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人教版小升初六年级竞赛辅导资料

发布时间:2014-04-12 16:03:53  

分数运算的技巧

对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。

1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数??从而使运算得到简化。

2.约分法

3.裂项法

若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简化运算。

例7 在自然数1~100中找出10个不同的数,使这10个数的倒数的和等于1。

分析与解:这道题看上去比较复杂,要求10个分子为1,而分母不同

就非常简单了。

括号。此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成:

所求的10个数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10。

的10和30,仍是符合题意的解。

4.代数法

5.分组法

分析与解:利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为

原式中分母为2~20的分数之和依次为

循环小数与分数

任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢?我们先看下面的分数。

(1)中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化

因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5。

(3)中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与

5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到结论:

一个最简分数化为小数有三种情况:

(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数;

(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数;

(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?

分析与解:上述分数都是最简分数,并且

32=25,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,

117=33×13,850=2×52×17,

根据上面的结论,得到:

不循环部分有两位。

将分数化为小数是非常简单的。反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法。

1.将纯循环小数化成分数。

将上两式相减,得将上两式相减,得

从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法:

分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。

2.将混循环小数化成分数。

将上两式相减,得

将上两式相减,得

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法:

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差;分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。

掌握了将循环小数化成分数的方法后,就可以正确地进行循环小数的运算了。

例6 计算下列各式:

工程问题(一)

顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:

工作量=工作效率×工作时间,

工作时间=工作量÷工作效率,

工作效率=工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可

工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。

例1 单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?

分析与解:以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天,甲的工作效

例2 某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。问:甲队干了多少天?

分析:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?”这样一来,问题就简单多了。

答:甲队干了12天。

例3 单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天?

分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了

例4 一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个?

分析与解:这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间,

例5 一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水?

例6 甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇?

分析:这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下:完成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间?由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。

答:甲再出发后15分钟两人相遇。

工程问题(二)

上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中,工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解决。

例1 一项工程,如果甲先做5天,那么乙接着做20天可完成;如果甲先做20天,那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?

分析与解:本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意图:

从上图可直观地看出:甲15天的工作量和乙12天的工作量相等,即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件,通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24(天)

甲、乙合做这一工程,需用的时间为

例2 一项工程,甲、乙两队合作需6天完成,现在乙队先做7天,然后

么还要几天才能完成?

分析与解:题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率,只知道他们合作

们把“乙先做7天,甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天,乙再单独

例3 单独完成一件工作,甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后,剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。问:甲、乙二人合做需多少天完成?

分析与解:乙单独做要超过3天,甲、乙合做2天后乙继续做,刚好按时完成,说明甲做2天等于乙做3天,即完成这件工作,乙需要的时间是甲的

,乙需要10+5=15(天)。甲、乙合作需要

例4 放满一个水池的水,若同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成;若同时打开2,3,4号阀门,则21分钟可以完成;若同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成;若同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成。问:如果同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成?

分析与解:同时打开1,2,3号阀门1分钟,再同时打开2,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,2,4号阀门1分钟,这时,1,2,3,4号阀门各打开了3分钟,放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小队合干,需要8天完成;由二、三、四小队合干,需要10天完成;由一、四小队合干,需15天完成。如果按

一、二、三、四、一、二、三、四、??的顺序,每个小队干一天地轮流干,那么工程由哪个队最后完成?

分析与解:与例4类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和

例6 甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流

件工作,要用多少天才能完成?

分析与解:把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同(见下图虚线左边),相差的就是最后一轮(见下图虚线右边)。

由最后一轮完成的工作量相同,得到

巧用单位“1”

在工程问题中,我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中,都会遇到单位“1”的问题,根据题目条件正确使用单位“1”,能使解答的思路更清晰,方法更简捷。

分析:因为第一天、第二天都是与全书比较,所以应以全书的页数为单

答:这本故事书共有240页。

分析与解:本题条件中单位“1”的量在变化,依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”,出现了3个不同的单位“1”。按照常规思路,需要统一单位“1”,转化分率。但在本题中,不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”,

看成“1”,就可以求出第三天看后余下的部分占全书的

共有多少本图书?

分析与解:故事书增加了,图书的总数随之增加。题中出现两个分率

这给计算带来很多不便,需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化,而其它书的本数没有变,可以以

图书室原来共有图书

分析与解:与例3类似,甲、乙组人数都发生了变化,不变量是甲、乙组的总人数,所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。

例5 公路上同向行驶着三辆汽车,客车在前,货车在中,小轿车在后。在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等;走了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车,再过多少分钟,货车追上客车?

分析与解:根据“在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等”,设这段距离为单位“1”。由“走了10分钟,小轿车追上了货车”,可知小

轿

可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离,每分钟多行这段距离

两班各有多少人?

乙班有84-48=36(人)。

比和比例

比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。例如,5÷6可记作5∶6。

比值。

表示两个比相等的式子叫做比例(式)。如,3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例,就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等,这两个比能组成比例,否则不能组成比例。

在任意一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积。即:如果a∶b=c∶d,那么a×d=b×c。

两个数的比叫做单比,两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替,不能把连比看成连除。把两个比化为连比,关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项,方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如,

甲∶乙=5∶6,乙∶丙=4∶3,

因为[6,4]=12,所以

5∶ 6=10∶ 12, 4∶3=12∶9,

得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。

例1 已知3∶(x-1)=7∶9,求x。

解: 7×(x-1)=3×9,

x-1=3×9÷7,

例2 六年级一班的男、女生比例为3∶2,又来了4名女生后,全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。

分析与解:原来共有学生44-4=40(人),由男、女生人数之比为3∶2知,如果将人数分为5份,那么男生占3份,女生占2份。由此求出

女生增加4人变为16+4=20(人),男生人数不变,现在男、女生人数之比为 24∶20=6∶5。

在例2中,我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配,把比的各项相加得到总份数,各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率,由此可求得各个分量。

例3 配制一种农药,其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12,现在要配制这种农药2700千克,求各种原料分别需要多少千克。

分析:总量是2700千克,各分量的比是1∶2∶12,总份数是1+2+12=15,

答:生石灰、硫磺粉、水分别需要180,360和2160千克。

在按比例分配的问题中,也可以先求出每份的量,再求出各个分量。如例3中,总份数是1+2+12=15,每份的量是2700÷15=180(千克),然后用每份的量分别乘以各分量的份数,即用180千克分别乘以1,2,12,就可以求出各个分量。

例4 师徒二人共加工零件400个,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?

分析与解:解法很多,这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率

有多少学生?

