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第13届初二第2试

发布时间:2014-04-14 09:14:06  

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛

一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.

1.若a≠

,

(A)都是有理数. (B)一个是有理数,另一个是无理数.

(C)都是无理数. (D)是有理数还是无理数不能确定.

2222222.已知a>b>c,M=ab+bc+ca,N=ab+bc+ca,则M与N的大小关系是( ).

(A)M<N (B)M>N (C)M=N (D)不确定的

3.上午九点钟的时候,时针与分针成直角,那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).

58分 (D)9时32分 1111

1114.有理数a、b、c满足下列条件:a+b+c=0且abc<0,那么??的值是( ). abc (A)9时30分 (B)10时5分; (C)10时5

(A)是正数 (B)是零

(C)是负数 (D)不能确定是正数、负数或0

5.

已知a?b?c?其中m>0,那么a,b,c的大小关系是( ). (A)a>b>c (B)c>a>b; (C)a>c>b (D)b>c>a

6.已知△ABC中,∠A=60°,BC=a,AC=b,AB=c,AP是BC边上的中线,则AP 的长是( ).

7.(Figure 1) In the parallelogram ABCD,AD=2AB,a point M is mid- point of segment AD,CE⊥AB,if∠CEM=40°,then the value of∠DME it( ).

(A)150° (B)140° (C)135° (D)130°

8.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG 分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF的大小是( ).

(A)140° (B)130° (C)120° (D)110°

E

AE?MDD?G

BF BC

9.设ai=1989+i,当i取1,2,3,?,100时,得到100个分式i(如i=5,则ai

i55=),在这100个分式中,最简分式的个数是( ). ?ai1989?51994

(A)50 (B)58 (C)63 (D)65

10.一个长方体的棱长都是正整数,体积是2002, 若对应棱长相等的长方体算作同一种长方 1

体,那么这样的长方体( )

(A)有6种 (B)有12种

(C)有14种 (D)多于16种

二、填空题:(每小题6分,共60分)

11.某储蓄所每年工资支出10万元,其他固定支出每年17万元. 对于吸收的存款每年应付

2.25%的利息,吸收来的存款全部存到上级银行,可得年利率4.05%的内部核算收入,那么该储蓄所为使内部核算没有亏损, 每年至少应吸收存款____________________________万元.

,最后得_________. ?1???1??13.设x,y都是有理数,且满足方程???x????y?4???0 ,那么x-y的值是?23??32?12.

________.

1613161314. 15与33的大小关系是15________33 . (填“>”,“<”或“=”)

15.If N is natural number,and N??N?1,then the value of N is______.( natural number自然数)

16.如果61?a1?b2,那么(2+a)(2+b)+b=__________. ?1?a1?b

17.如图所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相

1a?b?c?d?(e?f?g?h)连的三个点处的数字的平均数,则代数式:=_____. a?b?c?d?(e?f?g?

h)3

18.2001年某种进口轿车每辆标价40万元人民币,买此种车时还需另外交纳汽车标价的80%的关税,我国加入WTO后,进口车的关税将逐渐下降.预计到2006年7月1日,关税降到25%,又因为科技的发展使成本降低,到2006年7月1日,该种车的标价降到2001年的65%,那么2006年7月1日后买一辆该种轿车将比2001 年少付人民币______万元.

19.在△ABC中,∠A=40°,H是△ABC的垂心,且H不与B、C重合,则∠BHC的大小等于_______.

20.如图,正九边形ABCDEFGHI中,AE=1,那么AB+AC的长是_______.

2

三、解答题:(21题16分,22、23题各12分)要求:写出推算过程.

21.如图,在锐角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F, BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

(1)求证:直线PQ是线段DE的垂直平分线;

(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.

EDCPB

22.已知在等式ax?b?s中,a,b,c,d都是有理数,x是无理数,解答: cx?d

(1)当a,b,c,d满足什么条件时,s是有理数;

(2)当a,b,c,d满足什么条件时,s是无理数.

23.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作; 然后在AB的中点C0?2002=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注2

0?10011001?2002对应线段两端所标注的数字和的一半,即与,称为第三次操作;照22处标注

此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少?

3

2002年度初二第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案:

一、

1.当两数不等时,两数的差为有理数,说明这两数都是有理数,

,选

(A).

