?x有意 义.

例5. 绝对值的几何意义是:在数轴上,一个数的绝对值,就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义,解不等式:①x<5; ②y>3.

解:① x<5,就是表示x 的点离开原点的距离小于5. (如图)

即 x>-5且x<5. ∴x<5的解集是-5<x<5.

② y>3,就是表示y的点离开原点的距离大于3. (如图)

即y<-3 或y>3.

∴y>3的解集,是;y<-3 或y>3 .

例6. 已知:方程1t??0无解. x?2x?2

求:t的值. (1987年泉州市初二数学双基赛题)

解:去分母,得x+2+t(x -2)=0.

整理为关于x的一次方程, (t+1)x=2(t-1).

当??t?1?0, 时,原方程无解. 2(t?1)?0.?

解这个方程组,得: t=-1;

当x=2 或x=-2时原方程也无解.(∵这是增根).

分别以x=2, x=-2代入方程 (t+1)x=2(t-1).

当x=2,t无解; 当x=-2 时, t=0.

综上所述,

当t=-1 或t=0 时,方程

三、练习

1. 填空:

① 当a=_______ 时,1t??0无解. x?2x?21 没有意义. (a?1)(a?3)

② 当x________时, 1有意义. 2x?9

x?1在实数范围内有意义. x?3③ 当x________时,

215

④ 当整数b=__________ 时,3的值是整数. b

⑤ 方程x+y=2 的正整数解是______,非负整数解是________. ⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有_________.

⑦ 经过一点有一条__只有一条直线和已知直线垂直.

2. 用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题

① x≠0?_______________.

② a≠±3?______________.

③ -3<x≤2?_____________.

3. 用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题,并判断其真假.

①如果x2=16, 那么x= ±4. ②如果a=±3, 那么a=3.

③如果x=0, 那么x2≥0. ④如果y ≥0, 那么y2>0. ⑤如果x<4, 那么-4<x<4. ⑥如果y≥2, 那么y≤-2或y≥2. ⑦如果x是实数, 那么x2+1≥0. …..⑧如果x≥-3,. 那么x?3=x+3.

4. x取什么值时,下列各式能成立?

①(x-2)(x+3)=0 ; ②(x+1)(x-2)>0; ③2<x -1<5.

2??x?3,5. 解方程组 ?2 ??x?y?1.

??3?x?5,6. 解不等式组 ? x?2.?

7. 若a是不为0的实数,那么根式?a的取值范围是什么?

(1989年泉州市初二数学双基赛题)

8. a,b 是实数,若要由a2>b2 能得出a>b, 那么a, b 应满足什么条件?

(1989年泉州市初二数学双基赛题)

9. △ABC中∠A≤∠B≤∠C且2∠C=5∠A,那么∠B的取值范围是什么?

(1989年泉州市初二数学双基赛题)

10. a, b, c 三实数不都是零,可表示为( )

(A) a+b+c ≠0. (B) abc≠0 . (C) a2+b2+c2≠0. (D) ab+bc+ca ≠0.

11. 已知最简根式a2a?b 与a7是同类根式,那么应满足条件的a, b 的值

是___________. ( 1989年泉州市初二数学双基赛题)

12. 方程x=ax+2 有一个负数根且没有正数根,那么a 的取值范围是____________. (1987年全国初中数学联赛题)

练习题参考答案

216

1. ①-1或3 ②3且-3 ③ x≥1且 x≠3 ④1或-1或3或-3 ⑤x=1且y=1;?? 2 ①x>0或x<0 ②a<-3或-3<a<3或a>3?

3只有④假命题

4①2或-3③3<x<6

5有4个解

6.2<x<5 7.0<-a<1

8.a+b>0

? 9. 40≤∠B≤75

10.(C)

11. a=3且b=1

12.大于或等于1.

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