按比例分配得到

例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车30元,小客车15元,小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6,小客车与小轿车之比是4∶11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天这三种车辆通过的数量。

分析与解:大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比,如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4,6]=12,就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。

由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33,得到

大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。

以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30(元),所以这天通过的车辆共有210÷30=7(组)。这天通过

大客车=10×7=70(辆),

小客车=12×7=84(辆),

小轿车=33×7=231(辆)。

百分数

百分数有两种不同的定义。

(1)分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式,把百分数作为分数的一种特殊形式。

(2)表示一个数(比较数)是另一个数(标准数)的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用,用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。

百分数通常不写成分数形式,而采用符号“%”来表示,叫做百分号。

在第二种定义中,出现了比较数、标准数、分率(百分数),这三者的关系如下:

比较数÷标准数=分率(百分数),

标准数×分率=比较数,

比较数÷分率=标准数。

根据比较数、标准数、分率三者的关系,就可以解答许多与百分数有关的应用题。

例1 纺织厂的女工占全厂人数的80%,一车间的男工占全厂男工的25%。问:一车间的男工占全厂人数的百分之几?

分析与解:因为“女工占全厂人数的80%”,所以男工占全厂人数的1-80%=20%。

又因为“一车间的男工占全厂男工的25%”,所以一车间的男工占全厂人数的20%×25%=5%。

例2 学校去年春季植树500棵,成活率为85%,去年秋季植树的成活率为90%。已知去年春季比秋季多死了20棵树,那么去年学校共种活了多少棵树?

分析与解:去年春季种的树活了500×85%=425(棵),死了500-425=75(棵)。去年秋季种的树,死了75-20=55(棵),活了 55÷(1-90%)×90%=495(棵)。所以,去年学校共种活425+495=920(棵)。

例3 一次考试共有5道试题。做对第1,2,3,4,5题的人数分别占参加考试人数的85%,95%,90%,75%,80%。如果做对三道或三道以上为及格,那么这次考试的及格率至少是多少?

分析与解:因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几,所以不妨设总量即参加考试的人数为100。

由此得到做错第1题的有100×(1-85%)=15(人);

同理可得,做错第2,3,4,5题的分别有5,10,25,20人。

总共做错15+5+10+25+20=75(题)。

一人做错3道或3道以上为不及格,由75÷3=25(人),推知至多有25人不及格,也就是说至少有75人及格,及格率至少是75%。 例4 育红小学四年级学生比三年级学生多25%,五年级学生比四年级学生少10%,六年级学生比五年级学生多10%。如果六年级学生比三年级学生多38人,那么三至六年级共有多少名学生?

分析:以三年级学生人数为标准量,则四年级是三年级的125%,五年级是三年级的125%×(1-10%),六年级是三年级的125%×(1-10%)×(1+10%)。因为已知六年级比三年级多38人,所以可根据六年级的人数列方程。

解:设三年级有x名学生,根据六年级的人数可列方程: x×125%×(1-10%)×(1+10%)=x+38,

x×125%×90%×110%=x+38,

1.2375x=x+38,

0.2375x=38,

x=160。

三年级有160名学生。

四年级有学生 160×125%=200(名)。

五年级有学生200×(1-10%)=180(名)。

六年级有学生 160+38=198(名)。

160+200+180+198=738(名)。

答:三至六年级共有学生738名。

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道,将糖溶于水就得到了糖水,其中糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。如果水的量不变,那么糖加得越多,糖水就越甜,也就是说,糖水甜的程度是由糖(溶质)与糖水(溶液=糖+水)二者重量的比值决定的,这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地,酒精溶于水中,纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系:

溶液重量=溶质重量+溶剂重量,

溶质含量=溶质重量÷溶液重量,

溶液重量=溶质重量÷溶质含量,

溶质重量=溶液重量×溶质含量。

溶质含量通常用百分数表示。例如,10克白糖溶于90克水中,含糖量(溶

例5 有含糖量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖?

分析与解:在600克含糖量为7%的糖水中,有糖(溶质)600×7%=42(克)。

设再加x克糖,可使其含糖量加大到10%。此时溶质有(42+x)克,溶液有(600+x)克,根据溶质含量可得方程

需要再加入20克糖。

例6 仓库运来含水量为90%的一种水果100千克,一星期后再测,发现含水量降低到80%。现在这批水果的总重量是多少千克?

分析与解:可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始,果重 100×(1-90%)=10(千克)。

一星期后含水量变为80%,“果”与“水”的比值为

因为“果”始终是10千克,可求出此时“水”的重量为 所以总重量是10+40=50(千克)。

商业中的数学

市场经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经历,都知道商品有定价,但是这个价格是怎样定的?这就涉及到商品的成本、利润等听起来有些陌生的名词。

这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。

利润=售出价-成本,

例如,一件商品进货价是80元,售出价是100元,则这件商品的利润是100-80=20(元),利润率是

在这里我们用“进货价”代替了“成本”,实际上成本除了进货价,还包括运输费、仓储费、损耗等,为简便,有时就忽略不计了。

例1某商品按每个7元的利润卖出13个的钱,与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元?

解:设进货价是每个x元。由“售出价=进货价+利润”,根据前、后两次卖出的钱相等,可列方程

(x+7)×13=(x+11)×12,

13x+91=12+132

x=41。

答:进货价是每个41元。

例2 租用仓库堆放3吨货物,每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月,由于降低了价格,结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比原计划多赚了1000元。问:每千克货物的价格降低了多少元?

分析与解:原计划租仓库3个月,现只租用了2个月,节约了1个月的租金7000元。如果不降低价格,那么应比原计划多赚7000元,但现在只多赚了1000元,说明降价损失是7000-1000=6000(元)。 因为共有3吨,即3000千克货物,所以每千克货物降低了6000÷3000=2(元)。

例3 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说:“如果你肯减价,那么每减价1元,我就多订购4件。”商店经理算了一下,若减价5%,则由于张先生多订购,获得的利润反而比原来多100元。问:这种商品的成本是多少元?

分析与解:设这种商品的成本是x元。减价5%就是每件减100×5%=5(元),张先生可多买4×5=20(件)。由获得利润的情况,可列方程

(100-x)×80 +100=(100-5-x)×(80 + 20),

8000-80x+100=9500-100x,

20x=1400,

x=70,

这种商品的成本是70元。

由例2、例3看出,商品降价后,由于增加了销售量,所以获得的利润有时反而比原来多。

例4 某商店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米,运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%,商店要想实现25%的利润率,零售价应是每千克多少元?

