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江苏省高数历年竞赛本一组试题(整理)

发布时间:2014-04-10 18:01:35  

2010年江苏省高等数学竞赛试题(本科一级)

一.填空(每题4分,共32分)

1.limx?0x?sin?sinx??sinx?3?2.设函数f,?可导,y?f?arctanx???tanx??,则y??3. y?cos2x,则y?n?? 1?xdx?2xxe

??15. ?dx? 21?x44.?

2x?2y?z?2?0?6.圆?2的面积为 22?x?y?z?4x?2y?2z?19

?x?7.设f?2x?y,?,f可微,f1??3,2??2,f2??3,2??3,则dzy???x,y???2,1??

8.级数?n?1?1???1??n?1?!2nn!n的和为

二.(10分)设f?x?在?0,c?上二阶可导,证明:存在???0,c?, 使得?

三.(10分)已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2,E为D1C1的中点,F为侧面正方形BCC1B1的中点,(1)试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。(2)试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.

四(12分)已知ABCD是等腰梯形,BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的长,使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 1 c0cc3f?x?dx??f?0??f?c???f????? 212

五(12分)求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy,其中D:x2?y2?1

D

六.(12分)应用高斯公式计算???ax2?by2?cz2?dS,(a,b,c为常数)

?

其中?:x2?y2?y2?2z.

七.(12分)已知数列?an?,a1?1,a2?2,a3?5,?,an?1?3an?an?1?n?2,3,??,

?

记x1

n?a,判别级数?xn的敛散性.

nn?1

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)

一 填空题(每题4分,共32分) 1.limsinx?sin(sinx)

x?0sinx?

2.y?ln(x1?x2,y/?

3.y?cos2x,y(n)(x)? 2

4.?5.?1?xxedx? 2x??

21dx? 41?x

2x?2y?z?2?0??6.圆?2的面积为 22??x?y?z?4x?2y?2z?19

x7.z?f(2x?y,),f可微,f1/(3,2)?2,f2/(3,2)?3,则dzy

1?(?1)nn!8.级数?的和为 . n2n!n?1?(x,y)?(2,1)?

二.(10分)

设f(x)在?a,b?上连续,且b?f(x)dx??xf(x)dx,求证:存在点???a,b?,使aabb

得?f(x)dx?0. a?

三.(10分)已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为2,E为D1C1的中点,F为侧面正方形BCC1B1的中点,(1)试求过点A1,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。(2)试求过点A1,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.

四(12分)已知ABCD是等腰梯形,BC//AD,AB?BC?CD?8,求AB,BC,AD的 3

长,使得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。

五(12分)求二重积分???cos2x?sin2y?dxdy,其中D:x2?y2?1,x?0,y?0

D

?x20?x?1六、(12分)求??x?2y?e?dx?x?1?y?dy,其中?为曲线?22?x?y?2x1?x?2?x

从O?0,0?到A?1,?1?.

七.(12分)已知数列?an?单调增加,a1?1,a2?2,a3?5,?,an?1?3an?an?1

?1?n?2,3,??,记xn?,判别级数?xn的敛散性 ann?1

2008年江苏省高数竞赛(本科一级)

一.填空题(每题5分,共40分)

1.a= ,b=时,limxax+2xbx-xarctanx=-p 2 4

2. a= ,b=时f(x)=ln(1-ax)+于x的无穷小的阶数最高。 3.òsin2xcos4xdx=0p2x在x?0时关1+bx

4.通过点(1,1,-1)与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为

?nz2x5.设z=2,则n2?yx-y(2,1)6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域,则蝌arctanydxdy=D

7.设G为x2+y2=2x(y 0)上从O(0,0)到A(2,0)的一段弧,则òG(yex+x)dx+(ex-xy)dy

8.幂级数?nxn的和函数为 ,收敛域为 。

n=1

二.(8分)设数列{x

n}为x1=x2=L,xn+2=n=1,2,L) 证明:数列{xn}收敛,并求其极限

三.(8分)设f(x)在[a,b]上具有连续的导数,求证maxf(x)?1

b-aa#xb蝌f(x)dxabbaf/(x)dx

四.(8分)1)证明曲面S:x=(b+acosq)cosj,y=asinq,z=(b+acosq)sinj (0#q2p,0#j2p)(0<a<b)为旋转曲面 5

