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六年级奥数第40周 不定方程式

发布时间:2014-04-13 17:13:58  

第四十周 不定方程

专题简析:

当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有:

x=2.4

=2.7

x=3.06 =3.6

………

y=1 y=1.5 y=2.1 y=3

如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。

例1.

求3x+4y=23的自然数解。

先将原方程变形,y=

23-3x 。可列表试验求解: 4所以方程3x+4y=23的自然数解为

X=1 Y=5 y=2

练习一

1、 求3x+2y=25的自然数解。

2、 求4x+5y=37的自然数解。

3、 求5x-3y=16的最小自然数解。

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z=25

3x-y-6z=2

这是一个三元一次不定方程组。解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z=25 ①

3x-y-6z=2 ②

由①×2+②,得13x+13y=52

X+y=4 ③

把③式变形,得y=4-x。

因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.

当x=1时,y=3

当x=2时,y=2

当x=3时,y=1

把上面的结果再分别代入①或②,得x=1,y=3时,z无正整数解。

x=2,y=2时,z也无正整数解。

x=3时,y=1时,z=1.

所以,原方程组的正整数解为 x=1 y=1

z=1

练习2

求下面方程组的自然数解。

14x+3y-2z=7 2、 7x+9y+11z=68

3x+2y+4z=21 5x+7y+9z=52

4=26

-y-6z=2

例3

一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?

两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解。 设大盒子有x个,小盒子有y个,则

12x+5y=99(x>0,y>0,x+y>9)

y=(99-12y)÷5

经检验,符合条件的解有:x=2 x=7

y=15 y=3

所以,大盒子有215个,或大盒子有7个,小盒子有3个。 练习3.

1、 某校6(1)班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人。那

么需要小船和大船各几只?(大、小船都有)

2、 甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔

共几枝?

3、 小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝

的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?

例题4

买三种水果30千克,共用去80元。其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克?

设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了(30-x-y)千克。根据题意得: 4x+3y+2×(30-x-y)=82

y x=10- 2

由式子可知:y<20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、

18。因此,原方程的解如下表:

1、 有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有

多少只?

2、 用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角。问每种笔

各买几枝?(每种都要买)

3、 晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角。

她一共用了一元两角两分钱。那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张? 例5

某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。问:一、二、三等奖的学生各有几人? 设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人。则 6x+3y+2z=22 ①

9x+4y+z=22 ② 由②×2-①,得12x+5y=22 y =

22-12x

x=1 5

x只能取1。Y=2,代入①得z=5,原方程的解为 y=2

z=5

所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人。

练习5

1、 某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环

各几发?

2、 篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元。已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1

元,皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋? 111

3、 一头猪卖3 个银币,一头山羊卖个银币,一头绵羊买 个银币。有人用100个银

232

币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头?

答案: 练1

1、 x=1 =3 =5 x=7

y=11 =8 y=5 y=2 2、 x=3 =8

y=11 =1 4、 x=5 y=3

练2

1、 x=1 y=3

z=3

2、 =3 x=4

y=4 y=2

z=1 z=2

3、 =3

y=1

z=1

练3

1、 设需要小船x只,大船y只。则3x+5y=48,y=

方程的解是x=1 =6 x=11

y=9 =6 y=3

2、 设买甲级笔x枝,乙级笔y枝,则7x+3y=60,y=

1、 60-7x 。x≤ 348-3x根据题意,x可取1、6、11, 5

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