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第12届初二第2试

发布时间:2014-04-14 09:14:04  

第十二届“希望杯”数学邀请赛第二试试题

(初二)

一. 选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。

1. 化简代数式3?22?3?22的结果是( )

A. 3 B. 1? C. 2? D. 2

2. 已知多项式ax3?bx2?cx?d除以x?1时,所得的余数是1,除以x?2时所得的余数是3,那么多项式ax3?bx2?cx?d除以(x?1)(x?2)时,所得的余式是( )

A. 2x?1 B. 2x?1 C. x?1 D. x?1

a?b|?a,那么( ) 3. 已知a?1且|a?b

A. ab?0 B. ab?0 C. ab?0 D. a?b?0

a?ca?bb?ca?c,|b|?2|a|,S1?||,S2?||,S3?||,则 4. 若|a|?|c|,b?2cab

S1、S2、S3的大小关系是( )

A. S1?S2?S3 B. S1?S2?S3

C. S1?S3?S2 D. S1?S3?S2

5. 若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边,则此三角形肯定是( )

A. 直角三角形 B. 等边三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

b4?c4?a4?a2c2, 6. 若?ABC的三边长是a、b、c,且满足a4?b4?c4?b2c2,

c4?a4?b4?a2b2,则?ABC是( )

A. 钝角三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

7. 平面内有n条直线(n?2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a?b的值是( )

n2?nn2?n?22 A. n(n?1) B. n?n?1 C. D. 22

8. In fig. 1, let ?ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ?BFC?120?, then the magnitude relation between Ad and CE is ( )

A. AD?CE B. AD?CE C. AD?CE D. indefinite

(英汉词典:equilateral等边的;intersection交点;magnitude大小,量;indefinite不确定的)

1

9. 已知两个不同的质数p,q满足下列关系:

p2?2001p?m?0,q2?2001q?m?0,m是适当的整数,那么p2?q2的数值是( )

A. 4004006 B. 3996005 C. 3996003 D. 4004004

10. 小张上周工作a小时,每小时的工资为b元,本周他的工作时间比上周减少10%,而每小时的工资数额增加10%,则他本周的工资总额与上周的工资总额相比( )

A. 增加1% B. 减少1% C. 增加1.5% D. 减少1.5%

二. 填空题(每小题6分,共60分)

2??3 11. 化简:的结果是_________。 230?62?43

p?2 12. 已知p、q为实数,且q?3,满足p2q?12p?12?3p2?4pq?4q,那么q?3

的值等于_______。

13. 无理数(1?)4的整数部分是________。

14. 设a、b、c均为不小于3的实数,则a?2??1?|1?c?1|的最小值是_____。

15. 如图2,直线AB//CD,?EFA?30?,?FGH?90?,?HMN?30?, ?CNP?50?,则?

16. 代数式x2?4? 17. 用水加满大杯,剩余27 18. If p and q satisfying m2?pm?q

2

________。

(英汉词典:prime质数)

19. 如图3,Rt?ABC中,?C?90?,?A?30?,点D、E分别在AB、AC上,且DE?AB,若DE将?ABC分成面积相等的两部分,那么线段CE与AE的长度的比是________。

20. 如图4,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH?3,EF?4,那么线段AD与AB的比等于_________。

三. 解答题(21、22题各13 21. 22. 从甲站到乙站共有 (1 (2)若要求火车来回所用的时间相同,那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少?

23. 如图5,等边?ABC的边长a?25?12,点P是?ABC内的一点,且 PA2?PB2?PC2,若PC?5

〖答案〗

一. 选择题(本大题共50分。对于每个小题,答对,得5分;答错或不答,不给分)

1. D 2. A 3. B 4. A 5. C

6. D 7. D 8. C 9. B 10. B

二. 填空题:

6 11. 12. 0 13. 33 14. 2?2 12

15. 40? 16. 13 17. 12升 18. 5

256?2 19. 20. 242

三. 解答题:

21. 设各队得分分别是x,x,x,y,z,w,

且x?y?z?w?0

6?5?15场, 因为六个队之间共比赛2

所以3x?y?z?w?15

首先,最后两名之间也有一场比赛,所以z与w不可能都得0,

因而z?1,y?2,

即y?z?w?3

当y?z?w?3时,3x?15?3?12

所以x?4,y?2,z?1,w?0

当y?z?w?3时,y?z?w?15?3x,

则y?z?w可以被3整除,

因此y?z?w?6,

所以3x?9,x?3

因为x?y,所以y?2,

此时y?z?w?2?2?2?6与y?z?w?6矛盾,

所以当y?z?w?3时无解,

因此6个队得分分别是4,4,4,2,1,0。

22. (1)甲乙两地之间的距离是800千米,开始400千米是平路,接着300千米是上坡路,所以下坡路是100千米,火车在平路上的速度是800千米/小时,所以火车在上坡路上的速度是600千米/小时,在下坡路上的速度是100千米/小时,所以

从甲地到乙地用的时间为

400300100???11小时, 8060100

从乙地到甲地用的时间为

4003001002???9小时, 80100603

4

4小时。 3

(2)设火车从甲地到乙地在平路上的速度是4V1千米/小时,则它在上坡路上的速度是3V1千米/小时,在下坡路上的速度是5V1千米/小时, 所以从甲地到乙地用的时间比从乙地到甲地用的时间多 所以火车从甲地到乙地用的时间是

400300100220 小时 ???4V13V15V1V1

同样,设火车从乙地到甲地在平路上的速度是4V2千米/小时,则它在上坡路上的速度是3V2千米/小时,在下坡路上的速度是5V2千米/小时,所以火车从乙地到甲地用的时间是

400300100580 小时 ???4V25V23V23V2

220580 依题意有, ?V13V2

V33 所以1? V229

23. 设?ABC、?PAB、?PBC、?PAC的面积分别是S、S1、S2、S3,线段PA、PB、PC的长分别是x、y、z

把?APC绕点A角形且边长AP?x,因为

PC2?PA2?PB2,

即z2?x2?y2,

及P'B?PC?z,PP'?x 所以在?PP'B中,满足 则?PP'B是直角三角形

于是S四边形APBP'?S1?S321x?xy42

将?APB绕B顺时针旋转60?,将?APC绕C逆时针转60?,可分别得

321S1?S2?y?xy(2)42 21S3?S2?z?xy(3)42

(1)?(2)?(3)得 即S1?S3?

5

S?S1?S2?S3

123?[(x?y2?z2)?xy] 242323?z?xy44

2232 又S?a?z?xy, a,所以4444

即xy?a2?z2(4) 又由已知和(4)得

22?x?y?25? ? 2??xy?(25?123)?25?x2?y2?25,(5) 所以? (6)?xy?12

因为x?0,y?0,

?x?4?x?3 解方程得? 或??y?3?y?4

所以PA?4,PB?3或PA?3,PB?4 6

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