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初中数学联赛

发布时间:2014-04-09 17:05:29  

中国教育学会中学数学教学专业委员会

答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.

2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足 2a?4?b?24?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A)

(B (C)1

(D)2 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y

?ax?by?3,

的方程组? 只有正数解的概率为( ).

?x?2y?2 (A)

12513 (B) (C) (D) 1291836

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

1

5.关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AH的值为 . AB

8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为 .

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的

平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等

于 .

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:

每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告

诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉

他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报

3的人心里想的数是

2

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11(A).函数y?x2?(2k?1)x?k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围.

11(B).已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1), (x2,y2),

2且x12?x2?t2?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

12(A).在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数y?(x?90)2?4907的图像上所有“好点”的坐标.

12(B).已知正整数a满足192a3?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

13(A).如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

13(B).已知AB为⊙O的直径,弦DC//AB,连接

的垂线,与BA的延长线交于点E,过点E作AC的平行线交CD于点F,过点D作AC的平行线交BF于点G.求证:AG?BG.

3

14(A).n个正整数a1,a2, ?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009,且a1,a2, ?,an中任意n-1个不同数的算术平均数都是正整数,求n的最大值.

14(B).已知正整数x,y使得

4xy. x?y4xy是一个奇数,证明:存在一个正整数k,x?y使得4k-1整除

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.已知非零实数a,b 满足

2a?4?b?24?2a,则a?b等于( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【答】C.

解:由题设知a≥3

,所以,题设的等式为b?2?0,于是a?3,b??2,从而a?b=1.

2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,

且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( ).

(A

) (B

(C)1 (D)2 【答】A.

解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

1a?, aa?1BOBC?,即 ABAC

所以, a2?a?1?0.

4

由a?

0,解得a?1?. 2

3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y

?ax?by?3,的方程组? 只有正数解的概率为( ). x?2y?2?

(A)12513 (B) (C) (D) 1291836

【答】D.

解:当2a?b?0时,方程组无解.

6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时,方程组的解为? ?y?2a?3.?2a?b?

?2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知,得?即?a?,或?a?, 22?2a?3?0,??????2a?b?b?3,?b?3.

由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得

3,4,5,6,?a?2,?a?1,共有 5×2=10种情况;或?共3种情况. ?b?1,2,b?4,5,6,??

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为13. 36

4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,?B?90?. 动点P从点 B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y. 把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为( ).

(A)10 (B)16 (C)18 (D)32

【答】B.

5

解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故

1S△ABC=×8×4=16. 2

5.关于x,y的方程x2?xy?2y2?29的整数解(x,y)的组数为( ).

(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组

【答】C.

解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为

x2?yx?(2y2?29)?0.

由于该方程有整数根,则判别式?≥0,且是完全平方数.

2由 ??y2?4(2y2?29)??y706, ?≥11

解得 y2≤116?16.57

.于是 显然,只有y2?16时,??4是完全平方数,符合要求.

当y?4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x1??1,x2??3;

当y=-4时,原方程为x2?4x?3?0,此时x3?1,x4?3.

所以,原方程的整数解为

?x1??1, ?y?4;?1?x3?1,?x2??3, ? ?y?4;y??4;?2?3?x4?3, ?y??4.?4

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750.

解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮50003000

6

胎交换位置前走了x km,交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky?kx??k,??50003000 ?kykx???k,??50003000

k(?xy)?2k, 3000

2则 x?y??3750. 11?50003000两式相加,得 k(x?y)?5000

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,

AH与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为 . AB

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF . 由题设知AC?11AD,AB?AE,在△FHA和△EFA中, 33

?EFA??FHA?90?,?FAH??EAF

所以 Rt△FHA∽Rt△EFA, AHAF? . AFAE

AH1?. 而AF?AB,所以AB3 8.已知a1,a2,a3,a4,a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数,若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根,则b的值为 .

【答】 10.

解:因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009,且a1,a2,a3a,4a5,是五个不同的整数,所有b?a1,b?a2,b?a3,b?a4,b?a5也是五个不同的整数.

又因为2009?1???1??7???7??41,所以

7

b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41.

由a1?a2?a3?a4?a5?9,可得b?10.

9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为?ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于 .

. 解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且?ACB?90?.

1作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由?ECF??ACB?45?,得CF=x,2

于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以

EFBF?, ACBC

x20?x?即 , 1520

60解得x?

.所以CE?? 7

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:

每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告

诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉

他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报

3的人心里想的数是

【答】?2.

解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8?x.

于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x,报9的人心里想的数是 16?(4?x)?12?x,报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x,报3的人心里

想的数是4?(8?x)??4?x.所以

x??4?x,

解得x??2.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

8

11(A).函数y?x2?(2k?1)x?k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围.

解:不一定,例如,当k=0时,函数的图像与x轴的交点为(0,0)和 (1,0),不都在直线x?1的右侧. ??????5分

设函数与x轴的两交点的横坐标为x1,x2,则x1?x2??(2k?1),xx12?k且仅当满足如下条件

??≥0,? ?(x1?1)?(x2?1)?0, ??????10分

?(x?1)(x?1)?0?122,当

时,抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧.

?(2k?1)2?4k2≥0,?由 ??2k?1?0,

?k2?2k?0,?

1?k≤,?4?1?解之,得 ?k??, ??????15分 2??k??2或k?0.??

所以当k??2时,抛物线与x轴的两交点在直线x?1的右侧.

??????20分 11(B).已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1), (x2,y2),

2且x12?x2?t2?2t?3.

(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.

