haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 小学教育 > 学科竞赛学科竞赛

小学五年奥数第7讲_奇偶性1

发布时间:2014-04-13 17:14:05  

第7讲 奇偶性

整数按照能不能被2整除,可以分为两类:

(1)能被2整除的自然数叫偶数,例如

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,?

(2)不能被2整除的自然数叫奇数,例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,?

整数由小到大排列,奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1,所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除,所以偶数可以表示为2n的形式,其中n为整数;因为奇数不能被2整除,所以奇数可以表示为2n+1的形式,其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数,这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质:

(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。

(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或差)是偶数。

(3)两个奇数的乘积是奇数,一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。

(4)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。

(5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。

(6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。 因为(2n)2=4n2=4×n2,所以(2n)2能被4整除;

因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1,所以(2n+1)2除以4余1。

(7)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。

(8)如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有,例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等,但只要想办法编上号码,成为整数问题,便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数?

1+2+3+4+?+1997+1998。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”,使得等式成立?

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

例3 任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变,得到一个新的五位数。那么,这两个五位数的和能不能等于99999? 分析与解:假设这两个五位数的和等于99999,则有下式:

其中组成两个加数的5个数码完全相同。因为两个个位数相加,和不会大于 9+9=18,竖式中和的个位数是9,所以个位相加没有向上进位,即两个个位数之和等于9。同理,十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。所以组成两个加数的10个数码之和等于 9+9+9+9+9=45,是奇数。

另一方面,因为组成两个加数的5个数码完全相同,所以组成两个加数的10个数码之和,等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍,是偶数。

奇数≠偶数,矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999,所以假设不成立,即这两个数的和不能等于99999。

例4 在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相频频握手。请问:握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?请说明理由。

分析与解:通常握手是两人的事。甲、乙两人握手,对于甲是握手1次,对于乙也是握手1次,两人握手次数的和是2。所以一群人握手,不论人数是奇数还是偶数,握手的总次数一定是偶数。

把聚会的人分成两类:A类是握手次数是偶数的人,B类是握手次数是奇数的人。

A类中每人握手的次数都是偶数,所以A类人握手的总次数也是偶数。又因为所有人握手的总次数也是偶数,偶数-偶数=偶数,所以B类人握手的总次数也是偶数。

握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢?如果是奇数,那么因为“奇数个奇数之和是奇数”,所以得到B类人握手的总次数是奇数,与前面得到的结论矛盾,所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。

例5 五(2)班部分学生参加镇里举办的数学竞赛,每张试卷有50道试题。评分标准是:答对一道给3分,不答的题,每道给1分,答错一道扣1分。试问:这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数?

分析与解:本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的,所以应从每个人得分的情况入手分析。因为每道题无论答对、不答或答错,得分或扣分都是奇数,共有50道题,50个奇数相加减,结果是偶数,所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数,所以这部分学生的总分必是偶数。

巩固练习

1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数,使这5个数的和等于22?

2.65个连续自然数相加,和是奇数还是偶数?

3.一本论文集收入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,,4,......15页。如果将这些文章按照某种次序装订成册,并统一编上页码,那么第一页是奇数页码的文章最多有多少篇?

4、甲、乙两人做游戏。任意指定七个整数(允许有相同数),甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内,乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里,然后计算出所有同一列的两个数的差(大数减小数),再将这七个差相乘。游戏规则是:若积是偶数,则甲胜;若积是奇数,则乙胜。请说明谁将获胜。

5.某班学生毕业后相约彼此通信,每两人间的通信量相等,即甲给乙写几封信,乙也要给甲写几封信。问:写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数?

6.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛,竞赛题30道,记分方法是:底分15分,每答对一道加5分,不答的题,每道加1分,答错一道扣1分。如果有333名学生参赛,那么他们的总得分是奇数还是偶数?

7.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?试讲出理由。

8.红星影院有1999个座位,上、下午各放映一场电影。有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影,那么一定有这样的座位,上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生,为什么?

9.一个小于200的自然数,它的每个数字都是奇数,而且是两个两位数的乘积。这个自然数是多少?

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com