分析与解:本题的成本包括收购价、运费、损耗。每千克的收购价加运费是1.20+1.50×400÷1000=1.80(元)。

因为有10%的损耗,所以每千克的成本为1.80÷(1-10%)=2.00(元)。

售出价=成本×(利润率+1)

=2.00×(25%+1)

=2.50(元),

即零售价应是每千克2.50元。

例5 小明到商店买了相同数量的红球和白球,红球原价2元3个,白球原价3元5个。新年优惠,两种球都按1元2个卖,结果小明少花了8元钱。问:小明共买了多少个球?

例6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12%,乙种贷款年利率为14%。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?

解:设申请甲种贷款x万元,则申请乙种贷款(40-x)万元。根据需付利息可得方程

x×12%+(40-x)×14%=5,

0.12x+5.6-0.14x=5,

0.02x=0.6,

x=30(万元)。

40-30=10(万元)。

答:申请甲种贷款30万元,乙种贷款10万元。

圆与扇形

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2,

圆的周长=2πr,

本书中如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。

例1 如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?(精确到0.01米)

分析与解:半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为

πR-πr=π(R-r)

=3.14×1.22≈3.83(米)。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2 有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?

分析与解:由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。

例3 左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。

分析与解:直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。

例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。问:这只羊能够活动的范围有多大?

分析与解:如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,

所以羊活动的范围是

例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。

分析与解:阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

所以,扇形的半径是4厘米。

例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。

分析与解:解此题的基本思路是:

从这个基本思路可以看出:要想得到阴影部分S1 的面积,就必须想办法求出S2和S3的面积。

S3的面积又要用下图的基本思路求:

现在就可以求出S3的面积,进而求出阴影部分的面积了。

S3=S4-S5=50π-100(厘米2),

S1=S2-S3=50π-(50π-100)=100(厘米2)。

圆柱与圆锥

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1 如右图所示,圆锥形容器中装有5升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,这个容器还能装多少升水?

分析与解:本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水,已经装了1份,还能装水5×(8-

1)=35(升)。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面,另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少?(精确到1厘米3)

分析与解:铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是

桶的容积是

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料,正放时饮料高度为20厘米,倒放时空余部分的高度为5厘米(见右图)。问:瓶内现有饮料多少立方分米?

分析与解:瓶子的形状不规则,并且不知道底面的半径,似乎无法计算。比较一下正放与倒放,因为瓶子的容积不变,装的饮料的体积不变,所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置,可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变,高为 20+5=25(厘

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米,水桶

中后,水桶中的水面升高了多少厘米?

解:皮球的体积是

水面升高的高度是450π÷900π=0.5(厘米)。

答:水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米(见右图)。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米?

分析与解:需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面,其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块,和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块,熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块,求这个圆柱形铝块的高。

解:被熔的圆锥形铝块的体积:

被熔的圆柱形铝块的体积:π×302×20=18000π(厘米3)。 熔成的圆柱形铝块的高:(3600π+18000π)÷(π×152) =21600π÷225π=96(厘米)。

答:熔铸成的圆柱体高96厘米。

立体图形(一)

我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形,讲解有关的计数问题。 例1 左下图中共有多少个面?多少条棱?

分析与解:如右上图所示,可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

前、后看各有1个面,左面看有1个面,右面看有2个面,上面看有2个面,下面看有1个面。所以共有

1+1+1+2+2+1= 8(个)面。

前后方向的棱有6条,左右方向的棱有6条,上下方向的棱也有6条,所以共有棱6+6+6=18(条)。

例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。

分析与解:如果一面一面去数,那么虽然可以得到答案,但太麻烦,而且容易出错。仔细观察会发现,这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。

如上图所示,可求得表面积为

(9+7+8)×2=48(厘米2)。

例3 右图是由22个小正方体组成的立体图形,其中共有多少个大大小小的正方体?由两个小正方体组成的长方体有多少个?

分析与解:正方体只可能有两种:

由1个小正方体构成的正方体,有22个;

由8个小正方体构成的2×2×2的正方体,有4个。

所以共有正方体 22+4=26(个)。

由两个小正方体组成的长方体,根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种,其中上下位有13个,左右位有13个,前后位有14个,共有13+13+14=40(个)。

例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块,从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(见下页左上图),求这个立体图形的表面积。

分析与解:由于正方体中间被穿了孔,表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示,八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角,12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体,相对于不粘接,减少了表面积4厘米2 ,所以总的表面积为

(2×2×6)×8+(1×1×6)×12-4×12=216(厘米2)。

例5 右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体,如果将其表面涂成红色,那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块?

分析与解:一个长方体有8个角、12条棱、6个面,角上的8个小立方体三面涂有红色,在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色,在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色,不在面上的小立方体没有涂上红色。

根据上面的分析得到:

三面涂有红色的小立方体有8块;

两面涂有红色的小立方体,因为每条棱上要去掉两头的2块,故有[(4-2)+(5-2)+(6-2)]×4=36(块);

一面涂有红色的小立方体,因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体,故有

[(4-2)×(5-2)+(4-2)×(6-2)+(5-2)×(6-2)]×2= 52(块)。

一般地,当a,b,c都不小于2时,对于a×b×c的立方体: 三面涂有红色的小立方体有8块;

两面涂有红色的小立方体的块数是:

[(a-2)+(b-2)+(c-2)]×4;

一面涂有红色的小立方体的块数是:

[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]×2; 没有被涂上红色的小立方体的块数是:

(a-2)×(b-2)×(c-2)。

例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种,每种颜色涂两个面,共有多少种不同涂法?(两种涂法,经过翻动能使各种颜色的位置相同,认为是相同的涂法。)

分析与解:根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

(1)两个红色面相对。此时,有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

(2)两个红色面相邻。此时,除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外,当蓝黄相对时,按右图摆放,底面有蓝或黄两种涂法。

所以共有6种不同涂法。

立体图形(二)

本讲主要讲长方体和立方体的展开图,各个面的相对位置,提高同学们的看图能力和空间想象能力。

例1 在下面的三个图中,有一个不是右面正四面体的展开图,请将它找出来。

分析与解:观察四面体容易看出,每个顶点都是三个面的交点,即四面体的每个顶点只与三个面相连,而在图2中,“中心点”与四个面相连,所以图2不是正四面体的展开图。

例2 在下面的四个展开图中,哪一个是右图所示立方体的展开图?

