haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

数论的方法和技巧 03高斯函数

发布时间:2014-04-09 14:04:45  

高斯函数[x]的性质及应用

定义:用[x]表示不超过x的最大整数,函数y=[x]称为高斯函数.例如[5]?5,

例如{5}?0,{?2}?2?2,等。 显[?2]??2.用{x}表示x- [x]称为x的小数部分.然,x?[x]?{x}.0?{x}?1.

1.函数y =[x]及y={x}的性质

①[[x]]?[x],[{x}]?0,{[x]}?0.

②x?1?[x]?x?[x]?1.

③若x?y,则[x]?[y].即函数[x]是不减的,

a④若b?0,由a?bq?r,(q?z,0?r?b),得[]?q? b

⑤若n?Z,则[x?n]?[x]?n,{x?n}?{x}.

⑥[x]?[y]?[x?y],{x}?{y}?{x?y}.

⑦若x?0,y?0,则[xy]?[x]?[y].

⑧若{x}??,则{nx}?{n?},(n?Z,0???1)?

2.函数y?[x]和y?{x}的图象:

y?[x] y?{x}

由图象可以看出,函数y=[x]的图象是个阶梯形的图象,

而y={x}则是一个周期为1的周期函数.

在解与[x]有关的题目时,通常可以利用[x]性质把问题转化为不等式求解,因此限定x的范围,使问题得解,

(1)与 [x] 有关的计算

例1 求和式?[

n?110023n]的值

101

5例2. (1993年亚太地区竞赛题)求函数f(x)??x??[2x]?[x]?[3x]?[4x]在 3

0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数.

1093

例3. (1993年全国高中联赛)试求正整数[31]的末两位数字.

例4. 设k、n?N,??k?11?k2?,求?n的整数部分[?n]除以k所得的余数.

24

(2)运用 [x] 的性质证明含[f(n)]的恒等式和不等式 例5. 对于任意n?N(n?1),试证明:

[n]?[n]??

?[n]?[log2n]?[log3n]???[lognn]

例6. 若n[x]?N,x?n(n?1)???(n?7),求证:[x

]?n2?7n?6.

例7. n?N,求证:[x][2x][nx]???

??[nx].12n①

例8. 设有n个小于1 000的正整数:a1a2、?、an?其中任意两个数ai、aj的最小公倍数[ai,aj]?1000,求证:?i?1n13??①

ai2

(3)运用 [x] 的性质解含[α]的恒等式和不等式

例9. 解方程lg2x

?[lgx]?2?0

例10.(1989年第二十三届全苏竞赛题)当n是怎样的最小自然数时,方程10n

[]?1989有整数解?

例11. (第三届美国邀请赛题)前1000个正整数中可以表示成

[2x]?[4x]?[6x]?[8x] 的正整数有多少个?

例12. n?N,求证:[x]?

[y]?(n?1)[x?y]?[nx]?[ny].

(4)运用 [x] 的性质解含[α]的杂题

例13. 设集合A?{an|an?3n2?2n,n?N}, B?{f(n)|f(n)?[n?n1?],n?N}.求证:A?

B??,A?B?N.

32

例14. 设x?(5?26)1000,求[x]的末三位数.

例15. 令an?[2n],求证:在数列{an}中有无穷多个项是2的整数次方幂,

例16. (1992年四川高中竞赛题)设正实数a>1,自然数n≥2.且方程[ax]=x恒有n个不同的解.求a的取值范围.

练习题

1.用<x> 表示不小于x的最小整数,则方程?x2??8[x]?24?0的解为( )

A. -5 <x< -4 B. 一6<x< -5 C.x< -5 D. -5≤x≤

-4

2.方程32x?[10?3x?1]?32x?[10?3x?1]?82??80的整数解的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

122221000

]?。

3.[]?[]?[]???[33

4.[4n2?3n?1]?(n为正整数). 答:2n.

5.?[

n?0502305n]?

503

6.求证:对任意实数x,y都有[2x]?

[2y]?[x]?[y]?[x?y].

7.解方程:x

2?4[x]?1?0.

8.解方程:[x]2?

x?{x}.

9. S?1

2?1

3???1

,求[S

]

10.解方程:x

3?[x]?3?

1020000

11.求正整数[]的个位数字.

12. n?N,定义f(n)?min{k?n|k?N},求证:[f

(n)]?[4n?1].

k

13. 求证:

]?[log31000]??

?[log10001000].①

[]?[]???[]?[log21000

5n

2?6nn]?[]? 14. n?N, 求证:[25n?55

15.求正整数29?21)100]的末二位数.

