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五年级春季奥数讲义 3

发布时间:2014-04-12 17:12:09  

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温馨提示: 校园是我家,平安靠大家。 第1讲 简便计算

专题简析:

根据算式的结构和数的特征,灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式,可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简,化难为易。 例题1。

计算4.75-9.63+(8.25-1.37)

原式=4.75+8.25-9.63-1.37

=13-(9.63+1.37)

=13-11

=2

计算下面各题。

1.6.73-2 8917(3.27-1 17 ) 2. 759-(3.8+1 59 )-115

例题2。

计算33338712 ×79+790×6666114 原式=333387.5×79+790×66661.25

=(33338.75+66661.25)×790

1

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=100000×790

=79000000

计算下面各题:

A组 1、3.5×1144 +125%+12÷5

B组 2、975×34 ×76-9.75

例题3。

计算:36×1.09+1.2×67.3

原式=1.2×30×1.09+1.2×67.3

=1.2×(32.7+67.3)

=1.2×100

=120

计算:

A组1. 45×2.08+1.5×37.6 B组 2. 52×11.1+2.6×778

2

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例题4。

计算:335 ×2525×625

原式=335 ×2525(25.4+12.5)×6.4

=335 ×2525×6.4+12.5×6.4

=(3.6+6.4)×25.4+12.5×8×0.8 =254+80

=334

计算下面各题:

A组 6.8×16.8+19.3×3.2

B组 139×1371138 +137×138

安全提示:道路牵着你我他,安全系着千万家 3

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温馨提示:营造校园安全氛围,创造温馨学习环境

例题5。

计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5

原式=81.5×(15.8+51.8)+67.6×18.5 =81.5×67.6+67.6×18.5

=(81.5+18.5)×67.6

=100×67.6

=6760

A组 53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5

B组 235×12.1+235×42.2-135×54.3

例题6。

计算:11791113153 -12+20-30 +42-56

原式=111 +111111113-(34 )+(4 +5 )-(5+6 )+(6 +7 )-(7+18 )

4

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=111111111113 3 4 +4+5-5-6+6 +7 -7 -8

=1-18

=78

计算下面各题:

A组 11579112+6 -12+20 -30

B组 1191113154-20 +30 -42+56

例题7计算:1+111112 4+8+16+32 +64

原式=(111111 +112 +4+8+16 +32+6464)-64

=1-164

=6364

计算下面各题:

A组: 1+1112 4 +8+………+256

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B组: 22 +2223 +927+81 +243

安全提示:高高兴兴上学,平平安安回家

第2讲 用方程解应用题

专题分析:

列方程解应用题是运用方程知识来解决一类实际问题,有些稍复杂的应用题需要逆向思维,运用算术方法解答有一定的困难,列方程解答就比较容易。

例1、工程队要铺设一段地下排水管道,用长管子铺需要25根,用短管子铺需要35根。已知这两种管子的长相差2米,这段排水管道长多少米?

分析 因为每根长管子比每根短管子长2米,我们可以设每根短管子为X米,则每根长管子为(X+2)米,铺设的都是同一地点下水管所以总长度不变。 解:设每根短管子为X米,则每根长管子为(X+2)米,

25×(X+2)=35×X

25×X+25×2=35×X

X=5

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检验:左边=25×(5 + 2)=175米 右边=35×5=175米

答:这段排水管道长175米

1,生产一批零件,甲单独生产要用6小时,乙单独生产要用8小时。如果甲每小时比乙多生产10个零件,这批零件一共有多少个?

2,一班的小朋友在操场上做游戏,每组6人。玩了一会儿,他们觉得每组人数太少便重新分组,正好每组9人,这样比原来减少了2组。参加游戏的小朋友一共有多少人?

例2、有两段长度相等的电线,安装电灯时,第一段用去了45米,

第二段用去了10米,结果第二段余下的电线刚好是第一段余下的2倍。两根电线原来各长多少米?

分析:我们不妨借助线段图来找本题的数量之间的关系。

如果设两段电线原来各长x米,则第一段电线剩下的长度是(x-45) 7

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米,第二段电线剩下的长度是(x-10)米。可根据第二段余下的电线刚好是第一段余下的2倍这一等量关系列方程。

解:设两段电线原来各长x米

(x-45)×2=x-10

2x-90=x-10

x=90-10

x=80

答:两根电线原来各长80米。

练习:

A组 小红和小明有同样多的钱。小红用去了20元,小明用去了45元,结果小红剩下的钱是小明的2倍。小红和小明原来各有多少钱?

