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闽江学院第一届数学竞赛试卷解答讲解

发布时间:2014-04-12 10:53:49  

闽江学院第一届数学竞赛试卷解答(公共数学类 2011)

一.积分部分

?sinx

填空题5、设f(x)有一个原函数,则 ?xf?(x)dx? .

?x

2

sinxsinx?sinx??

?c,f?x???解 由f(x)有一个原函数,得?f?x?dx?, ?xx?x?

?

?

?

2

xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)???f(x)dx

?

?

?

?

?

22

xcosx?sisin?

?x??cosx?2

2xx??

??

x

2xin

??1?

?

2

?

?

4

6、反常积分

?

??1

dx

? .

x2?x

e?e

?

ln(?1

f(x)dx??

ex

?x

x

x

e)dx???ln?(1xe?x)?d?e

x?)?d

?x

?x

e?lxn?(1?

x

1

xx1?e?lnC(1

e )

d

ex

??eln(?1e?)??1?ex?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C

e?lxn?(1x?e)?

六、设f(x)是以l为周期的连续函数,证明证明 ?而

?

a

a?l

a

f(x)dx的值与a无关.

?

a?l

a

f(x)dx??

令x??tl

laa

f(x)d?x?

f(?t

a

?all

f(x),d x

f(t)?d?t

l0

a

?

a

a?l

l

f(x)dx?

l

?

l)d?t?

00

f(,x) dx

??

a?l

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx,

a

1

a?l

?

a

f(x)dx的值与a无关.

七、计算题

122232n21

对n?1,2,?,令Qn?[(1?2)(1?2)(1?2)?(1?2)]n,求limQn.

n??nnnn

22nn

1111i21

解 : Qn?[?(1?2)]n,则 lnQn??ln(1?2)??ln(1?2)

i?1ni?1nnni?1n

n

1i2

则lim lnQn?lim ?ln(1?2)

n??n??ni?1n

n

2x2

??ln(1?x)dx?xln(1?x)??dx 001?x2

1

2

2

1

1

111

?ln2?2?(1?)dx?ln2?2x0?

2arctanx0 201?x

1

八、解答题

已知f(1)?11

解 令u?2x?t,则t?2x?u,dt??du,

?tf?2x?t?dt????2x?u?f(u)du?2x?

2x

xx2x

x

f(u)du??uf(u)du

x

2x

于是 2x?

2x

x

1

f(u)du??uf(u)du?arctanx2.

x2

2x

上式两边对求导,得

2?

2x

x

x

f(u)du?2x[2f(2x)?f(x)]?[2xf(2x)?2?xf(x)]?

1?x4

即 2

?

2x

x

f(u)du?

x

?xf( x)4

1?x

令x?1,得2

?

2

1

13

f(u)du??1?.于是

22

?

2

1

f(x)dx?

3

. 4

九、综合题 求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x),使得由

2

曲线y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积最小.

解 原方程可化为dy2?y??1,则 dxx

y?e?2dxx[?e??2dxx1dx?C]?x2(?C)?x?Cx2. x

由曲线y?x?Cx与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为 2

V(C)???(x?Cx)dx??(1222312157C?C?). 523

令V?(C)??(756215C??C?)?0,得.

12452

填空题 1、极限lim[]x? . x?0e

1limln(1?x)1解 lim[]x?ex?0x

x?0e

1ln(1?x)?1

limx?0x1x1(1?x)xe?ex?0lim1ln(1?x)x?lnex ?e?

eln(1?x)?xlimx?0x?e1?1limx

?02x?e?limx

x?02x1?x?e?1

.

讨论题

讨论极限:x?0 (0?a??).

?,

x?0解一

x?0?

x

?0

当0?a??时,lim?x?0?lim??; ?x?0aa3

当???a?

0时,lim?x?0?lim?. ?x?0aa所以极限不存在.

解二

x?0?x?0?x?0

(1)当0?a??时,

x?0lim?x?lim(?)??,

?x?0a2

x?lim?; ?x?0ax?0ax

2

(2)当???a?0时, lim?

x?

?x?0lim?三、导数

填空题 2、设函数y?sin[cos(x?x)],则 23

dy??(3x2?1)sin(2x3?2x)cos[cos2(x3?x)]. dx

3、设函数y?y(x)由方程2xy?x?y所确定,则dyx?0? .

xyxy解 2ln2?y?xy???1?y?,(或2ln

2?ydx?xdy??1?dy) 将x?0代入方程,得y?1,则dyx?0?(ln2?1)dx.

?d2y1?t2?x???3. 4、设?,则2dx??y?arctant

4

dy解 ?

dx

dydxdt

?

4

1?t21?t1d2y

??, 2

tdx

4

?dy?d???dt?dtdt

1?t2??3.

五.1、求y?sinx?cosx的n阶导数. 解 y?sinx?cosx?1?

4

4

12

sin2x, 2

y???2sin2xcos2x??sin4x?cos(4x?y????4sin(4x?

?

2

),

?

)?4cos(4x?2?), 22

?

y?????42sin(4x?2?)?42cos(4x?3?),

22

4

??

解二 y?sinx(n)?4n?1四、解答题 设函数f(x)在(0,??)上有定义,且对任何

x,y?(0,??),都有 f(xy)?f(x)?f(y)

若f?(1)存在,求f?(x),x?(0,??).

?证明 取y?1,由f(xy)?f(x)x,y?(0,??),

f(y可)得f(1)?0,由于对任何

y

f[x(1?)]?f(x)

f(x?y)?f(x)?lim lim y?0y?0yy

5

y

f(1?)?f(1)11f(1?h)?f(1)y?lim?lim(令h?)

yxy?0xh?0hxx

f(1?h)?f(1)

?f?(1),因此f?(x)存在,且 其中lim

h?0h

f?(x)?lim

y?0

f(x?y)?f(x)1

?f?(1).

yx

四.导数应用

?

五.2、求函数y?(x?1)e

2

?arctanx

的单调区间、极值,并求函数图形的渐近线.

?arctxanx2?x?

2?e.令y??0,得驻点x1?0,x2??1.列表如下

解 y?2

1?x

由于 a1?lim

x???

f(x)?

?e,b1?lim[f(x)?a1x]??2e?,

x???x

f(x)

a2?lim?1,b2?lim[f(x)?a2x]??2.

x???x???x

可见渐近线为

y1?a1x?b1?e?(x?2),y2?a2x?b2?x?2.

五.连续性证明

三、证明题 设函数f(x)在(??,??)上连续,且limf(x)?A,证明函数

x??

f(x)在(??,??)上有界.

证明 因为limf(x)?A,所以???0,?X?0,当x?X时,有

x??

f(x)?A??,即A???f(x)?A??.

6

又由于f(x)在闭区间[?X,X]上连续,根据有界性定理?K?0,使

f(x)?K,x?[?X,X]. 取M?max{K,A??,A??},则

f(x)?M,x?(??,??),

即f(x)在(??,??)上有界.

八.证明题 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

1f(0)?f(1)?0,f()?1, 2

1试证:(1)存在??(,1),使f(?)??; 2

2

?),f?(?)??[f(?)??

().

又?(1)??1???(,1)?0,即f(?)??.

(2)设F(x)?e??x??x?(x)?e[f(x)?x],则F(x)在[0,?]上连续,在12(0,?)上可导,且F(0)?0,F(?)?e????(?)?0,即F(x)在[0,?]上满足罗尔定理得条件,故存在??(0,?),使得F?(?)?0,所以

e???{f?(?)??[f(?)??]?1}?0,

从而f?(?)??[f(?)??]?1.

7

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