16.求证:存在m、n?N,(m,n)?1,且n?999,使得|m

?n|?1? 1000

17.证明:存在有理数

立,

cc73]对于k?1、,其中d?100,使得[k?]?[k.2?、99均成d100d

实战练习题

1. (2008.天津)设[x]表示不超过x的最大整数,则?[

k?120082008k]的值是

. 2009

2. (2008.湖北) 设[x]表示不超过x的最大整数,则

[log21]?[log22]?[log23]???[log2500]?

3. (2008.山东) 对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,已知正数数列{an}满足:a1?1, sn?11111则[?(an?),其中Sn为数列{an}的前n项和,???]2anS1S2S100等于( ).

A 17 8 18 C. 19

D. 20

4. (2008.湖南) 某学校数学课外活动小组,在坐标纸上模拟设计沙漠植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1?1,y1?1,当n≥2时,

k?1k?2?x?x?1?5[]?5[],k?1??k55 ?k?1k?2??k?y?[]?[]?k?1?55?

其中[a]表示实数a的整数部分,例如[2.6]=2,[0.6]=0.按此方案,第2 008 棵树种植点的坐标为 .

5. (1989年中国科大少年班入学试题) 通项为an?b[n?c]?d的数列,逐项算得各项为l,3,3,3,5,5,5,5,5,7,…,该数列由全体正奇数m依次连续出现m次组成,其中b,c,d为待定的整数,那么b+c+d的值是几?

[解析] 显然c??1,b?1,以n=l,2,5代入得

a1?b[c?1]?d?1,

a2?b[c?2]?d?3,

a5?b[c?5]?d?5.

又n?c?n?1?c?n?c?1.

?[n?c]?[n?1?c]?[n?c?1], 故知[n?c?1]?[n?c]?0或1.(当n+c+l不是完全平方数时取“0”.当n+c+l是完全平方数时取“1”).

?a2?a1?b([?2]?[?1])?2.

?b?2.

[?2]?[c?1]?1.

?c?2是完全平方数,令c?2?m2(m为非负整数)由c≥-1知m≥1. 又由a5?a2?2.知[m3?3]?m?1. 于是m3?3?m?1.

解得:m≤1.于是m=l,c=-1.

再由ai =1,得d=1.

?an?2[n?1]?1.

下面证明这个式子正确.

当n?k2(k为正整数)时,an?2(k?1)?1?2k?1.

而当n取k2?1,k2?2,?,k2?2k?1这2k +1个值时,都可由①得an?2k?1. 这说明由①求得的数列可依次由第m个奇数连续出现m次组成. 即由①给出的数列满足题意:...b+c+d=2.

6. (2008.澳大利亚) 数列{an?n?[n]?[n]|n?N?}不包含哪些正整数?

7.(1994年美国邀请赛题)求使[log21]?[log22]?[log23]???[log2n]?1994 成立的正整数n

.

8. (2008.克罗地亚)求Sn?[]?[2]???[n2?1]的关于n的简化代数表达式

.

9. (2008.安徽)设a1?1,an?[n?1](n?2),其中[x]表示不超过x的最大整数.证明:无论an取何正整数时,不在数列{an}中的素数只有有限多个.

10. (2004.瑞典)求所有的实数x,满足方程[x2?2x]?2[x]?[x2],其中[a]表示不超过a的最大整数.

11. (2005.罗马尼亚) 已知方程{x{x}}??,??(0,1).

?p?m??(1)证明:当且仅当m,p,q?Z,0?p?q,p,q互质,???时,方程有有理?q?q??2

数解;

(2)当??2004时,求方程的一个解.

20052

. 12. (2005.斯洛文尼亚) 求所有正数x,使得20{x

}?0.5[x]?2005

37,13. (2006.波斯尼亚、黑塞哥维纳) 证明:对于每个正整数n,有{n7}?其中{x}表示x的小数部分.

14. (2007.地中海地区) 设x为大于1的非整数,证明:

(x?{x}[x]x?[x]{x}9?)?(?)?? [x]x?{x}{x}x?[x]2

其中[x]与{x}分别表示x的整数部分和小数部分.

x2x3x15. (2007.泰国) 求出所有满足等式x?[]?[]?[]的正实数解,其中[x]表335

示不超过实数x的最大整数.

16. (2007.奥地利) 求所有的五元正整数组(x1,x2,x3,x4,x5)满足

x?x52x1?x22x2?x32x3?x42]?[]?[]??[4]=38成立,其中[x]表示不超过x的最大整数.

x1?x2?x3?x4?x5,且使得[

17. (2008.澳大利亚) 对任意的实数x满足{x}=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,求下面方程组的全部实数解(a,b,c):

?{a

}?[b]?{c}?2.9,①??{b}?[c]?{a}?5.3,②

?{c}?[a]?{b)?4.0.③?

n?N,n?2,求证: ??x?nk?1x?2nk?1x?(n?1)nk?1]?[]???[])??[x],?1?k?[x]?1,

x?0,x?0.

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com