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数的整除问题

发布时间:2014-04-13 09:04:17  

数的整除问题

一.基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

一般地,如 a、b、c 为整数,b≠0,且 a÷b = c,即整数 a

除以整数 b(b≠0),除得的商 c 正好是整数而没有余数(或者说余

数是 0),我们就说,a 能被 b 整除(或者说 b 能整除 a)。记作 b︱a。否则,称为 a 不能被 b 整除(或 b 不能整除 a)。

如果整数 a 能被整数 b 整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a的约数(或因数)。

2.数的整除性质

性质 1:如果 a、b 都能被 c 整除,那么它们的和与差也能被 c整除。

性质 2:如果 b 与 c 的积能整除 a,那么 b 与 c 都能整除 a。

性质 3:如果 b、c 都能整除 a,且 b 和 c 互质,那么 b 与 c 的积能整除 a。

性质 4:如果 c 能整除 b,b 能整除 a,那么 c 能整除 a。

3.数的整除特征

①能被 2 整除的数的特征:个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。

②能被 5 整除的数的特征:个位是 0 或 5。

③能被 3(或 9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被 3(或 9)整除。

④能被 4(或 25)整除的数的特征:末两位数能被 4(或 25)整除。

⑤能被 8(或 125)整除的数的特征:末三位数能被 8(或 125)整除。

⑥能被 11 整除的数的特征:这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差(大减小)是 11 的倍数。

⑦能被 7(11 或 13)整除的数的特征:一个整数的末三位数

与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被 7(11 或 13)整除。

二.例题

例 1:已知 45︱ x1993 y ,求所有满足条件的六位数 x1993 y 。

例 2:李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔,共付人民币 9□.2□元,已知□处数字相同,请问每支

钢笔多少元?

例 3:已知整数 1a 2a3a 4a 5a 能被 11 整除,求所有满足这个条件

例 4:把三位数 3ab 接连重复地写下去,共写 1993 个 3ab ,所得的数3ab3ab...3ab(1993个3ab )

恰是 91 的倍数,求ab =?

例 5:在 865 后面被上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被 3、4、5 整除,且使这个数值尽可能的小。

例 6:求能被 26 整除的六位数 x1991y 。

习题

1,已知 72︱x931y,求满足条件的五位数。

2,已知五位数 154xy 能被 8 和 9 整除,求 x+y 的值。

3,若五位数 32x5y 能同时被 2、3、5 整除,试求满足条件的所有这样的五位数。

4,将自然数 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重复写下去组成一个 1993 位数,这个数能否被 3 整除?

5,一本陈老帐上记着:72 只桶,共□67.9□元。这里□处字迹不清,请把□处数字补上,并求桶的单价。

6,证明:任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能同时被 7、11、13 整除。

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