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2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案

发布时间:2014-04-11 12:15:31  

2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题

一、选择题(每小题7分,共42分)

1、23-22-2=__。A 5-42 B42-1 C5 D1

2、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是__个。A0 B1 C3 D5

3、若函数y=kx(k>0)与函数y=x-1的图象相交于A、C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为__。A1 B2 Ck Dk2

2003y2003xy=2003的正整数对的个4、满足等式xy+xy2003x数是__。A1 B2 C3 D4 5、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且AD∶AB=1∶3

边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为,则

11

1 C D 43534EC1的值为__。A EA26、如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则ED的长为__。A3

B4 C1516 D 45

二、填空题(每小题7分,共28分)

1、抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。若△ABC是直角三角形,则ac=____。

2、设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-而小于,则

9531

m=_______。 3、如图,AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA1=BB1=AB,则∠BAC的度数为__。

4、已知正整数a、b之差为120105倍,那么a、b中较大的数是__。

三、(本题满分20分)

在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF;过E,F分别作CA、CB的垂线,相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证:①△DEM≌△DFN;②∠PAE=∠PBF。

F

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四、(本题满分20分)已知实数a、b、c、d互不相等,且a+=b+=c+=d+=x,试求x的值。

五、已知:四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16。①这样的四边形有几个?②求这样的四边形边长的平方和的最小值。

试题说明:这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题,今天把它录入进电脑,希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题,请关注。

2003年全国初中数学联赛答案: 第一试

一、1、(D);

2、(C);由于任何凸多边形的外角之和都是360o,故外角中钝角的个数不超过3个,即内角中锐角最多不超过3个。

11

3、(A);设A(x,y),则xy?1,故S?ABO?xy?。又因为△ABO与△CBO

22同底等高,因此,S?ABC?2?S?ABO?1

4、(B)

;由已知等式可得?0

?

0?0。故xy?2003

?x?2003?x?1

又因为2003为质数,必有?或?

?y?2003?y?1

1d

1a1b1c

5、(B);如图3,连结BE,S?ADE?1?

31? 44

D

E

B

C

CE设?x,则S?ABE?1?x。 AC

1?x11CE1

S?ADE??,x?。故?

344EA3

6、(D);如图4,连结AC、CE。

由AE∥BC,知四边形ABCE是等腰梯形。故AC=BE=5。

又因为Dc∥AB,DC与圆相切,所以,∠BAC=∠ACD=∠ABC。

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EC

则AC=BC=AD=5,DC=AB=4

DC216? 因为DC?AD?DE,故DE?AD52

二、1、-1;设A(x1,0),B(x2,0)。由△ABC是直角三角形可知x1,x2必异号。则x1x2?c?0 a

2由射影定理知OC?AO?BO,即c2?x1?x2?c;故ac?1,ac??1 a

??9?2?9?3???m????????2?0??5??5?2、4;由题设可知,? 2?3???3?3??m?????2?0???7???7?

813解得3?m?4。故m?4 2145

3、12o;设∠BAC的度数为x

因AB?BB',故∠B'BD?2x,?CBD?4x又AB?AA',则

1∠AA'B??ABA'=∠CBD=4x。因为∠A'AB?(180??x) 2

1故(180??x)?4x?4x?180?,解得x?12o 2

4、225;设(a,b)=d,且a?md,b?nd,其中m?n,m与n互质。于是a,b的最小公倍数为mnd。依题意有

?md?nd?120(m?n)d?23?3?5?,即?mnd?105mn?3?5?7??d(1)(2)

?m?105?m?35?m?21?m?15又m?n,据式(2)可得? ???n?1n?7n?3n?5????

?m?15根据式(1),只能取?,可求得d?15 ?n?7

故两个数中较大的数是md?225。

第二试

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A卷

一、解:设前后两个二位数分别为x,y,10?x,y?99 有(x?y)2?100x?y;即x2?2(y?50)x?(y2?y)?0 当△=4(y?50)2?4(y2?y)?4(2500?99y)?0

即2500?99y?0,则y?

25时,方程有实数解x?50?y 由于2500-y必为完全平方数,而完全平方数的未位数字仅可能为0,1,4,5,6,9,故y仅可取25;此时,x?30或?20

故所求四位数为2025或3025

二、(1)如图,据题设可知,DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM 故∠AMD=∠BND

因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点, 所以,EM=AM=DN,FN=BN=DM 又已知DE=DF,故△DEM≌△FDN A(2)由上述三角形全等可知∠EMD=∠FND,则∠AME=∠BNF

E而△AME、△BNF均为等腰三角形,所以,∠PAE=∠PBF

三、解:由已知有

1111

a??x ①;b??x ②;c??x ③;d??x ④ bcda

1

由式①解出b? ⑤

x?a

x?a

式⑤代入式②得c?2 ⑥

x?ax?1x?a1

??x 将式⑥代入③得2

x?ax?1d即dx3?(ad?1)x2?(2d?a)x?ad?1?0 ⑦ 由式④得ad?1?ax,代入式⑦得(d?a)(x3?2x)?0 由已知d?a?0,故x3?2x?0

若x?0,则由式⑥可得a?

c,矛盾。故有x2?2,x? B卷

一、同(A卷)第一题的解答。

二、如图,分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。

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C

F

MAE

F

由D是AB的中点,则

DM∥BN,DM=BN,DN∥AM,DN=AM。故∠AMD=∠BND。 又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点,所以, EM=AM=DN,FN=BN=DM。 因为DE=DF,则△DEM≌△FDN

故∠EMD=∠FND,从而,∠AME=∠BNF

而△AME、△BNF均为等腰三角形,故∠PAE=∠PBF

三、(1)如图,记AB=a,CD=b,AC=l,并设△ABC的边AB上的高为h1,△ADC的边DC上的高为h2。则

A

h2

B

h1

11

S四边形ABCD?S?ABC?S?ADC=(h1a?h2b)?l(a?b)

22

D

b

C

仅当h1?h2?l时等号成立。即在四边形ABCD中,当AC⊥AB,AC⊥CD时等号成立。

由已知可得64?l(a?b)

又由题设a?b?16?l,可得64?l(16?l)?64?(l?8)2?64 于是,l?8,a?b?8,且这时AC⊥AB,AC⊥CD 因此,这样的四边形有如下4下:

a?1,b?7,l?8;a?2,b?6,l?8 a?3,b?5,l?8;a?b?4,l?8

它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。

(2)又由AB=a,CD=8?a,则BC2?82?a2,AD2?82?(8?a)2 因此,这样的四边形的边长的平方和为

2a2?2(8?a)2?128?4(a?4)2?192

F

MA

D

EB

故当a?b?4时,平方和最小,且为192 (C)卷

一、同(A卷)第三题的解答。

二、除图的形式不同(如图)外,解答同(B卷)第二题 三、同(B卷)第三题解答。

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