解:(1)联立y?x2与y?(2t?1)x?c,消去y得二次方程

x2?(2t?1)x?c?0 ①

有实数根x1,x2,则x1?x2?2t?1,x1x2?c.所以

9

12)] c?x1x2?[(x1?x2)2?(x12?x22

11=[(2t?1)2?(t2?2t?3)]=(3t2?6t?4). ② 22

??????5分 把②式代入方程①得

1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?0. ③ 2

??????10分

t的取值应满足

2≥0, ④ t2?2t?3?x12?x2

且使方程③有实数根,即

??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)=?2t2?8t?7≥0, ⑤

解不等式④得 t≤-3或t≥1,解不等式⑤得

2?

所以,t的取值范围为

2t

≤2⑥ t

≤2???????15分

131(2) 由②式知c?(3t2?6t?4)?(t?1)2?. 222

由于c?31(t?1)2?

在2?t

≤2?

t?2? 22222

3111??1)2??时

,cmin?(2?. ??????20分 2224

12(A).在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数y?(x?90)2?4907的图像上所有“好点”的坐标.

解:设y?m2,(x?90)2?k2,m,k都是非负整数,则

k2?m2?7?701?1?4907,

10

1?1.49即 (k?m)(k?m)?7?70? ?????10分

?k?m?701,?k?m?4907则有 ? ??m?1.?k?m?7;?k

?k1?354,解得 ??m1?347;?k2?2454, ?m?2453.?2

所以 ,x3?2544,?x1?444,?x2??264??x4??2364, ????120?40y39?;60?1y742?09;6017209.?y1?120409?;y2?

故“好点”共有4个,它们的坐标是:

(444,120409),(?264,120409),(2544,6017209),(?2364,6017209). ??????20分 12(B).已知正整数a满足192a3?191,且a?2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.

解:由192a3?191可得192a3?1.192?3?26,且

a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1).

??????5分

因为a?a?1??1是奇数,所以26a3?1等价于26a?1,又因为3(a?1)a(a?1),所以3a3?1等价于3a?1.因此有192a?1,于是可得a?192k?1.

??????15分

1,?,10.又0?a?2009,所以k?0,因此,满足条件的所有可能的正整数a的

和为

11+192(1+2+?+10)=10571. ??????20分

13(A).如图,给定锐角三角形ABC,BC?CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.

解法1:结论是DF?EG.下面给出证明. ??????5分 因为?FCD??EAB,所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

DF?BE?CD.

AB

11

同理可得 EG?AD?CE. AB

又因为tan?ACB?ADBE?,所以有BE?CD?AD?CECDCE

DF?EG.

??????20分

解法2:结论是DF?EG.下面给出证明.

?????? 5分

连接DE,因为?ADB??AEB?90?,所以A,B,D,E

四点共圆,故 ?CED??ABC. ??????10分

又l是⊙O的过点C的切线,所以?ACG??ABC. ??????15分 所以,?CED??ACG,于是DE∥FG,故DF=EG.

??????20分

13(B).已知AB为⊙O的直径,弦DC//AB,连接DO.过点D作DO的垂线,与BA的延长线交于点E,过点E作AC的平行线交CD于点F,过点D作AC的平行线交BF于点G.求证:AG?BG.

证明:连接AD,BC,因为四边形AEFC是平行四边形,所以AE?FC.

由于AD?CB,?DAE??BCF,因此有?DAE≌?BCF,于是可得 ?ADE??CBF. 又因为DE与⊙O相切于点D,所以?DCA??ADE.结合DG//AC,可得

?GDC??DCA??ADE??GBC,

于是D,B,C,G四点共圆.因此点G在⊙O上,从而有AG?BG.

??????20分

14(A).n个正整数a1,a2, ?,an满足如下条件:1?a1?a2???an?2009;且a1,a2,?,an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.

12

解:设a1,a2,?,an中去掉ai后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,i?1,2,?,n.即 bi?(a1?a2???an)?ai. n?1

于是,对于任意的1≤i?j≤n,都有

bi?bj?aj?ai

n?1,

aj?ai.) ??????5分 从而 n?1(

由于 b1?bn?an?a12008?是正整数,故 n?1n?1

3?25.1 ??????10分 n?12

由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1?

≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1)2,

所以,(n?1)2≤2008,于是n ≤45.

结合n?123?251,所以,n ≤9. ??????15分

另一方面,令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1,?,a8?8?7?1, a9?8?251?1,则这9个数满足题设要求.

综上所述,n的最大值为9. ??????20分

14(B).已知正整数x,y使得

4xy. x?y4xy是一个奇数,证明:存在一个正整数k,x?y使得4k-1整除

证明:设x?2sa,y?2tb,这里的s,t是非负整数,a,b都是奇数,不妨设s≥t,则

4xy2s?t?2ab2s?2ab. ??????5分 ??x?y2t(2s?ta?b)2s?ta?b

若s?t,则上式的分母是一个奇数,而分子是一个偶数,故上式是偶数,于是,s?t.所以

13

4xy2s?2ab . ?x?ya?b

设(a,b)?d,a?a1d,b?b1d,(a1,b1)?1,则

4xy2s?2a1b1d ?x?ya1?b1

是一个奇数. ??????10分

所以,a1?b1能被2s?2整除,故a1?b1能被4整除,所以a1,b1都是奇数,它们

除以4的余数为1或3,如果a1,b1除以4余数都是1,则它们的和不能被4整除,所以其中一定有一个除以4余数为3,设a1除以4余3,则可设a1?4k?1,k是一个正整数,因为(a1,a1?b1)?1,所以a1整除4xy4xy,从而4k-1整除. x?yx?y

?????? 20分

14

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