B组 甲乙两个书店存书册数相等,甲书店售出2000册,乙书店购入5000册,这是乙书店的册数是甲书店的2倍。甲、乙两书店原来共存书多少册?

温馨提示:平安校园我爱它,人人安全靠大家。

例3、将一根电线截成15段。一部分每段长8米,另一部分每段长5米。 8

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长8米的总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米?

分析 设这15段中有X段是8米长的,则有(15-X)段是5米长的。然后根据“8米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程,并进行解答。

解:设这15段中有X段是8米长的,则有(15-X)段是5米长的

8×X-3=(15-X)×5

8×X-3=15×5-5×X

(8+5)×X=75+3 检验:左边=8×6-3=45 右边=(15-6)×5=45

13×X=78

X=6

练 习

1,某人过一个小山坡共用了20分钟,他上坡每分钟走80米,下坡每分钟走102米。上坡路比下坡路少220米。这段小坡路全长多少米?

2,食堂里买来15袋大米和面粉,每袋大米25千克,每袋面粉10千克。已知买回的大米比面粉多165千克,求买回大米、面粉各多少千克?

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例4、小红、小丽、小强三位同学,各用同样多的钱买了一些练习本。小红买的每本是0.6元,比小强少2本,小丽买的每本是0.4元,比小强多3本,问小强买了多少本练习本?每本的价格是多少?

分析:设小强买了x本,由于小红买的本数比小强少2本,所以小红买的本数为(x-2)个,小丽买的本数比小强多3本,所以小丽买的本数是(x+3)个。根据三人买练习本画的钱相等,可以列出方程。

解:设小强买了x本练习本

0.6×(x-2)=0.4×(x+3)

0.6x-1.2=0.4x+1.2

0.6x-0.4x=1.2+1.2

0.2x=2.4

x=12

0.6×(12-2)=6(元)

6÷12=0.5(元)

答:小强买了12本练习本,每本价格0.5元。

练习:

A组 一个两位数,十位数字是个位数字的2倍,将个位数字与十位数字调换,得到一个新的两位数,这两个两位数的和是132,求这个两位数。

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B组 小红想为妈妈的生日献上一束鲜花。她带的钱如果买6支康乃馨还剩3.6元,如果买同样的8支康乃馨,则差4.8元。问小红带了多少钱?

例5、甲船装粮595吨,乙船装粮225吨,要使甲船的装粮量为乙船的4倍,必须从乙船运多少吨粮食给甲船?

分析:先找相等的关系。乙船运来一部分粮给甲船后,使甲船的粮等于乙船粮的4倍,即:甲船的粮+乙船运出的粮=(乙船的粮-乙船运出的粮)×4,我们可以设乙船运出的粮为x吨,利用等量关系列出方程求解。

解:设从乙船运x吨粮

595+x=(225-x)×4

595+x=900-4x

4x+x=900-595

5x=305

X=61

答:必须从乙船运出61吨粮食给甲船.

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练习:

A组 甲、乙两班同学去参观珠算博物馆,两班人数相等。甲班平均分成4个小组,乙班平均分成6个小组,这样甲班每小组比乙班多4人。这两个班共有学生多少人?

B组 教室里有若干名学生,走了10个女生后,男生人数是女生人数的2倍,又走了9个男生后,女生人数是男生人数的5倍。问最初有多少名女生?

安全提示:安全是朵幸福花,大家浇灌美如画

第3讲 应用同余问题

专题简析:

同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的:

两个整数a,b,如果它们除以同一自然数m所得的余数想同,则称a,b对于模m同余。记作:a≡b(mod m)。读做:a同余于b模m。比如,12除以5,47除以5,它们有相同的余数2,这时我们就说,对于除数5,12和47同余,记做12≡47(mod 5)。 12

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同余的性质比较多,主要有以下一些:

性质(1):对于同一个除数,两个数之和(或差)与它们的余数之和(或差)同余。比如:32除以5余数是2,19除以5余数是4,两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说,对于除数5,“32+19”与它们的余数和“2+4”同余,用符号表示就是:32≡2(mod 5),19≡4(mod 5),32+19≡2+4≡1(mod 5)

性质(2):对于同意个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

性质(3):对于同意个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。

性质(4):对于同意个除数,如果两个整数同余,那么它们的乘方仍然同余。

应用同余性质的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数,使复杂的题变简单,使困难的题变容易。 例题1:

求1992×59除以7的余数。

应用同余性质(2)可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积,使计算简化。1992除以7余4,59除以7余3。根据同余性质,“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的,通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992 13

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×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5(mod 7)

所以1992×59除以7的余数是5。

练习1:

1、求4217×364除以6的余数。

2、求1339655×12除以13的余数。

例题2:

已知2001年的国庆节是星期一,求2010年的国庆节是星期几?

