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2010.8以Fibonacci数列为背景的竞赛题

发布时间:2014-04-13 10:54:01  

发表于《中等数学》2010年第8期

以Fibonacci数列为背景的竞赛题

南京师大附中江宁分校 叶军 211102

Fibonacci数列又叫“兔子数列”,产生于意大利数学家Fibonacci,他的一本《算盘书》中记载了这样的问题:兔子出生后两个月就能每月生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄),假如养了初生的小兔一对,试问一年后共有多少对兔子?简单的推演可以知道该问题产生的数列如下:1、1、2、3、5、8、13、21、….其中每一个数都是前面相邻两数之和,可以用

?F1?F2?1如下的递推公式得出数列各项:?.可以证明,它与通项公式(也称为比内F?F?F,n?2n?1n?2?n

公式)Fn?11?5n1?5n)?()]是等价的. 225[(

Fibonacci数列(以下简称F-数列)由于其规律简单、内涵丰富,因而在数学竞赛中被广泛关注,下面搜集了一些例子供比较、欣赏.

例1 (江苏18届初三)如图是一个树形图的生长过程,依据图中所示的生长规律,第15行的实心圆点的个数等于______.

解:从第一行开始,各行的实心圆点数依次为1、1、2、3、5、

8、13、21、…这是F-数列,而第15行的实心圆点数为第14个F-

数,由F-数列的递推算法可知,这个数为377.

注:如果把这个图形中的空心点看作小兔,实心点看作成兔,

那么就构成了一个很形象的“兔子树”,比较有趣的是,某些树枝的

分叉也遵循了类似的规律. 例2 (江苏15届初二) 跳格游戏:人从格外只能进入第一格;在

格中,每次可向前跳1格或2格,那么人从格外跳到第六格可以有

_________种方法.

解法1(枚举法):我们可以把问题转化如下:从第1格进入第6格,走了5格,把数字5表示成若干个1或2 的和,1和2的不同顺序表示不同的方法.如5=1+1+1+1+1,为方便,把式子缩略为5=11111,则可以对5进行分解,有如下的方法:

5=11111=1112=1121=1211=2111=122=221=212,共有8种方法.

解法2(递推算法):考虑进入第n格的方法数Fn,易知F1?1,F2?1(注意:人从格外只能进入第一格),对n≥3, 进入第n格的方法数Fn可以分为2类:从第(n-1)格走一步;从第(n-2)格走2步.因此就有Fn=Fn?1+Fn?2,注意到,因此这是一个F-数列.从中取出F6?8即为本题的答案.

注:比较两种解法可以看出优劣,解法1直观但不易于推广,n增大时会很烦琐,解法2看到了本问题的数学本质,是好的解法.

例3 (江苏16届初二)三条线段能够成三角形的条件是:任意两条线段长度的和大于第三条线段的长度.现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为__________.

解:由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是任意两边之和小于或等于最大边.截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1

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