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“全球八校联盟数学竞赛”初等数论题解答

发布时间:2014-04-13 11:48:07  

“全球八校联盟数学竞赛”初等数论题解答

2009年5月1日

1.求N?a2?b2?c2,a,b,c为非负整数,并且满足下面三个条件:

(1)a和c?1均为素数;

(2)a整除b,b整除c;

(3)N?a2(c?1)。 (10分) 解:由(2),假设b?ax,c?by,这里x,y为非负整数,所以c?axy。 从而由N?a2?b2?c2,得N?a2?(ax)2?(axy)2?a2(1?x2?x2y2)。 再由(3),得N?a2(c?1)?a2(axy?1)。

所以N?a2(1?x2?x2y2)?a2(axy?1),从而1?x2?x2y2?axy?1,

2x?2xy?(xa?y?x2x),y 所以x?1或2。 (3分)即 2?axy?2

(I)当x?1时,2?ay?1?y2,从而3?(a?y)y,所以y?1或3,a?4,这与(1)矛盾。 (2分) (II)当x?2时,1?ay?2?2y2,从而3?(a?2y)y,所以y?1或3。 若y?1,由3?(a?2y)y得a?5,c?1?axy?1?10?1?9,与(1)矛盾。

(2分)

若y?3,由3?(a?2y)y得a?7,b?ax?14,c?axy?42,c?1?41,符合题意。所以N?a2?b2?c2?72?142?412?2009。 (3分)

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