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2014全国初中数学联赛参考答案及评分标准

发布时间:2014-04-13 11:47:58  

2014年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知x,y为整数,且满足(?

A.1个

【答】C.B.2个1x111211)(2?2)??(4?4,则x?y的可能的值有(yxy3xyC.3个D.4个)

x?yx2?y22x4?y4

由已知等式得?22??44,显然x,y均不为0,所以x?y=0或3xy?2(x?y).xyxy3xy

若3xy?2(x?y),则(3x?2)(3y?2)??4.又x,y为整数,可求得??x??1,或

?y?2,?x??2,所以??y?1.

x?y?1或x?y??1.

因此,x?y的可能的值有3个.

2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为

A.()4

7B.5

9C.9

16D.12

25

【答】A.

1t?2xy?yz?2zx?2x(y?z)?yz?2x(y?z)?(y?z)2

4

1731734?2x(1?x)?(1?x)2??x2?x???(x?)2?,4424477

324易知:当x?,y?z?时,t?2xy?yz?2zx取得最大值.777

3.在△ABC中,AB?AC,D为BC的中点,BE?AC于E,交AD于P,已知BP?3,PE?1,则AE=()

A

.2B

C

D

【答】B.

因为AD?BC,BE?AC,所以P,D,C,E四点共圆,所以BD?BC?BP?BE?12,又BC?

2BD,所以BD?

DP?.

又易知△AEP∽△BDP,所以PEAEPE,从而可得AE??BD??

?

BDDPDP

4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是()

A.1

2B.2

5C.2

3D.3

4

【答】B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3×4=12种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,

6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种.因此,所求概率为82?.205

35.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}?t?[t].已知实数x满足x?11?18,则{x}??3xx

()

A.1

2B

.3?C

.1(32D.1

【答】D.设x?111111?a,则x3?3?(x?)(x2?2?1)?(x?x?)2?3]?a(a2?3),所以xxxxxx

a(a2?3)?18,因式分解得(a?3)(a2?3a?6)?0,所以a?3.1111?

3解得x?(3,显然0?{x}?1,0?{?1,所以{x}??1.x2xx

6.在△ABC中,?C?90?,?A?60?,AC?1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形,?ADE?90?,则BE的长为()

1A

.4?B

.2?C

.?1)D

?12由x?

【答】A.

过E作EF?BC于F,易知△ACD≌△DFE,△EFB∽△ACB.

设EF?x,则BE?2x,AE?2?

2x,DE?

222?x),DF?AC?1,

A故1?x??x)],即x?4x?1?0.又0?x?

1,故可得x?2.

故BE?2x?4?.

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.已知实数a,b,c满足a?b?c?1,

【答】0.由题意知2111???1,则abc?____.a?b?cb?c?ac?a?b111???1,所以1?2c1?2a1?2b

(1?2a)(1?2b)?(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)

整理得2?2(a?b?c)?8abc,所以abc?

0.

2.使得不等式【答】144.由条件得所以n?144.

9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为17n?k15

7k8k?17k?182k?1k?1871

由k的唯一性,得所以?,??,?且?,????

8n9n8n9nnn9872

7k8

??可得126?k?128,k可取唯一整数值127.8n9

故满足条件的正整数n的最大值为144.

当n?144时,由

3.已知P为等腰△ABC内一点,AB?BC,?BPC?108?,D为AC的中点,BD与PC交于点E,如果点P为△ABE的内心,则?PAC?.

【答】48?.

由题意可得?PEA??PEB??CED??AED,

而?PEA??PEB??AED?180?,

所以?PEA??PEB??CED??AED?60?,从而可得?PCA?30?.

又?BPC?108?,所以?PBE?12?,从而?ABD?24?.所以?BAD?90??24??66?,11

?PAE?(?BAD??CAE)?(66??30?)?18?,

22

所以?PAC??PAE??CAE?18??30??48?.

4.已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c,a?b?c?111,b2?ac,则b?【答】36.

设a,c的最大公约数为(a,c)?d,a?a1d,c?c1d,a1,c1均为正整数且(a1,c1)?1,a1?c1,则

2

b2?ac?d2a1c1,所以d2|b2,从而d|b,设b?b1d(b1为正整数),则有b1?a1c1,而(a1,c1)?1,

所以a1,c1均为完全平方数,设a1?m2,c1?n2,则b1?mn,m,n均为正整数,且(m,n)?1,m?n.

又a?b?c?111,故d(a1?b1?c1)?111,即d(m?n?mn)?111.注意到m2?n2?mn?12?22?1?2?7,所以d?1或d?3.

若d?1,则m2?n2?mn?111,验算可知只有m?1,n?10满足等式,此时a?1,不符合题意,故舍去.

若d?3,则m2?n2?mn?37,验算可知只有m?3,n?4满足等式,此时a?27,b?36,c?48,符合题意.

因此,所求的b?

36.

2

2

第二试

一.(本题满分20分)同(A)卷第一题.

二.(本题满分25分)如图,已知O为△ABC的外心,AB?AC,D为△OBC的外接圆上一点,过点A作直线OD的垂线,垂足为H.若BD?7,DC?3,求AH.

解延长BD交⊙O于点N,延长OD交⊙O于点E,由题意得?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE,所以DE为?BDC的

平分线.

又点D在⊙O的半径OE上,点C、N在⊙O上,所以点C、N关

于直线OE对称,DN?DC.

延长AH交⊙O于点M,因为O为圆心,AM?OD,所以点A、

M关于直线OD对称,AH?MH.因此MN?AC?AB.

又?FNM??FAB,?FBA??FMN,所以△ABF≌△NMF,

所以MF?BF,FN?AF.

因此,AM?AF?FM?FN?BF?BN?BD?DN?BD?DC

?7?3?10,即2AH?10,所以AH?5.

三.(本题满分25分)

设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz,则称n具有性质P.

(1)试判断1,2,3是否具有性质P;

(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数有多少个?

解取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P;

取x?y?1,z?0,可得2?13?13?03?3?1?1?0,所以2具有性质P;

若3具有性质P,则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),从而可得3|(x?y?z)3,故3|(x?y?z),于是有9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|3,这是不可能的,所以3不具有性质P.

(2)记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz,则

f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz

?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?

z)

=(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)

1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx)2

1?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2].2

1即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]2?

不妨设x?y?z,①

如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1;

如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2;

如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1);

由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.

又若3|f(x,y,z)?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),则3|(x?y?z),从而3|(x?y?z),进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx).

综合可知:当且仅当n?9k?3或n?9k?6(k为整数)时,整数n不具有性质P.

又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数共有224×2=448

个.33

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