分析与解:观察立方体图形,A,B,C三个面两两相邻,即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图,图1中A与C不相邻,是相对的两个面,不合题意;图3中C与B是相对的两个面,也不合题意;图2、图4中A,B,C三个面都相邻,还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形:

这两个图虽然相似,但是A,B,C三个面的相对位置不同。

我们可以借助一个现成工具——右手,帮助判断三个面的相对位置。伸出右手,让除大姆指外的四指从A向B弯曲,此时,左上图中C位于大姆指指向的方向,右上图中C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A,B,C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。(这也是建立空间坐标系的方法)。

用右手方法很容易判断出,图4是所求的展开图。

例3 右图是一个立方体纸盒的展开图,当折叠成纸盒时,1 点与哪些点重合?

分析与解:直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景,也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8个顶点,其中与A点不在一个

表面上的只有B点,也就是说,沿着表面走,这两个点的路程最远。在展开图上,这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中,1,2,6点都距9点最远,也就是说,1,2,6点都与9点不在一个表面上。而与9点不在一个表面上的只有一个点,所以1,2,6点是同一个点,即折叠成纸盒时,1,2,6点重合。

例4 有两块六个面上分别写着1~6的相同的数字积木,摆放如下图。在这两块积木中,相对两个面上的数字的乘积最小是多少?

分析与解:由两图看出,5与1,3,4,6都相邻,所以5的对面只能是2;对右上图使用右手方法,四指由5向4弯曲,大姆指指向6,将5,4,6的这个关系移到左上图,立刻得到1的对面是4,3的对面是6。 5×2=10,1×4=4,3×6=18,

相对两个面上的数字的乘积最小是4。

例5 有五颗相同的骰子放成一排(如下图),五颗骰子底面的点数之和是多少?

分析与解:五颗骰子有三颗露出了5,并且5和1,2,3,6相邻,所以5的对面是4;2与1,3,5相邻,因为5与4相对,故2也与4相邻,所以2的对面是6;剩下的1与3必相对。

五颗骰子底面的点数从左至右依次是4,6,3,1,4,其和为4+6+3+1+4=18。

例6 用一平面去截一个立方体,把立方体截成两个部分,截口是一个矩形的。问:这两个部分各是几个面围成的?

分析与解:截的方法有多种,所以一定要分情况讨论。截口通过1条棱是1种情况,截口通过2条棱是1种情况,截口不通过任何棱有2种情况。所以共有下图所示的四种可能。

近似值与估算

在计数、度量和计算过程中,得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下,得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数,这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如,测量身高或体重,得到的就是近似数。又如,统计全国的人口数,由于地域广人口多,统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡,得到的也是近似数。

用位数较少的近似值代替位数较多的数时,要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数,取舍尾数的主要方法有:

(1)四舍五入法。四舍,就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时,就把尾数舍去;五入,就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时,把尾数舍去后,在它的前一位加1。例如:7.3964?,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.40。

(2)去尾法。把尾数全部舍去。例如:7.3964?,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.39。

(3)收尾法(进一法)。把尾数舍去后,在它的前一位加上1。例如:7.3964?,截取到千分位的近似值是7.397,截取到百分位的近似值是7.40。

表示近似值近似的程度,叫做近似数的精确度。

在上面的三种方法中,最常用的是四舍五入法。一般地,用四舍五入法截得的近似数,截到哪一位,就说精确到哪一位。

例1有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么,精确到小数点后两位数是多少?

分析与解:13个自然数之和必然是整数,因为此和不是13的整数倍,所以平均值是小数。由题意知,26.85≤平均值<26.95,所以13个数之和必然不小于26.85的13倍,而小于26.95的13倍。

26.85×13=349.05,

26.95×13=350.35。

因为在349.05与350.35之间只有一个整数350,所以13个数之和是350。

350÷13=26.923?

当精确到小数点后两位数时,是26.92。

例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数,如例1中13个数的平均数,如果不知道它的确切数值,那么可以根据题设条件,适当地将它放大或缩小,再进一步确定它的具体数值。当然,这里的“放大”与“缩小”都要适当,如果放得过大或缩得过小,则可能无法确定正确值,这时“放缩”就失败了。

分析与解:真正计算出这个算式,再取近似值,几乎是不可能的。因为题目要求精确到小数点后三位数,所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。

若分子缩小、分母扩大,则分数变小;若分子扩大、分母缩小,则分数变大。利用这一点,使用放缩法就能估计算式的值的范围。分子、分母各取两位小数,有

?由0.2037? <原式<0.2549?,无法确定原式小数点后三位的近似值。缩放的范围太大,应使范围缩小些。

分子、分母各取三位小数,有

仍然无法确定,还应使范围缩小。

分子、分母各取四位小数,有

由 0.2395?<原式<0.2398?知,原式小数点后三位肯定是“239”,第四位在5和8之间。按四舍五入法则,精确到小数点后三位数的近似值是0.240。

由例2进一步看出“放缩”适度的重要性。取的位数少了,范围太大,无法确定;取的位数多了,例如取十位小数,计算量太大,繁琐且没有必要。

例3 求下式的整数部分:

分析与解:对分母使用放缩法,有

所以199.1<原式<200,原式整数部分是199。

例4 求下式的整数部分:

1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。

分析与解:在1.22×8.03, 1.23×8.02与1.24×8.01中,各式的两个因数之和都相等。当两个数的和一定时,这两个数越接近,这两个数的乘积越大,于是得到

1.22×8.03<1.23×8.02<1.24×8.01。

因为1.22×8.03>1.22×8,所以

原式>1.22×8×3=29.28;

因为 1.24×8.01<1.25×8,所以

原式<1.25×8×3=30。

由29.28<原式<30知,原式的整数部分是29。

前面讲过,四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在实际问题中,一定要注意灵活运用,特别要注意有些问题不宜使用四舍五入的原则。

例5某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全?(精确到0.1米) 解:0.112×(70÷5)

=0.112×10

=1.12≈1.2(米)

答:导火线至少长1.2米。

此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米,执行任务的人还没跑到安全地带,炸药就被引爆,那可就太危险了。

例6某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时,飞去时速度为900千米/时,飞回时速度为850千米/时。问:该飞机最远飞出多少千米就应返回?(精确到1千米)

解:设该飞机最远能飞出x千米,依题意有

答:飞机最远飞出1748千米就应返回。

此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则,那么得到x≈1749,当飞机真的飞出1749千米再返回时,恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。

数值代入法

有一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无法求解,但是仔细分析发现,题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量,而题目中缺少的条件,对于答案并无影响,这时就可以采用“数值代入法”,即对于题目中“缺少”的条件,假设一个数代入进去(当然假设的这个数应尽量方便计算),然后求出解答。

例1 足球赛门票15元一张,降价后观众增加一倍,收入增加五分之一。问:一张门票降价多少元?

