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竞赛辅导——因式分解的常用方法2

发布时间:2014-04-11 14:54:45  

因式分解的常用方法

六、双十字相乘法。

定义:双十字相乘法用于对Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F型多项式的分解因式。

条件:(1)A?a1a2,C?c1c2,F?f1f2

(2)a1c2?a2c1?B,c1f2?c2f1?E,a1f2?a2f1?D 即: a1 c1 f1

a2c2f2 22

1221,1221,1221

则Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?(a1x?c1y?f1)(a2x?c2?f2) 例12、分解因式(1)x?3xy?10y?x?9y?2

(2)x?xy?6y?x?13y?6

解:(1)x?3xy?10y?x?9y?2

应用双十字相乘法: x 5y 2

x 2y ?1

2xy?5xy??3xy,5y?4y?9y,?x?2x?x

∴原式=(x?5y?2)(x?2y?1)

(2)x?xy?6y?x?13y?6

应用双十字相乘法: x 2y 3

3xy?2xy?xy,4y?9y?13y,?2x?3x?x

∴原式=(x?2y?3)(x?3y?2)

练习12、分解因式(1)x?xy?2y?x?7y?6

(2)6x?7xy?3y?xz?7yz?2z

七、换元法。

例13、分解因式(1)2005x?(2005?1)x?2005

(2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x

解:(1)设2005=a,则原式=ax?(a?1)x?a

=(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005) 22222222222222222222

(2)型如abcd?e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x

设x?5x?6?A,则x?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x=A?2Ax?x

=(A?x)=(x?6x?6)

练习13、分解因式(1)(x?xy?y)?4xy(x?y)

(2)(x?3x?2)(4x?8x?3)?90 (3)(a?1)?(a?5)?4(a?3)

例14、分解因式(1)2x?x?6x?x?2

观察:此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。

解:原式=x(2x?x?6?4322222222222222222222222221111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx

1122设x??t,则x?2?t?2 xx

222t?2)?t?6?=x2?2t2?t?10? ∴原式=x(

21???22? =x?2t?5??t?2?=x?2x??5??x??2? xx????

21????22x· =x·?2x??5?·?x??2?=?2x?5x?2??x?2x?1? xx????

2 =(x?1)(2x?1)(x?2) 22?

(2)x?4x?x?4x?1 432

1??41?2??21???2?=x??x?2??4?x???1? x??xx?x????

1122 设x??y,则x?2?y?2 xx

222 ∴原式=x?y?4y?3?=x?y?1??y?3?

11222 =x(x??1)(x??3)=?x?x?1??x?3x?1? xx

4322432练习14、(1)6x?7x?36x?7x?6(2)x?2x?x?1?2(x?x) 解:原式=x?x?4x?1?2??2

八、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式(1)x?3x?4

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4

=(x?1)(x?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)

(2)x?x?x?3

解:原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1?x?1?1)

=(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)

练习15、分解因式(1)x?9x?8 (2)(x?1)?(x?1)?(x?1)

42422(3)x?7x?1 (4)x?x?2ax?1?a

444222222444(5)x?y?(x?y) (6)2ab?2ac?2bc?a?b?c

九、待定系数法。例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6

分析:原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)

解:设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn 2222222222222633633363333963222222232323296334224

?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得? n?3??mn??6?

∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、(1)当m为何值时,多项式x?y?mx?5y?6能分解因式,并分解此多项式。

(2)如果x?ax?bx?8有两个因式为x?1和x?2,求a?b的值。

(1)分析:前两项可以分解为(x?y)(x?y),故此多项式分解的形式必为3222(x?y?a)(x?y?b)

解:设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab 222222

?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???

∴当m??1时,原多项式可以分解;

当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);

当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)

(2)分析:x?ax?bx?8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。

解:设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c 32323232

?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c,解得?b?14,

?2c?8?c?4??

∴a?b=21

练习17、(1)分解因式x?3xy?10y?x?9y?2

22(2)分解因式x?3xy?2y?5x?7y?6

22(3)已知:x?2xy?3y?6x?14y?p能分解成两个一次因式之积,求常数

p并且分解因式。

22(4)k为何值时,x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次因式的乘积,

并分解此多项式。

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