haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2006年全国初中数学联赛

发布时间:2014-04-09 13:53:20  

2006年第8期23

●竞赛之窗●

2006年全国初中数学联赛

6.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:

20,40,60,80,100,104,….

则这列数中的第158个数为(  ).(A)2000(B)2004(C)2008(D)2012二、填空题(每小题7分,共28分)1.函数y=x-2006 x +2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于

.

2.在等腰Rt■ABC中,AC=BC=1,M是BC的中点,CE⊥AM于点E,交AB于点F.则S■MBF3.使

2

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知四边形ABCD为任意凸四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长;S1、p1分别表示四边形EFGH的面积和周长.设k,k1.则下面关于k、k1

S1p1的说法中,正确的是(  ).

(A)k、k1均为常值(B)k为常值,k1不为常值(C)k不为常值,k1为常值(D)k、k1均不为常值

2.已知m为实数,且sinα、cosα是关于x的方程3x-mx+1=0的两根.则sinα+cosα的值为(  ).

(A9

(B3

2

4

2

4

.

x+4+(8-x)+16取最小值

.

的实数x的值为

4.在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100).若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足

S■POA·S■PBC=S■PAB·S■POC,

就称格点P为“好点”.则正方形OABC内部

好点的个数为.

注:所谓格点,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.

第二试

2

(C9

(D)1

3.关于x的方程

=a仅有两个不同x-1(B)a≥4(D)0<a<4

的实根.则实数a的取值范围是(  ).

(A)a>0(C)2<a<4

2

4.设b>0,a-2ab+c=0,bc>a.则实数a、b、c的大小关系是(  ).

(A)b>c>a(C)a>b>c

(B)c>a>b(D)b>a>c

2

A 卷

  一、(20分)已知关于x的一元二次方程

x+2(a+2b+3)x+(a+4b+99)=0无相异两实根.则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组?

二、(25分)如图1,D为等腰■ABC底边BC的中点,E、F分别为AC及其延长线上的,AD2

2

2

5.a、b为有理数,且满足等式a+b36×1+4+23.则a+b的值为(  ).

24中等数学

求线段BC的长

.

参考答案

第一试

  一、1.B.

如图3,易知S■AEH=S■CFG=

1

S■ABD

,

三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD

中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为■CEF、■ABE的外心.求证:

(1)O、E、O1三点共线;

(2)∠OBD2∠ABC.

B 卷

一、(20分)同A卷第一题.

二、(25分)同A卷第二题.三、(25分)如图2,在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O1分别为■CEF、■ABE的外心.

(1)求证:O、E、O1三点共线;(2)若∠ABC=70°,求∠OBD的度数.

C 卷

一、(20分)同A卷第二题.二、(25分)同B卷第三题.

三、(25分)设p为正整数,且p≥2.在平面直角坐标系中,点A(0,p)和点B(p,0)的连线段通过p-1个格点C1(1,p-1),…,Ci(i,p-i),…,Cp-1(p-1,1).证明:

(1)若p为质数,则在原点O(0,0)与点Ci(i,p-i)的连线段OCi(i=1,2,…,p-1)上除端点外无其他格点;

(2)若在原点O(0,0)与点Ci(i,p-i)的连线段OCi(i=1,2,…,p-1)上除端点外

,1

S.4■CBD

故S■AEH+S■CFG=1

S.■DHG

图3

同理,S■BEF+S故S1=

=

1

S.4

1

S,即k=2为常值.3;再取邻边长分别为1、3的又易知p1=AC+BD,特别地,若取邻边长分别为1、2的矩形,则k1=矩形,则k1=

2.C.

由根与系数的关系知sinα·cosα=sin4α+cos4α

22=(sin2α+cos2α)-2(sinα·cosα)=

42=.故k1不是常值.1

.则有3

7.3.D.

当a<0时,无解;

当a=0时,x=0,不合题意;

x2

当a>0时,原方程化为=±a.整理得

x2-ax+a=0,①或 x2+ax-a=0.②因为方程②的判别式大于0,则方程②有两个不同实根.

又因为原方程仅有两个不同的实根,故必有方程①的判别式小于0,从而,0<a<4.

