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初中数学竞赛辅导资料(63)

发布时间:2014-04-09 09:14:29  

初中数学竞赛专题选讲(初三.19)

动态几何的定值

一、内容提要

1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.

用动的观点看几何定理,常可把几个定理归为一类. 例如:

① 梯形的中位线,当梯形的上底逐渐变小,直到长度为零时,则为三角形的中位线; ② 两圆相交,两个公共点关于连心线对称,所以连心线垂直平分公共弦,当两个交点

距离逐渐变小,直到两点重合时,则两圆相切,这时切点在连心线上;

③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化,而演变为割线定理,切割线定理,切线长

定理等等.

2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动,有的几何量随着运动的变化

而有规律变化,这就出现了轨迹和极值问题,而有的量却始终保持不变,这就是定值问题. 例如:

半径等于RA的圆A与半径为RB (RB>RA) 的定圆B内切.那么:

动点A有规律地变化,形成了一条轨迹:以B为圆心,以RB-RA的长为半径的圆. 而A,B两点的距离,却始终保持不变:AB=RB-RA.

若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切,则A,C两点的距离变化有一定的范围: RB+RC-(RB-RA)≤AC≤RB+RC+(RB-RA).

即RC+RA≤AC≤2RB+RC-RA .

所以AC有最大值:2RB+RC-RA ; 且有最小值:RC+RA.

3. 解答动态几何定值问题的方法,一般有两种:

第一种是分两步完成 :

① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.

② 再证明它能成立.

探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明.

第二种是采用综合法,直接写出证明.

二、例题

例1. 已知:△ABC中,AB=AC,点P是BC上任一点,过点P作BC的垂线分别交AB,AC或延长线于E,F.

求证:PE+PF有定值.

分析:(探求定值)用特位定值法.

① 把点P放在BC中点上. 这时过点P的垂线与AB,AC的交点都是点A,

PE+PF=2PA,从而可确定定值是底上的高的2倍因此原题可转化: 求证:PA+PB=2AD (AD为底边上的高). 证明:∵AD∥PF,

PEBPPFCPCD+PD=; . ADBDADCDBDPEPFBPCD+PD2BD+2. ∴ADADBDBDBD∴ 242

∴PE+PF=2AD.

② 把点P放在点B上.

这时PE=0,PF=2AD(三角形中位线性质),

结论与①相同. 还可以由PF=BC×tanC,把定值定为:BC×tanC. 即求证PE+PF=BC×tanC. (证明略)

同一道题的定值,可以有不同的表达式,只要是用题中固有的几何量表示均可.

例2. 已知:同心圆为O中,AB是大圆的直径,点P在小圆上

求证:PA2+PB2有定值.

分析:用特位定值法.设大圆,小圆半径分别为R,r.

① 点P放在直径AB上.

得PA2+PB2=(R+r)2+(. R-r)2=2(R2+r2).

② 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上

也可得PA2+PB2= R2+r2+R2+r2=2(R2+r2).

证明: 设∠POA=α,根据余弦定理,得

PA2=R2+r2-2RrCosα, PB2=R2+r2-2RrCos(180-α). ?PE+PF=2. AD∵Cos(180-α)=Cosα.

∴PA2+PB2=2(R2+r2).

本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的,所以可省去探求定值的步骤,直接列出PA,PB与R, r的关系式,关键是引入参数α.

例3. 已知:△ABC中,AB=AC,点P在中位线MN上,BP,CP的延长线分别交AC,AB于E,F. 求证:?11+有定值, BFCE

分析: 本题没有明显的特殊位置,不过定值一般是用三角形边长a, b, c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明. 证明:设MP为t, 则NP=

∵MN∥BC, 1a-t. 2C

MPMFNPNE??∴, .

BCBFBCCE 243

11BF?ccta?ta?t1?即?; ???

1aBFaBFBFac2

11111a?tCE?ba?tba?t

1? ????

