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2014年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答

发布时间:2014-04-09 17:05:26  

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

1. 已知x,y为整数,且满足(?

( )

A.1个. B. 2个. C.3个. D.4个.

【答】C.

显然x?y(否则原式不成立),故原式两边可同时乘上(1x111211)(2?2)??(4?4),则x?y的可能的值有yxy3xy11,化为: ?)xy

1121111???(?)(4?4) 44xy3xyxy

(1)若11??0,则x??y,故x?y?0; x4y4

112112y,则 ??0?(?)?1?x?44xy3xy2?3y

6y4??2为整数. 2?3y2?3y(2)若 因为x,y为整数,所以3x?

易得:当y=1时,x=-2,符合题意,此时x?y??1;

当y=2时,x=-1,符合题意,此时x?y?1.

所以x?y的可能的值有3个.

2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为( )

A.45912. B.. C.. D.. 791625

【答】A.

1

(y?z)2(1?x)27344t?2x(y?z)?yz?2x(y?z)??2x(1?x)???(x?)2??. 444777

等号当且仅当x?32,y?z?时成立. 77

3.在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=( )

A

【答】B.

连接PC,则易知PC=BP=3,

由勾股定理可得CE?

BC?.

所以BD?

. B

. C

D

. 2?

PD?由△AEP∽△BDP

AE?.

4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是( )

A.1223. B.. C.. D.. 2534

【答】B.

选出3张卡片的可能性共有C6?20种,其中可以组成三角形的三边长可以是4、4、6;4、4、2;6、6、4;6、6、2.每一组需要算两次,所以概率为38

20?2

5.

35.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}?t?[t].已知实数x满足x?1?18,则x3

1{x}?}?( ) x

11A.. B.

3 C

.(3?. D.1. 22

【答】D. 由x?311x?

可解得?

18x??

1,23xx

33设a?

b?k=a+b.则ab?1,a?b?18

所以a?b?(a?b)(a?ab?b)?(a?b)[(a?b)?3]?18

2 33222

即k?3k?18?0.

因式分解得(k?3)(k?3k?6)?0.

显然k?3k?6?0,所以k=3

,即x?

又因为x为无理数,所以{x}??1.

6.在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形, ∠ADE=90° ,则BE的长为( )

A

.4? B

.2. C

【答】A.

如图,过点D作DF⊥AB于点F,设DF=x,则易得AF=EF=DF=x

,AD?

因为∠A=60°,AC=1

,所以BC?BD=2x,AB=2

所以CD?2x.

在△ACD

中,由勾股定理可得:2x)?1?).

解得:x?1

又因为CD?2x?

0,所以x?1

所以BE?AB?2x?4?(另外,本题也可以通过计算tan15°来求解.)

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.已知实数a,b,c满足a?b?c?1【答】0.

因为a?b?c?1 所以2223221??3. x1x11). D

1. 2. CB111则abc?______. ???1,a?b?cb?c?ac?a?b111111???1可化为???1. a?b?cb?c?ac?a?b1?2c1?2a1?2b

(1?2a)(1?2b)?(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?1 (1?2a)(1?2b)(1?2c)通分后可得:

即3?4(ab?bc?ca)?4(a?b?c)?1?4(ab?bc?ca)?2(a?b?c)?8abc

整理得:abc?0

3

2.使得不等式

【答】 144. 9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为_________. 17n?k15

9n878???n?k?n 17n?k1589

87由题意可知n?n?2?n?144, 98

当n=144时,126<k<128,当且仅当k=127时,不等式成立,所以n的最大值为144.

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB=BC,∠BPC=108°,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心(三角形的三条内角平分线的交点),则∠PAC=______.

【答】 48°. 因为?BPC?108??90??1

2?BAE

所以?BAE??BCP?36? 所以?CPB?180??108??36??36??

所以?BAC?48? 故?PAC?90??

4.已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c,a?b?c?111,b2?ac,则b?_________.

【答】36.

设(a,c)=d,则根据b2?ac,我们可设a?dp,c?dq, (1<p<q),则b?dpq. 代入a?b?c?111可得:d(p?pq?q)?111.

所以d|111,故d=1或3或37或111(舍去).

若d=1,则p?pq?q?111, 易枚举得p=1,q=10,舍去; 22222234?BAC 11?48???36??48? 22C

?a?27?22若d=3,则p?pq?q?37,易枚举得p=3,q=4.故则?b?36,符合题意;

?c?48?