4.A.

由bc>a2及b>0,知c>0.

由2ab=a2+c2及b>0,知a>0.

2

由a2-2ab+c2=0,知b2-c2=(a-b)≥0.

从而,b≥c.

若b=c,由a2-2ab+c2=0,知a=b.从而,a=b=c.与bc>a2矛盾,故b>c.

2006年第8期

由b2>bc>a2,知b>a;

又由a2+c2=2ab>2a2,知c>a.5.B.++2+(1如图5,在直角坐标系xOy中,设A(0,-2),B(8,4),P(x,0),有

PA =

x2+4,

25

=+63=33所以,a+b=3+,即(a-3)+(b-1=0.

又a、b为有理数,则a=3,b=1,即a+b=4.6.C.

在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包括含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和不包含数字0的18种情形.

显然,满足条件的两位数仅有4个;满足条件的三位数共有9×7=63个;满足条件且千位数字为1的四位数共有7×10+18×1=88个.

因为4+63+88=155,则从小到大第155个满足条件的数为1980.

下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、1.0.

原问题可转化为求方程x2-2006 x +2008=0的所有实根之和.

若实数x0为方程①的根,则其相反数-x0也为方程①的根.所以,方程的所有实根之和为0,即与x轴交点的横坐标之和等于0.

.212

如图4,作BG⊥BC交CF的延长线于点G,易证Rt■ACM≌Rt■CBG.

故BG=CM,S■CBG=S■ACM=1S图4

■ABC

2

PB =(8-x)+16.

则 PA + PB ≥ AB =8+6=10.

图5

当且仅当A、P、B三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A、P、B三点共线时,原式取最小值.

此时,易知■BCP∽■AOP,有CPBC4

===2.从而,OP=

18

OC=.33

8

.3

故原式取最小值时,x=4.197.

如图6,过点P分别作PD、PE、PF、PG垂直于边OA、AB、BC、OC于点D、E、F、G.易知

PF+PD=100,PE+PG=100.由S

■POA

·S■PBC

图6

=S■PAB·S■POC,知PD·PF=PE·PG,即

  PD(100-PD)=PG(100-PG).

化简为(PD-PG)(PD+PG-100)=0.故PD=PG或PD+PG=100,即PD=PG或PG=PF.

于是,P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点.

同理,当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时,满足

S■POA·S

■PBC

.

又易证■BFM≌■BFG,故S■BGF=S■BMF=S从而,S8

3.■MBF

■CMF

=S

■PAB

·S

■POC

.

.

因此,当且仅当P为对角线OB或对角线AC内部的格点时,点P为好点.

易知OB内部有99个好点,AC内部也有99个好点.又易知对角线OB与AC的交点也为好点,于是,99-1=个.

111

=S■CBG=S■ABC=.

26中等数学

第二试A 卷

  一、因为x2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+99)=0无相异两实根,所以,

Δ=[2(a+2b+3)]2-4(a2+4b2+99)≤0.

化简为2ab+3a+6b≤45,则(a+3)(2b+3)≤54.又因为a、b为正整数,所以,

54≤54

2b+3≤.

a+34

则2b+3≤13.故b≤5.

54

当b=1时,a+3≤,故a≤7.符合条件的有

5

序正整数对共有7组.

54

当b=2时,a+3≤,故a≤4.符合条件的有

序正整数对共有4组.

54

当b=3时,a+3≤,故a≤3.符合条件的有

序正整数对共有3组.

54

当b=4时,a+3≤,故a≤1.符合条件的有

11

序正整数对只有1组.

54

当b=5时,a+3≤,故a≤1.符合条件的有

13

序正整数对只有1组.

综上所述,符合条件的有序正整数组共有7+4+3+1+1=16组.

二、如图7,过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥AD于点H.则∠EDG=∠DFH.故

Rt■EDG≌Rt■DFH.设EG=x,DG=y,则DH=x,FH=y,且 x2+y2=1.①

又Rt■AEG∽Rt■AFH,则

图7EGAG

=,FHAHx5-y即=.