一星期有7天,要求2010年的国庆节是星期几,就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中,如果我们能充分利用同余性质,就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年,即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4(mod 7),365 14

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×7≡1×7≡0(mod 7),366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4(mod 7)

答:2010年的国庆节是星期五。

练习2:

1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几?

2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几?

温馨提示:安全知识要知道,平平安安最开心

例题3:

求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12,即2001≡12(mod 13)。根据同余性质(4),可知2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13),但12的2003次方仍然是一个很大的值,要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平 15

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方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1。所以(12的平方)的1001次方≡1的1001(mod 13),即12的2002次方≡1(mod 13),而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质(2)可知12的2002次方×12≡1×12≡12(mod 13)

因为:2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13)

12的平方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1

12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12(mod

13)

所以2001的2003次方除以13的余数是12。

练习3:

1、求12的200次方除以13的余数。

2、求3的92次方除以21余几。

例题4:

自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,m最大是多少?

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自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,换句话说就是16520≡14903≡14177(mod m)。根据同余性质(3),这三个饿数同余,那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少,就是求它们差的最大公约数是多少?

因为16520—14903=1617=3×7的平方×11

16520—14177=2343=3×11×71

14903—14177=726=2×3×11的平方

M是这些差的公约数,m最大是3×11=33。

练习4:

1、若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除,所得的余数相同。除数是多少?

2、一个整数除226、192、141都得到相同的余数,且余数不为0,这个整数是几?

安全常识:隐患处处有,安全时时记。

例题5:

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某数用6除余3,用7除余5,用8除余1,这个数最小是几? 我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模8同余的数,9≡1(mod 8),但9输以7余数不是5,所以某数不是9。17≡1(mod 8),17除以7的余数也不是5。25≡1(mod 8),25除以7的余数也不是5。33≡1(mod 8),33除以7的余数正好是5,而且33除以6余数正好是3,所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法,也可以简化为下面的格式:

被8除余1的数有:9,17,25,33,41,49,57,65,73,81,89,??其中被7除余5的数有:33,89,??这些数中被6除余3的数最小是33。

练习5:

1、某数除以7余1,除以5余1,除以12余9。这个数最小是几?

2、某数除以6余3,除以5余2,除以8余3,求此数最小值。

居安思危年年乐,警钟长鸣岁岁欢

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第4讲 长方体和正方体(一)

专题简析

在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:

1,必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;

2,依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;

3,求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。

例题1 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米)

分析 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);

(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两

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个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。

想一想:你还能用别的方法来计算它的表面积吗?

练习:

1,一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积是多少?

2,把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的表面积。

例题2 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的表面积吗?(单位:厘米)

温馨提示:关注自己一言一行 创建你我美好校园

分析 (1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是 20

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240-8=232(立方厘米);

(2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。

练习二

1,有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的表面积是多少?

2,如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?

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例题3 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米?

分析 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米)。正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米)。

练习三

1,一个长方体沿着长的方向切掉一个小正方形,剩下的长方形的表面积比原来减少24平方厘米,求所切下的正方体的表面积是多少?

教室走廊不奔跑,安全第一真是好。

2,一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?

例题4 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积 22

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是288立方厘米,求大长方体的表面积。

分析 要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。

大长方体的长是12×2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。

练习:

1,一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?

2,一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。

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例题5 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?

分析 长方体的前面和上面的面积是长×宽+长×高=长×(宽+高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=11×19=11×(17+2),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。

练习五

1,有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的表面积是多少?

2,一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是96立方厘米,求它的表面积。

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温馨提示:走楼梯守次序,进教室不喧哗。

第5讲 行 程 问 题(一)

专题简析:

行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度×时间。知道三个量中的两个量,就能求出第三个量。

例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇,东、西两地相距多少千米?

分析与解答 从图中可以看出,两车相遇时,甲车比乙车多行了32×2=64(千米)。两车同时出发,为什么甲车会比乙车多行64千米呢?因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。64里包含8个8,所以此时两车各行了8小时,东、西两地的路程只要用(56+48)×8就能得出。

32×2÷(56-48)=8(小时)

(56+48)×8=832(千米)

答:东、西两地相距832千米。

练 习 :

1,甲、乙两车同时从两地相向而行,甲车每小时行50千米,乙车每小时行55千米。两车在距中点15千米处相遇,两地相距多少千米?

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2,一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出,汽车每小时行60千米,摩托车每小时行70千米,当摩托车行到两地中点处时,与汽车还相距30千米。甲、乙两地相距多少千米?