分析与解:初看似乎缺少观众人数这个条件,实际上观众人数与答案无关。因为降价前后观众人数存在倍数关系,收入也存在比例关系,所以可以使用数值代入法。我们随意假设观众人数,为了方便,假设原来只有一个观众。

,则降价后每张票价为9元,每张票降价15-9=6(元)。

例2 某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米,其中男孩人数比女孩人

分析与解:题中没有男、女孩的人数,我们可以假设女孩有5人,则男孩有6人。这时总身高为:

115×(5+6)=1265(厘米)。

例3 甲、乙分别由A,B两地同时出发,甲、乙两人步行的速度比是7∶5。如果相向而行,那么0.5时后相遇;如果按从A到B的方向同向而行,那么甲追上乙需要多少小时?

分析与解:设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时,则A,B两地相距(7+5)×0.5=6(千米)。

同向而行,甲追上乙需要65÷(7—5)=3(时)。

需要说明的是,A,B两地的距离并不一定是6千米,6千米是根据假设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时而计算出来的。假设不同的速度,会得出不同的距离,因为假设的速度与计算出的距离成正比,所求的时间是“距离÷速度差”,所以不影响结论的正确性。

例4五年级三个班的人数相等,一班的男生人数与二班女生人数相等,

三几?

分析:由“三个班人数相等,一班男生数与二班女生数相等”知,一班女生数等于二班男生数,因此一、二班男生人数的和

以及一、二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值,那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和(即每班人数),问题就迎刃而解了。

个班

在上面的例题中,将假设的数值代入解题过程,便得到正确答案。对于这类题目,假设不同的数值,都会得到相同的答案。还有一类题目,也可以使用数值代入法,但因为题中涉及的量不仅仅是倍数关系,所以假设的数不同,结果就不同,需要通过比较所得结果与已知结果来修正假设的数,从而得出正确解答。

例5 用绳子测量井深,把绳三折来量,井外余4米;把绳四折来量,井外余1米。求井深和绳长。

分析与解:由题意可知,三折后的绳子比四折后的绳子多4-1=3(米)。假设这根绳长12米,那么三折后的绳长比四折后的绳长长12÷3-12÷

井深=36÷4-1=8(米)。

例6 甲车从A地到B地需行6时,乙车从B地到A地需行10时。现在甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,相遇时甲车比乙车多行90千米,求A,B两地的距离。

分析与解:假设A,B相距30千米(既是6的倍数又是10的倍数),那么

甲车的速度为 30÷6=5(千米/时),

乙车的速度为 30÷10=3(千米/时),

两车相遇需 30÷(5+3)=3.75(时),

相遇时甲车比乙车多行

(5-3)×3.75=2×3.75=7.5(千米)。

题目条件“甲车比乙车多行90千米”是7.5千米的90÷7.5= 12(倍),说明A,B两地距离是假设的30千米的12倍,即

30×12=360(千米)。

枚举法

我们在课堂上遇到的数学问题,一般都可以列出算式,然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目,由于找不到计算它们的算式,似乎无从下手。但是,如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来,或能被分类列举出来,那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法,就是根据题目要求,将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来,从而解决问题的方法。 例1 小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。若两枚骰子的点数和为7,则小明胜;若点数和为8,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。

分析与解:将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来,就可得到问题的结论。用a+b表示第一枚骰子的点数为a,第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种,它们是:

1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1。

出现8的情况共有5种,它们是:

2+6,3+5,4+4,5+3,6+2。

所以,小明获胜的可能性大。

注意,本题中若认为出现7的情况有1+6,2+5,3+4三种,出现8的情况有2+6,3+5,4+4也是三种,从而得“两人获胜的可能性一样大”,那就错了。

例2 数一数,右图中有多少个三角形。

分析与解:图中的三角形形状、大小都不相同,位置也很凌乱,不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复,我们将图形的各部分编上号(见右图),然后按照图形的组成规律,把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的??再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个:1 ,2,3,5,6,8。

由两部分组成的三角形有4个:

(1,2),(2,6),(4,6),(5,7)。

由三部分组成的三角形有1个:(5,7,8)。

由四部分组成的三角形有2个:

(1,3,4,5),(2,6,7,8)。

由八部分组成的三角形有1个:

(1,2,3,4,5,6,7,8)。

总共有6+4+1+2+1=14(个)。

对于这类图形的计数问题,分类型数是常用的方法。

例3 在算盘上,用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数? 分析与解:上珠一个表示5,下珠一个表示1。分三类枚举:

(1)两颗珠都是上珠时,可表示5005,5050,5500三个数;

(2)两颗珠都是下珠时,可表示1001,1010,1100,2000四个数;

(3)一颗上珠、一颗下珠时,可表示5001,5010,5100,1005,1050,1500,6000七个数。

一共可以表示 3+4+7=14(个)四位数。

由例1~3看出,当可能的结果较少时,可以直接枚举,即将所有结果一一列举出来;当可能的结果较多时,就需要分类枚举,分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果,这样才能不遗漏,并且类与类之间不重叠,这样才能不重复。

例4 有一只无盖立方体纸箱,将它沿棱剪开成平面展开图。那么,共有多少种不同的展开图?

分析与解:我们将展开图按最长一行有多少个正方形(纸箱的面)来分类,可以分为三类:

最长一行有4个正方形的有2种,见图(1)(2);

最长一行有3个正方形的有5种,见图(3)~(7); 最长一行有2个正方形的有1种,见图(8)。

不同的展开图共有2+5+1=8(种)。

例5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么,这五天作业他共有多少种不同的安排?

分析与解:本题是分步进行一项工作,每步有若干种选择,求不同安排的种数(有一步差异即为不同的安排)。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算,而本题中由于限定条件较多,很难列出算式计算。但是,我们可以根据实际的安排,对每一步可能的选择画出一个树枝状的图,非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。

由上图可知,共有6种不同的安排。

例6 一次数学课堂练习有3道题,老师先写出一个,然后每隔5分钟又写出一个。规定:(1)每个学生在老师写出一个新题时,如果原有题还没有做完,那么必须立即停下来转做新题;(2)做完一道题时,如果老师没有写出新题,那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能?

分析与解:与例5类似,也是分步完成一项工作,每步有若干种可能,因此可以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。

由上图可知,共有5种不同的顺序。

说明:必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程,表示在第一个5分钟内做完了第1题,在第二个5分钟内没做完第2题,这时老师写出第3题,只好转做第3题,做完后再转做第2题。 例7 是否存在自然数n,使得n2+n+2能被3整除?