化简为x2+y2=5(y-x).②由式①、②知

1

y-x=.③

22

由(x+y)+(y-x)=2(x2+y2),知

1492

(x+y)=2-,

7

即 x+y=.④

由式③、④知x=

34,y=.CDEG

=.ADAG

又因为Rt■AEG∽Rt■ACD,则

3

EG55

故CD=AD·=5×=.

AG47

5-5所以,BC=2CD=10.

7

三、(1)如图8,联结OE、OF、O1A、O1E.因为四边形ABCD为平行四边形,所以,

∠ABE=∠ECF.又因为点O、O1分别为■CEF、■ABE的外心,所以,

OE=OF,O1A=O1E,

∠EOF=2∠ECF=2∠ABE=∠AO1E.于是,有■OEF∽■O1EA.故∠OEF=∠AEO1.所以,O、E、O1三点共线.

(2)联结OD、OC.因为四边形ABCD为平行四边形,所以,

∠CEF=∠DAE=∠BAF=∠CFE.故CE=CF.

又因为点O为■CEF的外心,所以,OE=OF=OC.则■OCE≌■OCF,有∠OEC=∠OFC=∠OCF.故∠OEB=∠OCD.

又∠BAE=∠EAD=∠AEB,则EB=AB=DC.因此,■OCD≌■OEB.所以,∠ODC=∠OBE,OD=OB,∠ODC=∠OBC,∠OBD=∠ODB,

∠OBD=∠OBC+∠CBD=∠ODC+∠BDA=∠ADC-∠BDO=∠ABC-∠OBD.故∠OBD=

1

∠ABC.2

图8

另解:同上,有∠ODC=∠OBE.故O、B、D、C四点共圆.则∠OBD=∠OCF11

∠FCB=∠ABC.22

2006年第8期27

2006年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛

  一、选择题(每小题5分,共50分)

1.以AB为边向正五边形ABCDE的形外作一正■ABF.则∠CFE等于(  ).

(A)36°(B)48°(C)72°(D)108°2.如果b1、b2都满足关于x的不等式(x-a1)(x-a2)<0,且b1<b2,a1<a2,则下列结论正确的是(  ).

(A)a1<b1<b2<a2(B)b1<a1<b2<a2(C)a1<b1<a2<b2(D)b1<a1<a2<b2

B 卷

一、同A卷第一题.二、同A卷第二题.

三、同A卷第三题,得∠OBD=

1

∠ABC.2

3.如果a+b+c=0,则

111

=-4,abc

的值为(  ).abc(A)3

(B)8

(C)16

(D)20

4.如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AC=4,BC=6,BD=8.则梯形ABCD的面积为(  ).

(A)415

(B)16(C)8(D)32

易知1≤a<i,1≤b<p-i.由

bp-i

=,知(a+b)i=ap.图1

从而,i ap.

因为p为质数,且1<i≤p-1,则i与p互质.

从而,i a.故i≤a.这与a<i矛盾.

所以,假设不成立.从而原结论成立.

(2)假设结论不成立,即p为合数.故p=xy,其中x、y∈N+,且2≤x,y≤p-1.因为■OAB内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到p-1之间的任何整数,故必存在一格点P(a,b),满足a+b=x.于是,(a+b)y=xy=p,即

ay+by=p.

因此,点(ay,by)必是C1(1,p-1),C2(2,p-2),…,Cp-1(p-1,1)中的一个点,设为Ci(i,p-i).

bp-i

=.ai

所以,点P(a,b)在线段OCi内部,即在线段从而,有ya=i,by=p-i.故

OCi上除端点外还有其他格点.这与已知矛盾.

故原结论成立.

图9

又因为∠ABC=70°,所以,∠OBD=35°.

C 卷

一、同A卷第二题.

二、同B卷第三题.

三、(1)用P(a,b)表示■OAB内的格点,a、b为正整数.

假设结论不成立,则点P位于某条线段OCi内部(如图9).过点P作PE⊥OB于点E,过点Ci作CiF⊥OB于点F.

由■OEP∽■OFCi,知

b

p-i=,其中1≤i≤p-1.i

(许清华 提供)

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com