例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,乙车每小时行40千米,经过3小时,快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米?

分析与解答 快车3小时行驶40×3=120(千米),这时快车已驶过中点25千米,说明甲、乙两地间路程的一半是120-25=95(千米)。此时,慢车行了95-25-7=63(千米),因此慢车每小时行63÷3=21(千米)。 (40×3-25×2-7)÷3=21(千米)

答:慢车每小时行21千米。

练 习 :

1,兄弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50米,这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米?

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2,汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米。4小时后,剩下的路比全程的一半少8千米,如果改用每小时56千米的速度行驶,再行几小时到达乙地?

例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去,甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村,在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米?

分析与解答 二人相遇时,甲比乙多行15×2=30(千米),说明二人已行30÷6=5(小时),上午8时至中午12时是4小时,所以甲的速度是15÷(5-4)=15(千米)。

因此,东西两村的距离是15×(5-1)=60(千米)

上午8时至中午12时是5小时。

15×2÷6=5(小时)

15÷(5-4)=15(千米)

15×(5-1)=60(千米)

练 习 :

1,甲、乙二人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。甲到达B地后立即返回A地,在离B地3.2千米处与乙相遇。A、B两地间的距离是多少千米?

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2,小平和小红同时从学校出发步行去小平家,小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到家,到家后立即原路返回,在离家350千米处遇到小红。小红每分钟走多少千米?

例4 甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发,相向而行。一个同学骑自行车以每小时14千米的速度,在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行驶5千米,乙队每小时行4千米。两队相遇时,骑自行车的同学共行了多少千米?

分析与解答 要求骑自行车的同学一共行多少千米,就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时14千米,而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此,用18÷(4+5)=2小时,用这个时间和骑的同学的速度相乘就得到了他一共行的千米数。14×2=28千米

居安思危年年乐,警钟长鸣岁岁欢

1, 甲、乙两队学生从相距55千米的两地同时出发,相向而行。一个通讯员骑马以每小时16千米的速度,在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行驶5千米,乙队每小时行6千米。两队相遇时,骑马的通讯员共行了多少千米?

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2, 甲、乙两队学生从相距100千米的两地同时出发,相向而行。甲队每小时行驶6千米,乙队每小时行4千米。甲带一只小狗,小狗每小时跑10千米。这只狗同甲一道出发,碰到乙时,它就掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇一个通讯员骑两队相遇时,小狗共行了多少千米?

例5 甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发,到10时两车相距112.5千米。两车继续行驶到下午1时,两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米?

分析 从10时到下午1时共经过3小时,3小时里,甲、乙两车从相距112.5千米到又相距112.5千米,共行112.5×2=225千米。两车的速度和是225÷3=75千米。从早上8时到10时共经过2小时,2小时共行75×2=150千米,因此,A、B两间的距离是150+112.5=262.5千米。

练 习

1,甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,3小时后,两车还相距120千米。又行3小时,两车又相距120千米。A、B两地相距多少千米?

2,快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出,中午12时两车还相距 29

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50千米。继续行驶到14时,两车又相距170千米。甲、乙两地相距多少千米?

第6讲 长方体和正方体(二)

专题简析

在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:把一个物体变形为另一种形状的物体;把两个物体熔化后铸成一个物体;把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。

解答上述问题,必须掌握这样几点:

1,将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;

2,两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和; 3,物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。

例题1 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中,有10分米深的水,如果在水中放一个棱长为30厘米的正方体铁块,那么水箱中水的深度是多少分米?

分析 铁块的体积为(30÷10)×(30÷10)×(30÷10)=27(立方分米),把它侵在水中后它就占了27立方分米的空间,因此水面就上升的体积就是27立方分米,用这个体积除以底面积(15×12)就能得到水面上升的分米数。

30厘米=3分米 3×3×3÷(15 ×12) + 10=10.15分米

练习:

1,有一个鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米,把一块小假山放 30

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在水中后,水木上升了0.8分米。这块假山的体积是多少?

2,有一个长方体水箱,从面量长50厘米、宽40厘米、深60厘米,箱中水面高30厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块全部侵在水里。这时水面上升多少份米?

例2 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。

分析 因为正方体的六个面都相等,而54=6×9=6×(3×3),所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6×(4×4),棱长是4厘米;150=6×(5×5),棱长是5厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积,这个大正方体的体积就等于它们的体积和。

安全提示:用平安祝福校园的今天,用平安打造校园的未来。

练习:

1,有三个正方体铁块,它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体,求这个大正方体的体积。

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2,将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体,已知这个长方体的长是13厘米,宽7厘米,求它的高。

例题3 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?