分析与解:枚举法通常是对有限种情况进行枚举,但是本题讨论的对象是所有自然数,自然数有无限多个,那么能否用枚举法呢?我们将

自然数按照除以3的余数分类,有整除、余1和余2三类,这样只要按类一一枚举就可以了。

当n能被3整除时,因为n2,n都能被3整除,所以

(n2+n+2)÷3余2;

当n除以3余1时,因为n2,n除以3都余1,所以

(n2+n+2)÷3余1;

当n除以 3余 2时,因为n2÷3余1,n÷3余2,所以

(n2+n+2)÷3余2。

因为所有的自然数都在这三类之中,所以对所有的自然数n,(n2+n+2)都不能被3整除。

列表法

在四年级讲还原问题(逆推法)和逻辑问题时,我们使用的就是列表法。对于一些计算比较简单,而且多次重复计算的问题,使用列表法,表达简洁,不易出错,如例1;有些问题,条件不断变化,不便统一列式计算,也应采用列表法,如例2、例3;还有些问题,无法列式计算,只能采用列表推演,如例4、例5。总之,使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。

例1 一个运动队进行翻山训练,往返于一座山两侧山脚下的A,B两地。从A地出发,上山路长3000米,每分钟行75米;下山每分钟行100米,用42分钟到达B地。如果上、下山的速度不变,那么从A地到B地,再从B地返回A地,共需多长时间?

分析与解:这是一道很简单的题目,只需利用时间、路程、速度的关系,就可以得到结果。因为从A地到B地,要先上山再下山,从B地返回A地,又要先上山再下山,中间经过四次变化。为了减少计算错误,可以利用列表法。

先将已知的数据填入下表:

再根据时间、路程、速度的关系,从上到下,由已知的两个求出另一个,边计算边填表,得到下表:

由上表得到往返所需时间为

40+42+56+30=168(分)=2时48分。

例2 有100个人,第一位带了3元9角钱,以后每位都比前一位多带1角钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角的两种。如果每人尽可能买5角一本的,那么这100人共买了多少本每本8角的练习本?

分析与解:因为每人带的钱数不同,所以不可能统一列式计算。可以采用列表法,然后从表中发现规律。填表计算时注意,一要尽量多买5角一本的,二要把钱用完。

由于44角比39角多5角,所以可多买1本5角的,而8角1本的买的数量相同。类似地,45角比40角多5角等等。由此看出,所买8角一本的本数随钱数增加呈周期规律,一个周期内有五个数:3,0,2,4,1(本)。所以100个人共买8角一本的

(3+0+2+4+1)×(100÷5)=200(本)。

例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是6.6米/秒,乙的速度是2.9米/秒。以后每分钟内的速度,甲总是前一分钟的2倍,乙总是前一分钟的3倍。问:出发后多长时间乙追上甲?

分析与解:因为两人的速度都在变化,不好统一列式计算,我们可以列一个表观察一下。

由上表看出,乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算,乙追上甲还需

(2772-2262)÷(2.9×3-6.6×2) 33

=510÷25.5=20(秒)。

所以,出发后3分20秒乙追上甲。

例4 一只大桶装了10升水,另外有恰好能装3升和7升水的桶各一只。怎样才能只利用这三只桶把这10升水平均分为两份?

分析与解:这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算,就是找到了正确方法,叙述整个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法,其中箭头表示从箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向的桶中。列表使倒水的过程一目了然,既有利于对问题的思考,又简化了文字叙述。

在例4中,始终按从大桶向7升桶倒水,从7升桶向3升桶倒水,从3升桶向大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中,出现从这桶倒向那桶,又从那桶倒回这桶(这两步不一定挨着),那么这个操作毫无意义,肯定可以简化掉。

例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面的方法搬动5次:

第1次,把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第2次,把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去;

第3次,甲盘不动,把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第4次,乙盘不动,把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去; 第5次,丙盘不动,把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。 最后发现,甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4,6,8个苹果。你知道小明是怎样搬动的吗?

分析与解:关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动,每次可以有6种不同选择;后三次搬动,因为固定了一只盘子,所以每次只有2种不同选择。显然,从后向前逆推比较容易。逆推过程见下页表,其中圈起来的数字是题目条件规定不动的,箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。

因为第五次丙盘不动,由搬动后甲盘中只有4个苹果,它不可能是接受5个苹果的,所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后的情况。

第四次乙盘不动,或者从甲盘搬到丙盘,或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬到丙盘,因为搬完后甲盘有9个苹果,搬前应有9+4=13(个)苹果,可是甲盘初始时有6个苹果,就是前三次搬动的苹果都给甲盘,也只有6+1+2+3=12(个)苹果,与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后”的情况。 类似地可以得到“第二次后”的情况。

最后,为满足“初始状态”各盘都是6个苹果,可得到第一次、第二次搬动的情况。

图解法

有许多应用题,其中的数量关系比较复杂,而通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了,从而达到解题目的。这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。

我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解法解题。

例1 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。到现在为止,甲已经赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1 盘。问:小强已经赛了几盘?分别与谁赛过?

分析与解:这道题按照常规思路似乎不太好解决,我们画个图试试。用五个点分别表示参加比赛的五个人,如果某两人已经赛过,就用线段把代表这两个人的点连结起来。

因为甲已经赛了4盘,除了甲以外还有4个点,所以甲与其他4个点都有线段相连(见左下图)。

因为丁只赛了1盘,所以丁只与甲有线段相连。

因为乙赛了3盘,除了丁以外,乙与其他三个点都有线段相连(见右上图)。

因为丙赛了2盘,右上图中丙已有两条线段相连,所以丙只与甲、乙赛过。

由上页右图清楚地看出,小强赛过2盘,分别与甲、乙比赛。 例2 一群人在两片草地上割草,大的一片草地比小的正好大1倍。他们先全体在大的一片草地干了半天,下午留下一半人在大草地上继续干,收工时正好把草割完;另一半人到小草地上干,收工时还余下一块,这块再用1人经1天也可割完。问:这群干活的人共有多少位? 分析与解:本题有多种解法,其中利用图解法十分简洁。

设一半人干半天的工作量为1份。因为在大草地上全体人干了半天,下午一半人又干了半天,正好割完,所以大草地的工作量是3份。由题意,小草地

因为下午有一半人在小草地上干了半天,即干了1份,所以小草地没干完的是

例3 A,B两地间有条公路,甲从A地出发步行到B地,乙骑摩托车从B地同时出发,不停顿地往返于A,B两地之间。80分钟后他们第一次相遇,又过了20分钟乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。

分析与解:在行程问题中,通常先画出运行图,这样直观清晰,可以帮助我们分析各个量之间的关系。依照题意画运行图如下:

第一次相遇时甲、乙各行了80分钟,到第一次超越时,甲共行100分钟,而乙在第一次相遇到第一次超越的这20分钟内行的路程,相当于甲行80+100=180(分)的路。所以甲、乙的速度之比为

20∶180=1∶9。

例4 两名运动员在长为50米的游泳池里来回游泳。甲运动员的速度是1米/秒,乙运动员的速度是0.5米/秒,他们同时分别在游泳池的两端出发,来回共游了5分钟,如果不计转向时间,那么在这段时间里共相遇了几次?