2222222222222222.M-N=(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)= ab+bc+ca-ab-bc-ca=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b) ∵ a>b>c ∴ b-c>0,c-a<0,a-b>0

222 ∵a(b-c)≥0,b(c-a)≤0,c(a-b) ≥0

222 ∴a(b-c)+c(a-b)> b(c-a)

∴ M-N>0.选(B).

3.把时针转动速度以“度/分钟”为单位,

分针转动速度是3601? (度/分钟) 12?602360=6(度/分钟) 60

18 再成直角所用时间为180?(6?)?32(分钟) 211

8 所以下一次时针与分针成直角时间是32分,选(D). 11

4.由abc<0知a、b、c均不为0.

2222∴(ab+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)=0 122(a+b+c+2)<0 2

111bc?ac?ab∴????0,选(A) abcabc

a?1,∴

a>b; 5.

∵?b ab+bc+ca=-

b??1, ∴

c>b ca??1,∴a>c c ∴ a>c>b.选(C).

6.如图延长中线AP到E,使PE=AP,连接EB,可得△ABC≌△APC,∴∠E=∠PAC, BE=AC=b. ∴∠PAB+∠E=∠CAB=60°

∴ ∠ABE=120°; E 作EF⊥AB延长线于F,∴∠EBF=180°-120°=60° ∴ ∠BEF=30 ∴BF=011BE=b. 22

2

22ABF3b2?b? 在Rt△BEF中,根据勾股定理:EF=b+???. 4?2? 4

? 在Rt△AEF中,根据勾股定理

11

选(B) ∴ PA=AE=

22

7.如图,连接CM,作MN⊥EC于N.

∵ AB⊥CE ∴MN∥AB,且MN∥CD,从N为梯形AECD的中位数. 由MN⊥CE,MN是EC边中线,∴△EMC为等腰△,

∴∠ECM=∠MEC=40° ∠EMC=180°-2×40°=100° ∵ ∠ECD=∠AEC=90°,∴∠MCD=90°-40°=50°, 又∵ DC=

1

AD=DM,∴∠MCD=∠DMC=50°,∴ 2

∠EMD=∠EMC+∠CMD=100°+50°=150°.选(A) 8. 2∠4=360°-(60°-∠E)-(180°-∠F) =220°+∠E+∠F

E

111100

∠E+∠F,?2?60??E,?3?80??F, 2222

100010101∴∠C=360-(∠4+∠2+∠3)=360-110-∠E-∠F-60+∠E-80+∠F

2222

∵ ∠4=110°+

=360°-110°-60°-80°=110°

选(D).

9.当i=3n(n≤33);i=13n(n≤7);i=17n(n≤5)这些数时;

F

G

C

B

i

不是质数, 这样的数共有: ai

33+7+5=45(个)

其中i=13×3=39,i=13×6=78与i=17×3=51时,与i=3n中的39,78,51重复, 所以不是质数的数共有 45-3=42个.

所以100个分式中最简分式的个数是100-42=58个. 选(B).

3

10.∵ x=2002=1×2×7×11×13,把1、2、7、11、13组成三数的乘积. 有如下14种: 1×1×2002 1×2×1001 1×7×286 1×11×182 1×13×154 1×14×143 1×22×91 1×26×77 2×7×143 7×11×26 11×2×91 13×2×77 14×11×13 22×7×13 选(C). 二、

11.设每年至少应吸收存款x万元,

4.052.25

x?10?17?x 100100

x=1500万元 应填1500.

5

12.原式

?.

1?1?13.x?x?y?y?4??, 2332

3x?2?x?2y?3?y?24?6?

(3x?2y)??(2x?3y)?24?6?

?3x?2y?24?x?12 ∴?,得? 2x?3y?6y?y??6?? ∴x-y=18.

1613161613131356131333131313331314.15-33=3·5-3·11=3(3·5-11)=3(3·5·5-11)=3(15·5-11)

313131613 显然,15·5-11<0, ∴15-33<0, 填<.

15.?]?(5

=5+3×5×

+3×3×

))322

3

6233

.

取2.449时,原式=969.9,N=969.

16.由原已知得 (1+a)(1+b)=(1-a)(1-b)

∴ a+b=0

222 原式=4+2a+2b+ab+b=4+2(a+b)+ab+b=4+ab+b=4+b(a+b)=4.