1aCEaCECEab2

1a?t?a?t

113+∴=?

1BFCEcac

23

∵c 是定线段,∴是定值. c

113+即有定值. BFCEc

C例4. 已知:在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点),以M为圆心作圆M和AB相切,分别过A,B作⊙M的切线,两条切线相交于点C. 求证:∠ACB有定值. 分析: ⊙M是△ABC的内切圆,∠AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周

角,它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=所求定值可用它来表示.

证明:在△ABC中,∠MAB+∠MBA=180-∠AMB,

∵M是△ABC的内心,

∴∠CAB+∠CBA=2(180-∠AMB). ∴∠ACB=180-(∠CAB+∠CBA)

=180-2(180-∠AMB) = 2∠AMB-180.

由正弦定理

?

?

?

?

?

?

AB

), 2R

ABAB

?2R, ∴Sin∠AMB=.

Sin ?AMB2R

∵弧AB所在圆是个定圆,弦AB和半径R都有定值,

∴∠AMB有定值.

∴∠ACB有定值2∠AMB-180.

244

?

三、练习

1. 用固有的元素表示下列各题中所求的定值 (不写探求过程和证明):

①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________.

②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是________.

③.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是_________.

④.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边,相交得五个角:∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5它们的度数和是________,延长凸n边形 (n≥5)的各边相交,得n个角,它们的度数和是___________. (2001年希望杯数学邀请赛初二试题)

⑤.两个定圆相交于A,B,经过点B任意作一条直线交 一圆于C,交另一圆于D, 则AC有定值是_____________. .AD

⑥.在以AB为直径的半圆内,任取一点P,AP,BP的延长线分别交半圆于C,D,

则AP×AC+BP×BD有定值是_________.

⑦.AB是定圆O的任意的一条弦,点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B),PA,

PB分别交AB的中垂线于E,F.则OE×OF有定值是__________.

2. 已知:点P是⊙O直径AB上的任一点,过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.

求证:PC2+PD2有定值.

3. 已知:点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点,点P在BC的延长线上,PD

⊥BA交BA延长线于D,PE⊥AC交AC的延长线于E.

求证:∠DOE是定角

4. 已知:点P是线段AB外一点,PD⊥AB于D,且PD=AB,H是△PAB的垂心,C是AB的中点.

求证:CH+DH是定值.

5. 已知:AB,CD是⊙O的两条直径,点P是⊙O上任一点(不含A,B,C,D). . 求证:点P在AB,CD的射影之间的距离是个定值.

6. 经过∠XOY的平分线上的任一点A,作一直线与OX,OY分别交于P,Q则OP,OQ的倒数和是一个定值.

7. △ABC中,AB=AC=2,BC边有100个不同点P1,P2,……,P100,

记mi=APi2+Bpi×PiC (i=1,2,3,……,100).

则m1+m2+……+m100=________. (1990年全国初中数学联赛题)

8.. 直角梯形ABCD中,AB∥CD,DA⊥AB,AB=26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q,点P在CD上,由D向C以每秒1cm的速度移动,点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时,①BCPQ为平行四边形?等腰梯形?②PQ与以AD为直径的圆O相切?相离?相交?

?

练习题参考答案

1 ①腰上的高. ②一边上的高或3r3 . ③ nrn. ④ 180度,(n-4)180度. ⑤两圆半径比. ⑥AB2 ⑦⊙O的半径的平方.

2. 定值是AB平方的一半, 证Rt△COM≌Rt△OBD, OM=DN.

3. 定值是直角, 以PA为直径的圆经过A,O,E,P,D五点, PE=AD,

∠AOD=∠POE .

245

4. 定值是AB的一半,证明 仿例3.

5. 定值是⊙O的半径与两直径夹角的正弦的积,证明仿例4.

6. 定值是2Cos?111(∠xoy=2α),证明 作AR∥OQ交Dx于R,. ??OAOQOPAR

7. 4×100.

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