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第14届初二第2试

发布时间:2014-04-14 09:14:04  

2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(初二笫2试)

一、选择题:(50分)

1.y-2x+1是4xy-4x-y-k的一个因式,则k的值是( )

(A)0; (B)-1;(C)1; (D)4

2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a的取值范围是( )

555(A)a≤-; (B)a<-1;(C)-≤a<-1;(D)a≥- 44422

3.整数x、y满足不等式x+y+1≤2x+2y,则x+y的值有( )

(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个

4.如图1,在矩形ABCD中,AE,AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是( )

(A)13; (B)14; (C)15; (D)16 AD

ADFG22F

BE

图1CC图2BE图3

1105.如图2,RtΔABC中,∠C=90,∠DAF=∠DAB,∠EBG=∠EBA,则射线AF与BG( ) 33

(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交

36.If the radius(半径) of circle Ⅲ in the figure3(图3) is of the radius of 4

4circle Ⅱ,and the radius of circle Ⅱ is of the radius of circle Ⅰ,then the 5

area of the shaded region iswhat part of the area of circle Ⅰ?( ) (A)79316; (B);(C);(D) 252025507.凸n边形(n≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为110,则n等于( )

(A)12; (B)11; (C)10或9; (D)10

8.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形

( )

(A)不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;

1

(C)不可能是等边三角形;(D)不可能是钝角三角形;

9.数轴上的点A、B、P分别对应数:-1、-4、x,并且P与A的距离大于P与B的距离,则( ) 5(A)x>-3; (B)x>-2; (C)x<-2; (D)x<- 2

10.如图4,啤酒瓶高为h瓶内酒面高为a,若将瓶

盖盖好后倒置,酒面高为a(a+b=h),则酒瓶

的容积与瓶内酒的体积的比为( )

bbaa'

(A) 1+'; (B)1+; (C)1+; (D)1+ abab,,

二、填空题: (50分)

911.方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是___________. 2

12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,七分之一的学生在休息,还剩三个女同学┉┉.”那么毕达哥拉斯的学校中有____________学生.

13.方程x+11=4的一个根是4,则另一个根是_____________. 2x?2

???14.已知:对于正整数n,

,若某个正整数k满足

2,则k=___________。 3?

15.已知xy?yz?zxxz=________________. ?y??0,那么222x?3y?4z32

16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x支,用了y元(y为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降阶20%,于是他比上一次多买了10支铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔_______支.

17.If a,b and c are sieds(边) of the ΔABC,and a-bc=a(b-c),then the figure(形状) of the triangle(三角形) is_________.(用汉语填写)

18.如图5,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案

(单位:米),若每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图

案中共有鲜花______株.

2

2

19.如图6,ΔABC中,AC=BC=5,∠ACB=80,O为ΔABC中一点,

∠OAB=10,∠OBA=30,则线段AO的长是_______.

20.已知x、y、z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么

3x+4y+12z除以11,得到的余数是_____.

三、解答题:(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)

21.有一批影碟机(VCD)原售价:800元/台.甲商场用如下办法促销:

000A图6B

,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.

(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表.

(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少?

3

22.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中线的交点.(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;(2)求ΔPDF与ΔADF 的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC 的面积比.

PD

R

B图7

4

23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:

①同直线上的点不连结;

②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;

(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?

(2)由(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.

(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?

5

参考答案: 一.BCCCA,ADDDC. 二. 211.?;

9

12.28; 513.;

2

14.8; 115.;

2

16.40或90; 17.等腰三角形; 18.480; 19.5; 20.0. 三.

21.(1)乙商场的促销办法列表如下:

(2)比较两商场的促销办法可知:

600×21=12600元,

而到乙商场买20台VCD时共需640×20=12800元, 12800>12600,

所以购买20台VCD时应去甲商场购买.

6

所以甲单位应到乙商场购买,B单位应到甲商场购买,C单位应到甲商场购买. 22.(1)如图1,过点D作DG⊥BC于G,过点A作AH⊥BC于H,则DG∥AH,所以ΔBDG∽ΔBAH,又BD12

?,BE=BC, BA3312

所以DG=AH,SΔBDE=SΔABC,

392

同理SΔADF=SΔCEF=SΔABC

9

1

所以SΔDEF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF=SΔABC.

3

G

图1

(2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ΔADF的三条中线的交点, 2

所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=DM,

3

过点P,M分别作DF的垂线,垂足分别为K,S,则ΔDKP∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以2

KP=SM,

32

SΔPDF=SΔMDF,

31

又SΔMDF=SΔADF,得

2

1

SΔPDF=SΔADF.

3

(3)由(2)知,

11

SΔQDE=SΔBDE,SΔREF=SΔCEF,

33

所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=

1

SΔABC. 27

5

所以SPDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=SΔABC.

9

23.(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.

(2)猜想:对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条.

7

An=1n=2

图2

n=3iBi+1图3n+1l2

证明: 将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn,设这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.

当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结AnBn+1,An+1Bn+1,这两条线段. 所以Pn+1≥Pn+2.

另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:

考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j<i,An+1Bj都不在所画的线段中,这时,Bi+1,Bi+2,┉,Bn+1只能与An+1连结,不妨设An+1Bi+1,An+1Bi+2,┉,An+1Bn+1都已连结,此时图中的线段数为Pn+1,我们做如下操作: 去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段 只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结 图,所以Pn+1-2≤Pn.

由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+2×(n-1)=2n-1.

(3)当n=2003时,P2003=4005(条).

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