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初中数学竞赛辅导资料(62)

发布时间:2014-04-09 09:14:28  

初中数学竞赛专题选讲(初三.18)

绝对值

一、内容提要

1. 绝对值的定义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零.?a(a?0)?用式子表示如下:a???a(a?0)

?0(a?0)?

2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简,方程、不等式的解法,以及函数作图等.解答

时,一般是根据定义先化去绝对值符号,这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负,若含有变量的代数式,不能确定其正、负时,则采取零点分区讨论法. 例如:

(1)化简 x(x?2)

解:当x=0, x=2时, x(x?2)=0;

当x<0或x>2时, x(x?2)=x(x-2)=x2-2x;

当0<x<2时,x(x?2)=-x(x-2)=-x2+x.

(2)解方程x?x?2=6.

解:当x<0时,x=-2;

当0≤x≤2时,方程无解;

当x>2时,x=4.

∴原方程的解是:x=-2, x=4..

(3)作函数y=x?x?2的图象.

解:化去绝对值符号,得y=-2x+2 (x<0);

y=2 (0≤x≤2) ;

y=2x-2 (x>2).

分别作出上述三个函数的图象(如图),就是函数y=x?x?2的图象.

3. 绝对值的几何意义是:在数轴上一个数的绝对值,就是表示这个数的点离开原点的距离.

用这一定义,在解含绝对值符号的方程、不等式时,常可用观察法.

例如: ①解方程x?3; ②解不等式x?3; ③解不等式x+2?3.

解:①∵x?3的几何意义是:x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数,

即3和-3,

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∴方程x?3的解是x=3, x=-3. ②∵x?3的几何意义是:x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数,∴不等式x?3的解集是 -3<x<3. ③∵x?2的零点是x=-2, ∴x+2?3的几何意义是:x是数轴上到点(-2)的距离大于3个单位的点所表示的数, ∴x+2?3的解集是x<-5或x>1.(如下图)

4.

①绝对值是非负数; ②两个互为相反数,它们的绝对值相等.

根据这些性质,可简化函数的作图步骤. 例如:

(1)对整个函数都在绝对值符号内时,可先作出不含绝对值符号的图象,再把横轴下方的

部份,绕x轴向上翻折

2作函数图象:①y=x?1 ②y=x?x?2

(2) 当f(-x)=f(x),图象关于纵轴对称,这时可先作当x<0时函数图象,再画出关于纵

轴对称的图象.

例如:y=x2-2x-3的图象,

可先作y=x2+2x-3自变量x<0时的图象(左半图)

再画右半图(与左半图关于纵轴对称).

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(3) 把y=x的图象向上平移a个单位,所得图象解析式是y=x?a; 把y=x的图象向右平移3个单位,所得图象解析式是y=x-3.

(4) 利用图象求函数最大值或最小值,判断方程解的个数都比较方便.

二、例题

例1. 已知方程x=ax+1有一个负根并且没有正根,求a的值.

(1987年全国初中数学联赛题)

解:当x<0时,原方程为-x=ax+1, x=

∴a>-1;

当x>0时,原方程为x=ax+1, x=

∴a<1.

∵方程有一个负根并且没有正根,

∴a>-1且a≦1,

∴a的取值范围是a≥1.

例2. 求函数y=2x-?x的最小、最大值. -1?0, ∴ a+1>0. a?11?0, ∴1-a>0. 1-a

解:当x<0时, y=-x+6;

当0≤x<3时,y=-3x+6;

当x≥3时, y=x-6 .

根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值-3(当x=3时).

例3. 解方程:①x?2?4?x; ②x??x?2?4.

解:①∵点(x)到点A(-2)和点B(4)的距离相等(如下图),

∴x=1.

239

②∵点(x)到点A(-1)与到点B(2)的距离的和等于4,=3

∴x=2.5, x=-1.5.

例4. 解不等式: ①1≤x?2≤3; ②x??x?2?1.

解:①点(x)到点A(-2)的距离大于或等于1而小于或等于3

在数轴上表示如图,

∴不等式的解集是: -5≤x≤-3 或-1≤x≤1

②点(x) 到点(-1)的距离,比到点(2)的距离大1个单位以上.

在数轴上表示,如图:

∴不等式的解集是x>1.

例5. a取什么值时,方程x?2?1?a 有三个整数解?

(1986年全国初中数学联赛题) 解:化去绝对值符号,得x?2?1=±a, x?2=1±a , x-2=±(1±a),

∴x=2±(1±a) .

当a=1时,x恰好是三个解4,2,0.

用图象解答更直观;

(1)先作函数 y=x?2?1 图象,

(2)再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=x?2?1 图象相交,

恰好是三个交点时,y=1,

即a=1.

本题若改为:

有四个解,则0<a<1;

两个解,则 a=0 或a>1;

一个解,则a不存在;

无解,则a<0.

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三、练习

1. 方程x?3=4的解是_______.

2. 方程x-2-x?6=0的解是________.

3. 方程x??x?2=3的解是________.

4. 方程x??x=5的解是_______.

5. 不等式2≤ x?3≤5的解集是___________________.

6. 不等式x??x?2<5的解集是_______________________.

7. 不等式x??x?2<3的解集是_______________________.

8. 不等式2x-?x?的解集是_______________________.

29. 已知(x?3)?3-x, 那么 ?x?x?_______________.

10. 关于x的方程x=ax+2有根且只有负根,求a取值范围.

11. a取什么值时,方程x?2?1?a无解?有解?有最多解?

12. 作函数y=x?2?x??x?3的图象;并求在-3≤x≤3中函数的最大、最小值.

13. 解方程x??x?5?4.

214. 作函数y=x?x?1的图象.

15. 选择题:(1972、1973年美国中学数学竞赛试题)

①.对于实数x ,不等式1≤|x-2|≤7等价于( )

(A) x≤1或x≥3 (B)1≤x≤3 (C)-5≤x≤0

(D)-5≤x≤1或3≤x≤9 (E)-6≤x≤1或3≤x≤10

②不等式|x-1|+|x+2|<5的所有的实数解的集合是( )

?3?x?2? (B) ?x:?1?x?2? (C) ?x:?2?x?1? (A)?x:

?1.5?x?3.5? (E) φ(空集) (D) ?x:

1. -7,1.

241 练习题参考答案

2. .2. –2.

3. 3. –1≤x≤2.

4. 4. –1,4.

5. 5.-2≤x≤0, 5≤x≤8

6. –2<x<3

7.空集. 8. 0<x<2 3

9.当x<1时,原式=1;当1≤x≤3时,原式=2x-1.

10.仿例1.

11.仿例5

12. 函数的最大值是11,最小值是5.

13. 1≤x≤5.

15.(D),(A).

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