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# 闽江学院第一届数学竞赛试卷解答讲解

?sinx

?x

2

sinxsinx?sinx??

?c,f?x???解 由f(x)有一个原函数,得?f?x?dx?, ?xx?x?

?

?

?

2

xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)???f(x)dx

?

?

?

?

?

22

xcosx?sisin?

?x??cosx?2

2xx??

??

x

2xin

??1?

?

2

?

?

4

6、反常积分

?

??1

dx

? .

x2?x

e?e

?

ln(?1

f(x)dx??

ex

?x

x

x

e)dx???ln?(1xe?x)?d?e

x?)?d

?x

?x

e?lxn?(1?

x

1

xx1?e?lnC(1

e )

d

ex

??eln(?1e?)??1?ex?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C

e?lxn?(1x?e)?

?

a

a?l

a

f(x)dx的值与a无关.

?

a?l

a

f(x)dx??

laa

f(x)d?x?

f(?t

a

?all

f(x)，d x

f(t)?d?t

l0

a

?

a

a?l

l

f(x)dx?

l

?

l)d?t?

00

f(，x) dx

??

a?l

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，

a

1

a?l

?

a

f(x)dx的值与a无关.

122232n21

n??nnnn

22nn

1111i21

i?1ni?1nnni?1n

n

1i2

n??n??ni?1n

n

2x2

??ln(1?x)dx?xln(1?x)??dx 001?x2

1

2

2

1

1

111

?ln2?2?(1?)dx?ln2?2x0?

2arctanx0 201?x

1

?tf?2x?t?dt????2x?u?f(u)du?2x?

2x

xx2x

x

f(u)du??uf(u)du

x

2x

2x

x

1

f(u)du??uf(u)du?arctanx2.

x2

2x

2?

2x

x

x

f(u)du?2x[2f(2x)?f(x)]?[2xf(2x)?2?xf(x)]?

1?x4

?

2x

x

f(u)du?

x

?xf( x)4

1?x

?

2

1

13

f(u)du??1?.于是

22

?

2

1

f(x)dx?

3

. 4

2

y?e?2dxx[?e??2dxx1dx?C]?x2(?C)?x?Cx2. x

V(C)???(x?Cx)dx??(1222312157C?C?). 523

12452

1limln(1?x)1解 lim[]x?ex?0x

x?0e

1ln(1?x)?1

limx?0x1x1(1?x)xe?ex?0lim1ln(1?x)x?lnex ?e?

eln(1?x)?xlimx?0x?e1?1limx

?02x?e?limx

x?02x1?x?e?1

.

?，

x?0解一

x?0?

x

?0

0时，lim?x?0?lim?. ?x?0aa所以极限不存在.

x?0?x?0?x?0

（1）当0?a??时，

x?0lim?x?lim(?)??，

?x?0a2

x?lim?； ?x?0ax?0ax

2

（2）当???a?0时， lim?

x?

?x?0lim?三、导数

dy??(3x2?1)sin(2x3?2x)cos[cos2(x3?x)]. dx

3、设函数y?y(x)由方程2xy?x?y所确定，则dyx?0? .

xyxy解 2ln2?y?xy???1?y?,（或2ln

2?ydx?xdy??1?dy） 将x?0代入方程,得y?1,则dyx?0?(ln2?1)dx.

?d2y1?t2?x???3. 4、设?，则2dx??y?arctant

4

dy解 ?

dx

dydxdt

?

4

1?t21?t1d2y

??, 2

tdx

4

?dy?d???dt?dtdt

1?t2??3.

4

4

12

sin2x， 2

y???2sin2xcos2x??sin4x?cos(4x?y????4sin(4x?

?

2

)，

?

)?4cos(4x?2?)， 22

?

y?????42sin(4x?2?)?42cos(4x?3?)，

22

4

??

x,y?(0,??),都有 f(xy)?f(x)?f(y)

?证明 取y?1，由f(xy)?f(x)x,y?(0,??),

f(y可)得f(1)?0，由于对任何

y

f[x(1?)]?f(x)

f(x?y)?f(x)?lim lim y?0y?0yy

5

y

f(1?)?f(1)11f(1?h)?f(1)y?lim?lim（令h?）

yxy?0xh?0hxx

f(1?h)?f(1)

?f?(1)，因此f?(x)存在，且 其中lim

h?0h

f?(x)?lim

y?0

f(x?y)?f(x)1

?f?(1)．

yx

?

2

?arctanx

?arctxanx2?x?

2?e.令y??0，得驻点x1?0，x2??1.列表如下

1?x

x???

f(x)?

?e，b1?lim[f(x)?a1x]??2e?，

x???x

f(x)

a2?lim?1，b2?lim[f(x)?a2x]??2.

x???x???x

y1?a1x?b1?e?(x?2)，y2?a2x?b2?x?2.

x??

f(x)在(??,??)上有界.

x??

f(x)?A??，即A???f(x)?A??.

6

f(x)?K,x?[?X,X]. 取M?max{K,A??,A??},则

f(x)?M,x?(??,??),

1f(0)?f(1)?0,f()?1， 2

1试证：（1）存在??(,1)，使f(?)??； 2

2

?),f?(?)??[f(?)??

（).

（2）设F(x)?e??x??x?(x)?e[f(x)?x]，则F(x)在[0,?]上连续，在12(0,?)上可导，且F(0)?0,F(?)?e????(?)?0,即F(x)在[0,?]上满足罗尔定理得条件，故存在??(0,?)，使得F?(?)?0,所以

e???{f?(?)??[f(?)??]?1}?0，

7