分析 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:40×32×20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。

练习

1,有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少?

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2,有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?

温馨提示: 健康生活 文明做人 平安每天 幸福一生

例题4 有一个长方体容器(如下图),长30厘米、宽20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧,再朝左竖起来,里面的水深应该是多少厘米?

分析 首先求出水的体积:30×20×6=3600(立方厘米)。当容器竖起来以后,水流动了,但体积没有变,这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。

练习:

1,有两个长方体水缸,甲缸长3分米,宽和高都是2分米;乙缸长4分米、宽2分米,里面的水深1.5分米。现把乙缸中的水倒进甲缸,水在甲 33

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缸里深几分米?

2,像例题中所说,如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下,这时的水深又是多少厘米?

例题5 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米?

分析 长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。因此,15×10×6=(长×宽×高)×(长×宽×高),而15×10×6=900=30×30。所以,这个长方体的体积是30立方厘米。

练习:

1,一个长方体,不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,这个长方体的体积是多少立方厘米?

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2,一个长方体,不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少立方厘米?

. 增强师生防范意识,营造校园安全环境。

第7讲 行程问题(二)

专题简析:

本周的主要问题是“追及问题” 。

追及问题一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同,后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是:

速度差×追及时间=追及路程

解答追及问题,一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体,是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理,结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析,并借助线段图来理解题意,就可以正确解题。

例1 中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车?

分析 原来小轿车落后于中巴车60千米,但由于小轿车的速度比中巴车快,每小时比中巴车多行84-60=24千米,也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时,所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。 练 习

(1)一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车,卡 35

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车行驶的速度是每小时65千米。摩托车多长时间能够追上?

(2)兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分钟跑120米;哥哥在后,每分钟跑140米。几分钟后哥哥追上弟弟?

例2 一辆汽车从甲地开往乙地,要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地,修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的?

分析 途中修车用了2小时,汽车就少行45×2=90千米;修车后,为了按时到达乙地,每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米,也就是说,再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此,修车后再行(45+30)×3=225千米就能到达乙地,汽车是在离甲地360-225=135千米处修车的。

练 习

(1)小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分钟200米的速度上班,正好准时到工厂。有一天,他出发几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米。小王是在离工厂多远处遇到熟人的? 36

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(2)一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排队加油用去了15分钟。为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米?

例3 甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车多少分钟才能追上乙? 分析 当甲取了东西改骑自行车出发时,乙已行15+15+5=35分钟,行了60×35=2100米。甲骑车每分钟比乙步行多行(360-60)米,用2100米除以(360-60)米就得到甲骑车追上乙的时间。

练 习

(1)兄弟二人同时从家出发去学校,哥哥每分钟走80米,弟弟每分钟走60米。出发10分钟钟后,哥哥返回家中取文具,然后立即骑车以每分钟310米的速度去追弟弟。哥哥骑车几分钟追上弟弟?

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(2)快车每小时行60千米,慢车每小时行40千米,两车同时从甲地开往乙地。出发0.5小时后,快车因故停下修车1.5小时。修好车后,快车仍用原速前进,经过几小时才能追上慢车?

例4 甲骑车、乙跑步,二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米,求甲、乙二人的速度各是多少?

分析 出发10分钟后,甲从乙身后追上了乙,也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此,甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米,速度和是每分钟700米,就能算出甲骑车的速度是(700+400)÷2=550米,乙跑步的速度是700-550=150米。

练 习

(1)爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟跑150米,小明每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问:至少经营几分钟爸爸从小明身后追上小明?

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(2)在300米长的环形跑道上,甲、乙二人同时同地同向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?

例5 一辆汽车从甲地开往乙地,平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地,往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。 分析 如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时,则返回时用了(7.5-X)小时,由于往、返的路程是一样的,我们可以通过这个等量关系列出方程,求出X值,就可以计算出甲、乙两地间的路程。

解:设去时用X小时,则返回时用(7.5-X)小时。

20X=30(7.5-X)

解得 X=4.5

20×4.5=90(千米)

即:甲、乙两地间的路程是90千米。

练 习

1,汽车从甲地开往乙地送货。去时每小时行30千米,返回时每小时行40千米,往返一次共用8小时45分。求甲、乙两地间的路程。

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2,一架飞机所带的燃料最多可用9小时,飞机去时顺风,每小时可飞1500千米;返回时逆风,每小时可飞1200千米。这架飞机最多飞多少千米就要往回飞?

过马路,不要急。红灯停,绿灯行。做个平安小市民

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