2)求旋转曲面S所围成立体的体积

五.(10分)函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数,算子A定义为 A(u)=x抖u

抖x+yu

y,

1) 求A(u-A(u));2)利用结论1)以x=y

x,h=x-y为新的自变量改变方程

x2抖2u2

抖x2+2xyu2x抖y+y2 u

y2=0的形式

六.(8分)求1

tlim?0+t6蝌tt0dxxsin(xy)2dy

七.(9分)设S:x2+y2+z2=1(z 0)的外侧,连续函数

f(x,y)=2(x-y)2+蝌x(z2+ez)dydz+y(z2+ez)dzdx+(zf(x,y)-2ez)dxdy

S

求f(x,y)

八.(9分)求f(x)=x2(x-3)

(x-1)3(1-3x)的关于x的幂级数展开式

6

2006年江苏省高数竞赛(本科一级)

一、填空题(每题5分,共40分) .

1.f?x??ax,lim

x31ln??f?1?f?2??f?n????n??n41??tx?22. lim?5e?1dt?x?00x

1arctanxdx?3. ?022?1?x???

4.已知点A??4,0,0?,B(0,?2,0),C(0,0,2),O为坐标原点,则四面体OABC的内接球面方程为

5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y),则dz?e,0??6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件f??1,0?为其极大值.

7.设?是y?asinx(a?0)上从点?0,0?到??,0?的一段曲线,a?时,曲线积分??x2?y?dx?2xy?eydy取最大值. 2

???

8.级数??

?1?

n?1?n?1条件收敛时,常数p的取值范围是 pn

二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于?200公里/小时3

????三.(10分)曲线?的极坐标方程为??1?cos??0????,求该曲线在??所2?4?

对应的点的切线L的直角坐标方程,并求切线L与x轴围成图形的面积. 7

四(8分)设f(x)在???,???上是导数连续的有界函数,f?x??f??x??1, 求证:f?x??1.x????,???

五(12分)本科一级考生做:设锥面z2?3x2?3y2(z?

0)被平面x??4?0截下的有限部分为?.(1)求曲面?的面积;(2)用薄铁片制作?

的模型,AB(?为?上的两点,O为原点,将?沿线段OB剪开并展成平面图形D,以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出D的边界的极坐标方程.

?x2?2z六(10分)曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围成的立体?y?0

区域记为?, 本科一级考生做????1dxdydz 222x?y?z

本科二级考生做????x2?y2?z2?dxdydz

?

8

七(10分)本科一级考生做1)设幂级数?an2xn的收敛域为??1,1?,求证幂级n?1?

数?annx的收敛域也为??1,1?;2)试问命题1)的逆命题是否正确,若正确给?

n?1n

出证明;若不正确举一反例说明.’ ?

本科二级考生做:求幂级数?n

n?x?1?2n的收敛域与和函数 n?12

2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科一级)

一.填空(每题5分,共40分)

1.x?0时,x?sinx?cosx?cos2x与cxk为等价无穷小,则c?x2

2. lim?

x????xarctan1?

x???

3. lim??

n???????4. f?x??x4ln?1?x?,n?4时f?n??0??

5. ?x?sinx?cosx

?cosx?sinx?2dx??

6.?n?n?1n?12n.

7.设f?x,y?可微,f?1,2??2,fx??1,2??3,fy??1,2??4,??x??f?x,f?x,2x??,则???1?? .

8. 设f?x??g?x????x0?x?1

?0其他,D为???x???,???y???,则

9

??f?y?f?x?y?dxdy? D

二.(10分)设f??x?在?a,b?上连续,f?x?在?a,b?内二阶可导,f(a)?f(b)?0,?

baf(x)dx?0,求证:1) ?a,b?内至少存在一点?使得f?????f???;2)?a,b?内至少存在一点?,???,使得f??????f???

三.(10分)设D:x2?y2?4x,y??x,在D的边界y??x上任取点P,设P到原点距离为t,作PQ垂直于y??x,交D的边界x2?y2?4x于Q

1)试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;

2)求D饶y??x旋转一周的旋转体的体积

四(10分)已知点P(1,0,-1),Q(3,1,2),在平面x-2y+z=12上求一点M,使PM+MQ最小

五(10分)求幂级数?n?1?n3n???2?1

nxn的收敛域。

10

3六(10

分)求证:???3?,其中?:x2?y2?z2?1。 2?

七(10分)设f?x?连续,可导,f?1??1,G为不含原点单连通域,任取M,N?G, G内积分?N

M1?ydx?xdy?与路径无关. 2x2?fy221(1) 求f?x?;(2)求???2x2?fy?ydx?xdy?其中?为x3?y3?1边界取正向.