应填4

17. 因为 a?d?b?ca?c?fb?d?ga?c?h,c?, ,b?,d?3333

2(a?b?c?d)?(e?f?g?h) ∴a?b?c?, 3

设a+b+c+d=m,e+f+g+h=n,

∴a+b+c+d=

∴m=2m?n, 32m?n,∴m=n, 3

即a+b+c+d=e+f+g+h 11a?b?c?d?(e?f?g?h)m?n ∴?11a?b?c?d?(e?f?g?h)m?n33

2m?n32m?m33=????. 23m?n23m?m4

6

18.根据题意,得 40?1??

?80?65?25??40?1?????39.5 100?100?100?

应填39.5

19.分锐角三角形和钝角三角形两种情况,如图: A

A

?

CB?B(1)(2)H

如图1.由∠A=40°,得∠ABH=50°

∴∠α=40°,∠BHC=180°-α=140°

如图2.由∠A=40°,得∠β=50° ∴∠r=∠β=50

∴ ∠BHC=90°-∠r=90°-50°=40°

应填140°或40°.

000000 20.正九边形内角和为(9-2)×180=1260,每个内角为140, ∠CAB=(180-140)÷2=20

连接AH,作HM,GN分别垂直AE于M,N.

∴ ∠HAM=140°-2 ×20°-40°=60°,∴∠AHM=30°

设AM=EN=x,MN=y

四边形HGNM是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y,

在Rt△AHM中,∠AHM=∠30°

∴ AH=2AM=2x ∴ AB+AC=y+2x

而x+y+x=1 ∴ 2x+y=1 ∴ AB+AC=1,

应填1.

三、解答题(按参考答案,酌情给分)

21.证明(1)连接PD、PE、QD、QE.

因为 CE⊥AB,P是BF的中点,

所以 △BEF是直角三角形,且

PE是Rt△BEF斜边的中线,

所以 PE=1BF. 2

1BF=PE, 2 又因为 AD⊥BC, 所以 △BDF是直角三角形,且PD是Rt△BDF斜边的中线, 所以 PD=

F

E

PB 所以 点P在线段DE的垂直平分线上. 同理可证,QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线, 1 所以 QD=AC=QE, 2 7 DC

所以 点Q也在线段DE的垂直平分线上.

所以 直线PQ垂直平分线段DE.

(2)当△ABC为钝角三角形时,(1)中的结论仍成立.

如右图,△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°.

原题改写为:如右图,在钝角△ABC中,AD、CE分别是BC、AB边上的高,DA 与CE的延长线交于点F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连接PQ、DE.

求证:直线PQ垂直且平分线段DE.

证明 连接PD,PE,QD,QE,则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线,

所以 PD=11BF, PE=BF, 22

所以 PD=PE,

点P在线段DE的垂直平分线上.

同理可证 QD=QE,

所以 点Q在线段DE的垂直平分线上.

所以 直线PQ垂直平分线段DE.

b是有理数. d

aadad(cx?d)?b?b?ax?b?a?, 当c≠0时,s=?cx?dcx?dccx?d

aad 其中:是有理数,cx+d是无理数,b?是有理数. cc

ad 要使s为有理数,只有b?=0,即 bc=ad. c22.(1)当a=c=0,d≠0时, s=

综上知,当a=c=0且d≠0或c≠0且ac=bd时,s是有理数.

(2)当c=0,d≠0,且a≠0时,s是无理数.

aadad(cx?d)?b?b?ax?b?a? 当c≠0时,s=?cx?dcx?dccx?d

aad 其中: 是有理数,cx+d是无理数,b?是有理数. cc

ad 所以 当b?≠0,即bc≠ad,s为无理数. c

综上知,当c=0,a≠0,d≠0或c≠0,ac≠bd时,s是无理数.

23.设第n次操作后,线段AB上所标注的数字和是an ,那么第n+1次操作后,使得除A、B两点外,其他的数字都再加上一次(两边各加上一半),而A、B两点的数字, 则再加上它们的一半,即 an?1?an?(an?2002)?02002??2an?1001(n?1) 22

又因为 a1=2002+0=2002

所以 a2=2a1-1001=3003

2所以 a11=2a10-1001=2(2a9-1001)-1001=2·a9-(2+1)·1001=?

10987=2·a1-(2+2+2+?+2+1)·1001

=1024.2002-(1024-1).1001

8

=1026025.

答:经过11次操作后,在线段AB上标注的所有数字的和为1026025. 9

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