若d=37,则p?pq?q?3,易枚举得p=1,q=1,舍去.

综上可得,b=36.

4

22

第二试(A)

一.(本题满分20分)

设实数a,b满足a(b?1)?b(b?2a)?40,a(b?1)?b?8,求

解 由已知条件可得ab?(a?b)?40,ab?(a?b)?8.

设a?b?x,ab?y,则有x?y?40,x?y?8.……………………………5分 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).……………………………………………10分 若(x,y)?(2,6),即a?b?2,ab?6,则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根,但这个方程的判别式??(?2)?24??20?0,没有实数根;……………………15分 若(x,y)?(6,2),即a?b?6,ab?2,则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根,这个方程的判别式??(?6)?8?28?0,它有实数根. 22222222211的值. ?22ab

11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2???8.………………………20分 所以2?2?22222ababab2

二.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,E为对角线BD上一点,且满足∠ECD=∠ACB,AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明:∠DFE=∠AFB.

B

证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知∠ECD=∠ACB=∠DAF. …………………5分

又A、B、F、D四点共圆,所以∠BDC=∠ABD=∠AFD.

所以△ECD∽△DAF. ………………………………………………………………10分

5

所以ED

DF?CD

AF?AB

AF. …………………………………………………………………20分

又∠EDF=∠BDF=∠BAF,所以△EDF∽△BAF,故∠DFE=∠AFB. …………25分

三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz,则称n具有性质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质333P?并说明理由.

解 取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P.

取x?y?2,z?1,可得5?23?23?13?3?2?2?1,所以5具有性质P.…5分 为了一般地判断哪些数具有性质P,记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz,

则f(x,y,z)?(x?y)?z?3xy(x?y)?3xyz 33333

?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

=(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 3

1?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2

1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 2

1即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ①…………10分 2

不妨设x?y?z,

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1; 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2;

如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1); 由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.

因此,1,5和2014都具有性质P. …………………………………………………20分 若2013具有性质P,

则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).

注意到3|2013,从而可得3|(x?y?z)33,故3|x(?y?z,)于是有

6

9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013不具有性质P. ………………………………………………………………………25分

第二试 (B)

一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.

二.(本题满分25分)如图,已知O为△ABC的外心,AB=AC,D为△OBC的外接圆上一点,过点A作直线OD的垂线,垂足为H.若BD=7,DC=3,求AH. A

A

HO

BC 解 延长BD交⊙O于点N,连接CN,延长OD交CN于点E,

由题意得∠NDE=∠ODB=∠OCB=∠OBC=∠CDE,所以DE为∠BDC的平分线. 又点D在⊙O的半径OE上,点C、N在⊙O上,

所以点C、N关于直线OE对称,DN=DC,CN⊥HE. ……………………………10分 延长AH交⊙O于点M,因为O为圆心,AM⊥OD,

所以点A、M关于直线OD对称,AH=MH.

又因为CN⊥HE,所以CN∥AH,因此MN=AC=AB. ……………………………15分 又∠FNM=∠FAB,∠FBA=∠FMN,所以△ABF≌△NMF,

所以MF=BF,FN=AF. ……………………………………………………………20分 因此,AM=AF+FM=FN+BF=BD+DN=BD+DC=7+3=10,

即2AH=10,所以AH=5. ……………………………………………………………25分

7

三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz,则称n具有性质P.

(1)试判断1,2,3是否具有性质P;

(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数有多少个? 解 (1)取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P;

取x?y?1,z?0,可得2?13?13?03?3?1?1?0,所以2具有性质P;…5分 若3具有性质P,则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),从而可得3|(x?y?z),故3|(x?y?z).

于是有9|(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|3,这是不可能的,所以3不具有性质P. …………………………………………………………………………………10分

(2)记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz,则 333333333

f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz

?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)

=(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx) 3

1?(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 2

1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 2

1即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2] ①…………15分 2

不妨设x?y?z,

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1; 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2;

如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1); 由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.…………20分 又若3|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),则3|(x?y?z),从而33

3|(x?y?z),进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx).

8

综合可知:当且仅当n?9k?3或n?9k?6(k为整数)时,整数n不具有性质P. 又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数共有224×2=448个. ……………………………………………………25分

9

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