分析与解:甲游完一个全程要50÷1=50(秒),乙游完一个全程要50÷0.5=100(秒),画出这两人的运行图。

图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次,从图上可以看出,甲、乙两运动员在5分钟内共相遇了5次,其中,有2次在游泳池的两端相遇。

例4中,如果按照相遇、追及??的过程分别计算,是十分麻烦的。通过画出运行图,结果一目了然。

例5 容器中有某种酒精含量的酒精溶液,加入一杯水后酒精含量降为25%;再加入一杯纯酒精后酒精含量升为40%。那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少?

分析与解:把加完水和酒精后的酒精溶液分成5份,因为酒精含量是40%,所以其中有2份纯酒精,3份水(见左下图,△表示纯酒精,○表示水)。加入纯酒精前酒精含量为25%,即纯酒精与水之比是1∶3,因此应该是1个△和3个○(见下中图),推知加入的一杯纯酒精相当于1个△,则一杯水是1个○,原来容器中有1个△和2个○(见右下图),酒精含量为33.3%。

例6 有三堆围棋子,每堆棋子数相等。第一堆中的黑子与第二堆中的白子

部棋子的几分之几?

分析与解:因为三堆围棋子数量相同,我们可以用三条长度相等的线段分别表示三堆棋子,每条线段又分成两段分别表示黑子和白子(见下页图)。

从图中看出,黑1与黑2正好等于一条线段的长,即等于全

时钟问题

“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表,人们的生活就离不开它了。什么时间起床,什么时间吃饭,什么时间上学??全都依靠钟表,如果没有钟表,生活就乱套了。

时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道,钟面的一周分为60格,分针每走60格,时针正好走5格,所以时针的速度是分针速度

垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同,并且都沿顺时针方向转动,所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

例1 现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?

分析:如右图所示,2点分针指向12,时针指向2,分针在时针后面

例2 在7点与8点之间,时针与分针在什么时刻相互垂直?

分析与解:7点时分针指向12,时针指向7(见右图),分针在时针后 面5×7=35(格)。时针与分针垂直,即时针与分针相差15格,在7点与8点之间,有下图所示的两种情况:

(1)顺时针方向看,分针在时针后面15格。从7点开始,分针要比时针多走35-15=20(格),需

(2)顺时针方向看,分针在时针前面15格。从7点开始,分针要比时针多走35+15=50(格),需

例3 在3点与4点之间,时针和分针在什么时刻位于一条直线上? 分析与解:3点时分针指向12,时针指向3(见右图),分针在时针后 面5×3=15(格)。时针与分针在一条直线上,可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况(见下图):

(1)时针与分针重合。从3点开始,分针要比时针多走15格,需15÷

(2)时针与分针成180°角。从3点开始,分针要比时针多走15+30

例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片,开始时分针与时针正好成一条直线,结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间? 分析与解:这道题可以利用例3的方法,先求出开始的时刻和结束的时刻,再求出播出时间。但在这里,我们可以简化一下。因为开始时两针成180°,结束时两针重合,分针比时针多转半圈,即多走30格,所以播出时间为

例1~例4都是利用追及问题的解法,先找出时针与分针所行的路程差是多少格,再除以它们的速度差求出准确时间。但是,有些时钟问题不太容易求出路程差,因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题,那么有时反而更容易。

例5 3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等,并且在“3”的两边?

分析与解:假设3点以后,时针以相反的方向行走,时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题,两针所行距离和是15个格。

例6 小明做作业的时间不足1时,他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间?

分析与解:从左上图我们可以看出,时针从A走到B,分针从B走到A,两针一共走了一圈。换一个角度,问题可以化为:时针、分针同时从B出发,反向而行,它们在A点相遇。两针所行的

时间是:

时间问题

同学们都知道,任何一块手表或快或慢都会有些误差,所以手表指示的时刻并不一定是准确时刻。这一讲的内容是与不准确时钟有关的时间问题。这类题目的变化很多,无论怎样变,关键是抓住单位时间内的误差,然后根据某一时间段内含多少个单位时间,就可求出这一时间段内的误差。

例1 肖健家有一个闹钟,每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点整时,肖健对准了闹钟,他想第二天早晨5点55分起床,于是他就将闹钟的铃定在了5点55分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃? 分析与解:因为这个闹钟走得慢,所以响铃时间肯定在5点55分后面

,闹钟走595分相当于标准时间的

响铃时是标准时间的6点整。

例2 爷爷的老式时钟的时针与分针每隔66分重合一次。如果早晨8点将钟对准,到第二天早晨时针再次指示8点时,实际上是几点几分? 分析与解:由上一讲知道,时针与分针两次重合的时间间隔为

所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢

时钟24时重合多少次呢?我们观察从12点开始的24时。分针转24圈,时针转2圈,分针比时针多转22圈,即22次追上时针,也就是说 24时正好

例3 小明家有两个旧挂钟,一个每天快20分,一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间,它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间?

分析与解:由时钟的特点知道,每隔12时,时针与分针的位置重复出现。所以快钟和慢钟分别快或慢12时的整数倍时,将重新显示标准时间。

钟快12时,需经过

(60×12)÷20=36(天),

即快钟每经过36天显示一次标准时间。慢钟慢12时需要 (60×12)÷30=24(天),

即慢钟每经过24天显示一次标准时间。

因为[36,24]=72,所以两个钟同时再次显示标准时间,至少要经过72天。

例4 一个快钟每时比标准时间快1分,一个慢钟每时比标准时间慢2分。若将两个钟同时调到标准时间,结果在24时内,快钟显示9点整时,慢钟恰好显示8点整。此时的标准时间是多少?何时将两个钟同时调准的?

分析与解:因为两个钟是同时调准的,所以当两个钟相差60分时,快钟20÷1=20(时),所以是20时前(12点40分)将两个钟同时调准的。

当然,本题也可以由慢钟求出结果。同学们不妨试试。

例5 某科学家设计了一只怪钟,这只怪钟每昼夜10时,每小时100分钟(见右图)。当这只钟显示5点整时,实际上是中午12点整。当这只钟显示3点75分时,实际上是什么时间?实际时间下午5点24分时,这只钟显示什么时间?