2004年江苏省高数竞赛(本科二级局部)

一.填空(每题5分,共40分)

???1. f?x?是周期为?的奇函数,且在x?0处有定义,当x??0,?时,?2?

???f?x??sinx?cosx?2,求当x??,??时,f?x?的表达式 . ?2?

2. lim?sinx??x?2tan2x? nn??n?2???2? 3. lim?22?n??n?1n?4n?n??

n4. f?x??x2ln?1?x?,n?2时f???0??

11

5. ?

?ex?1?x??x?e?x2?6.?n?. nn?12n?1

7.设f?x,y?可微,f?1,2??2,fx??1,2??3,fy??1,2??4,??x??f?x,f?x,2x??, 则???1?? .

?x0?x?18. 设f?x??g?x???,D为???x???,???y???,则 0其他?

??f?y?f?x?y?dxdy? D

二.(10分)设f?x?在?a,b?上连续,f?x?在?a,b?内可导,f(a)?a,,?

baf?x?dx?12b?a2?,求证: ?a,b?内至少存在一点?使得f?????f??????1 ?2

三.(10分)设D:y2?x2?4,y?x,2?x?y?4,在D的边界y?x上任取点P,设P到原点距离为t,作PQ垂直于y?x,交D的边界y2?x2?4于Q

1)试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;

2)求D饶y?x旋转一周的旋转体的体积

五(10分)求幂级数?n?1?n3n???2?1

nxn的收敛域。

12

六(10分)设f?x,y?可微,f?1,2??2,fx??1,2??2,fy??1,2??3, ??x??f?f?x,2x?,2f?x,2x??,求???1?.

七(10分)求二次积分?2?d??

0???2?1?e?2d?

2

2004年后填空题

. 1.设f?

x??,则f??f?x???? 2. limxx?x

x?1lnx?x?1?

3. 已知d

dx??f?x2????1

x,则f??x??

4.?x14

?x5?1?4dx?

5.设z?z?x,y?由方程F??yz?

?x,x???0确定(F为任意可微函数), 则x?z

?x?y?z

?y?

ex6

.lim?x?0xk?c?c?0?,则k?,c?7. 设f?x?在?1,???上可导,下列结论成立的是

A. 若xlim???f??x??0,则f?x?在?1,???上有界

B. 若xlim???f??x??0,则f?x?在?1,???上无界

C. 若xlim???f??x??1,则f?x?在?1,???上无界

8. 设由e?y?x?y?x??1?x确定y?y(x),则y???0??9.??arcsinx?arccosx?dx? 13

?z?x2?y2

10.曲线?2,在点?1,1,2?的切线的参数方程为 2?x?y?2y

?y?11.设z?f???g?ex,siny?,f有二阶连续导数,g有二阶连续偏导数, ?x?

?2z?则?x?y

12. 交换二次积分的次序?dx?2f?x,y?dy?0x13?x

1??113..幂级数??1?????xn的收敛域2n?n?1??

14.设f?x?在?0,???上连续,单调减少,0?a?b, 求证a?f(x)dx?b?f(x)dx 00ba

2008年非理科专业(局部)

一、填空题(每小题5分,共40分)

1)a?___,b?____时,

lim?nlimax?2xbx?xx??arctanx???2. 1?__________.n??k?1k(k?3)2)

3)设f(x)?x(x?1)(x?2)??(x?100),则f?(100)?_______.

4)a?___,b?____时,

最高.

?f(x)?ax?x2?x1?bx在x?0时关于x的无穷小的阶数

5)?2

0sin2x?cos3xdx?_______.

x2

dx?_______.(1?x2)2

(2,1) 6)???1?nzxz?,x?y则?yn7)设?_________.

8)设D为y?x,x?0,y?1所围区域,则

??arctanydxdy?_________.D 14

二、(8分) 设数列

收敛,并求其极限

?x

n?为:x1?1,xn?1?(n?1,2??),求证:数列?xn?

三、(8分) 设函数f(x)在[a,b]上连续

使得?a

?(a?0),?f(x)dx?0,ab求证:存在??(a,b),f(x)dx??f(?).

x2y,(x,y)?(0,0);4f(x,y)?x?y2

?0,(x,y)?(0,0).?五、(8分)

设 讨论f(x,y)在(0,0)

处的连续性、可偏导性、可微性.

1lim4?七、(8分) 求t?0t?t

0dx?sin(y2)dy.xt

八、(10分) 求

15 Ddxdy,22D:x?y?,0?y?x. 这里

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