分析与解:怪钟每天100×10=1000(分),而实际即正常的钟是每天60×24=1440(分),所以怪钟的1分等于实际的

1440÷1000=1.44(分),实际的1分等于怪钟的

怪钟的10点整相当于正常钟的12点整。怪钟从10点到3点75分经过了375分,等于实际的

1.44×375=540(分)=9(时)。所以怪钟的3点75分就是实际的上午9点整。

从0点(即半夜12点)到下午5点24分,正常钟走了

60×(12+5)+24=1044(分),

等于怪钟的

所以实际时间下午5点24分时,怪钟显示7点25分。

例6 李叔叔下午要到工厂上3点的班,他估计快到上班的时间了,就到屋里去看钟,可是钟停在了12点10分。他赶快给钟上足发条,匆忙中忘了对表就上班去了,到工厂一看离上班时间还有10分钟。夜里11点下班,李叔叔回到家一看,钟才9点钟。如果李叔叔上、下班路上用的时间相同,那么他家的钟停了多长时间?

分析与解:这道题看起来很“乱”,但我们透过钟面显示的时刻,计算出实际经过的时间,问题就清楚了。

钟从12点10分到9点共经过8时50分,这期间李叔叔上了8时的班,再减去早到的10分钟,李叔叔上、下班路上共用

8时50分-8时-10分=40(分)。李叔叔到工厂时是2点50分,上班路上用了20分钟,所以出发时间是2点30分。

因为出发时钟停在12点10分,所以钟停了2时20分。 牛吃草问题

“一堆草可供10头牛吃3天,这堆草可供6头牛吃几天?”这道题太简单了,同学们一下就可求出:3×10÷6=5(天)。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”,问题就不那么简单了,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是牛吃草问题。

例1 牧场上一片青草,每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天,或者可供15头牛吃10天。问:可供25头牛吃几天? 分析与解:这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化,我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以这片草地每天新长出的草的数量相同,即每天新长出的草是不变的。下面,就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。

设1头牛一天吃的草为1份。那么,10头牛20天吃200份,草被吃完;15头牛10天吃150份,草也被吃完。前者的总草量是200份,后者的总草量是150份,前者是原有的草加 20天新长出的草,后者是原有的草加10天新长出的草。

200-150=50(份),20—10=10(天),

说明牧场10天长草50份,1天长草5份。也就是说,5头牛专吃新长出来的草刚好吃完,5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出,牧场上原有草

(l0—5)× 20=100(份)或(15—5)×10=100(份)。

现在已经知道原有草100份,每天新长出草5份。当有25头牛时,其中的5头专吃新长出来的草,剩下的20头吃原有的草,吃完需100÷20=5(天)。

所以,这片草地可供25头牛吃5天。

在例1的解法中要注意三点:

(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。

(2)在已知的两种情况中,任选一种,假定其中几头牛专吃新长出的草,由剩下的牛吃原有的草,根据吃的天数可以计算出原有的草量。

(3)在所求的问题中,让几头牛专吃新长出的草,其余的牛吃原有的草,根据原有的草量可以计算出能吃几天。

例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管,等水池存了一些水后,再打开出水管。如果同时打开2个出水管,那么

8分钟后水池空;如果同时打开3个出水管,那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟?

分析:虽然表面上没有“牛吃草”,但因为总的水量在均匀变化,“水”相当于“草”,进水管进的水相当于新长出的草,出水管排的水相当于牛在吃草,所以也是牛吃草问题,解法自然也与例1相似。 出水管所排出的水可以分为两部分:一部分是出水管打开之前原有的水量,另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的,所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

设出水管每分钟排出水池的水为1份,则2个出水管8分钟所排的水是2×8=16(份),3个出水管5分钟所排的水是3×5=15(份),这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3(分)内所放进的水量,所以每分钟的进水量是

有的水,可以求出原有水的水量为

解:设出水管每分钟排出的水为1份。每分钟进水量

答:出水管比进水管晚开40分钟。

例3 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?

分析与解:与例1不同的是,不仅没有新长出的草,而且原有的草还在减少。但是,我们同样可以利用例1的方法,求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,100-90=10(份),说明寒冷使牧场1天减少青草10份,也就是

说,寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草,所以牧场原有草 (20+10)×5=150(份)。

由 150÷10=15知,牧场原有草可供15头牛吃 10天,寒冷占去10头牛,所以,可供5头牛吃10天。

例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。问:该扶梯共有多少级?

分析:与例3比较,“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”,“草”变成了“梯级”,“牛”变成了“速度”,也可以看成牛吃草问题。 上楼的速度可以分为两部分:一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5= 100(级),女孩6分钟走了15×6=90(级),女孩比男孩少走了100-90=10(级),多用了6-5=1(分),说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和,所以扶梯共有 (20+10)×5=150(级)。

解:自动扶梯每分钟走

(20×5-15×6)÷(6—5)=10(级),

自动扶梯共有(20+10)×5=150(级)。

答:扶梯共有150级。

例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失,同时开4个检票口需30分钟,同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟?

分析与解:等候检票的旅客人数在变化,“旅客”相当于“草”,“检票口”相当于“牛”,可以用牛吃草问题的解法求解。

旅客总数由两部分组成:一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客,另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过(4×30)份,5个检票口20分钟通过(5×20)份,说明在(30-20)分钟内新来旅客(4×30-5×20)份,所以每分钟新来旅客

(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)。

假设让2个检票口专门通过新来的旅客,两相抵消,其余的检票口通过原来的旅客,可以求出原有旅客为

(4-2)×30=60(份)或(5-2)×20=60(份)。

同时打开7个检票口时,让2个检票口专门通过新来的旅客,其余的检票口通过原来的旅客,需要

60÷(7-2)=12(分)。

例6 有三块草地,面积分别为5,6和8公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。问:第三块草地可供19头牛吃多少天?

分析与解:例1是在同一块草地上,现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。

[5,6,8]=120。

因为 5公顷草地可供11头牛吃10天, 120÷5=24,所以120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天。

因为6公顷草地可供12头牛吃14天,120÷6=20,所以120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天。

120÷8=15,问题变为: 120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?

因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,所以原题可变为:

“一块匀速生长的草地,可供264头牛吃10天,或供240头牛吃14天,那么可供285头牛吃几天?”

这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有

(240×14-264×10)÷(14-10)=180(份)。草地原有草(264—180)×10=840(份)。可供285头牛吃

840÷(285—180)=8(天)。

所以,第三块草地可供19头牛吃8天。

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