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初一数学竞赛讲座

发布时间:2014-04-14 11:01:44  

初一数学竞赛讲座(四)

有理数的有关知识

一、知识要点

1、绝对值

?x,如果x?0 x的绝对值x的意义如下:x=? ?x,如果x?0?

x是一个非负数,当且仅当x=0时,x=0

绝对值的几何意义是:一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离;由此可得:a?b表示数轴上a点到b点的距离。

2、倒数

1除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数,那么这两个数的积等于1。

3、相反数

绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。

二、例题精讲

例1 化简 2x??x?3?x?6

分析:由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点,然后用零点分段法将绝对值去掉,从而达到化简的目的。

解:由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得:x= -1/2, x=3, x=6 当x??

当?1时,原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2 21?x?3时,原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 2

当3?x?6时,原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10

当x≥6时,原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2

当x????2x?2,2时? 当??2x?4,2?x?3时∴原式=? 10, 当3?x?6时?? 当x?6时?2x-2,

评注:用零点分段法,通过零点分段将绝对值去掉,从而化简式子,解决问题是解决含

绝对值问题的基本方法。

例2 已知2x?15?3x?1?x?,求x??x?3的最大值和最小值。(第六届迎春32

杯决赛试题)

分析:先解不等式,求出x的范围,然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。 解:解不等式2x?15?3x7 得: x? ?1?x?3211

11 x??x?3的几何意义是x到1的距离与x到-3的距离的差,从上图中可以看出:当x≤-3时这差取得最大值4,因x?773,则当x?时这差取得最小值?3. 111111评注:1、本题是采用数形结合的思想,用绝对值的几何意义来解题。 2、本题求得x的范围后,也可用零点分段法将x?1?x?3化简,然后求出最大值和最小值。

当x??3时 ??1?x?x?3?4,

7 x??x?3=?1?x?x?3??2?2x,当?3?x??11?

73由上式可以看出:当x≤-3时取得最大值4,当x?时取得最小值?3 1111

例3 解方程 x?x?3.1415926 ? y?11?2y?7.13 ?0 8

(第六届华杯赛决赛初一试题)

分析:两个非负数的和是0,这两个非负数必须都是0。

解:由原方程得

?x?x?3.1415926?0 (1)? ? 11y??2y?7.13?0 ( 2 ) ?8?

由(1)得:x?x?3.1415926

从而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x,所以x=1.5707963

由(2)得:y?11?2y?7.13 8

1111?2y?7.13 或y??7.13?y 88

17011151 所以 y= 或 y= 200600

?.5707963x?1.5707963??x?1?17011151 于是,原方程的解是 ? ?y?y? ??200600?? 从而 y?

评注:两个非负数的和是0,这两个非负数必须都是0是解题中常用的一个结论。本题中,求x?x?3.中的x值也可以用绝对值的几何意义来解,x?x?3.1415926表示x到原点与到3.1415926的距离相等,因而x是原点与

点3.1415926连结线段的中点,即x=1.5707963

例4 有理数a,b,c均不为0,且a?b?c?0.设x?|

式x19|a||b||c|??|,试求代数b?cc?aa?b?99x?2000之值。(第11届希望杯培训题)

19分析:要求代数式x必须求出x的值。根据 x的特征和已知条件,?99x?2000的值,

分析a与b+c,b与a+c,c与a+b的关系,从而求出x的值。

解:由a,b,c均不为0,知b?c,c?a,a?b均不为0.

∵a?b?c?0. ∴a??(b?c),b??(c?a),c??(a?b).

abc??1,??1,??1, b?cc?aa?b

又a,b,c中不能全同号,故必一正二负或一负二正. |a||b||c|所以中必有两个同号,即其值为两个+1,一个-1或两个-1,,,b?cc?aa?b即

一个+1.

∴ |a||b||c||a||b||c|????1, ∴ x???b?cc?aa?bb?cc?aa?b

19因此,x?99x?2000?1?99?2000?1902.

?1.

例5已知a、b、c为实数,且

求ab1bc1ca1??? a?b3b?c4c?a5abc的值。(第8届希望杯试题) ab?bc?ca

分析:直接对已知条件式进行处理有点困难,根据已知条件式的结构特征,可以将它们

两边取倒数。

解:由已知条件可知a≠0,b≠0,c≠0,对已知三式取倒数得:

111111??3, ??4, ??5 abbcca

111 三式相加除以2得:???6 abc

ab?bc?ca111abc1 因为= ????6,所以abcabcab?bc?ca6

例6 求方程x?2?x?3?1的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题) 分析:1可以化成:?x?2???x?3?,于是x?2?x?3??x?2???x?3? 由绝对值的性质:若ab≤0,则a?b?a?b可得(x-2) (x-3)≤0

从而求得x 解:原方程可化为:x?2?x?3??x?2???x?3?

则 (x-2) (x-3)≤0,所以??x?2?0?x?2?0 或?,所以2≤x≤3

?x?3?0?x?3?0

因此原方程有无数多个解。

评注:本题很巧妙地将“1”代换成?x?2???x?3?,然后可利用绝对值的性质来解题。

在解数学竞赛题时,常常要用到“1”的代换。

例7 求关于x的方程 x?2??a?0 (0?a?1)的所有解的和。

解:由原方程得 x?2?1?a,∴x?2?1??a

∵0<a<1,∴x?2?1?a,即x-2=±(1±a), ∴x=2±(1±a),

从而,x1=3+a, x2=3-a, x3=1+a, x4=1-a

∴x1+x2+x3+x4=8,即原方程所有解的和为8

xx2

例8 已知:2?a,且a?0,求4的值。 2x?x?1x?x?1

分析:直接求值有困难,但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生x?1,通过将x

x?1整体处理来求值。 x

xx2?x?11?a,且a?0,?? 解:∵2xax?x?1

即x?1?11111?a ?x???1?xaxaa

22x4?x2?11?1?1?2a?1?a?2?x?1??x??1??1? 而 ????2x?ax2x2?a??

x2a2

? ∴4 2x?x?11?2a

评注:本题通过将x?

1整体处理来解决问题,整体处理思想是一种常用的数学思想。 x

?2z2

?x?21?z?2x2?例9 解方程组?y? (1984年江苏省苏州市初中数学竞赛试题) 21?x?2?z?2y

?1?y2?

解:观察得,x=y=z=0为方程组的一组解。当xyz≠0时,将原方程组各方程两边取倒

数得:

?21?1? ( 1 ) ?2z?x1222111?2 ??1?2 ( 2 ) (1)+(2)+(3)得:???3?2?2?2 xyzxzxy?y

?2?1?1 ( 3 ) ?zy2?

111222?1??1??1??1? ∴2?2?2????3???1???????z?1??0 xyzxyxyz??????

∴222111?1??1??1?0 ∴x=y=z=1 xyz

?x?0?x?1?? 故原方程组的解为:?y?0 或 ?y?1

?z?0?z?1??

评注:本题在对方程组中的方程两边取倒数时,不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会

产生漏解。

三、巩固练习

选择题

1、若a2?1,则a的值是( ) a

A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不对

2、方程x?2?x?3?1的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)

A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3个

3、下面有4个命题:

①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是:( )

(A)①和② (B)②和③

(C)③和④ (D)④和①

4、两个质数的和是49,则这两个质数的倒数和是( )

A、94498645 B、 C、 D、 49944586

5、设y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c为常数),已知当x=7时,y=7,则x= -7时,y的值等于( )

A、-7 B、-17 C、17 D、不确定

6、若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,则a+b+c+d的最大值是( )

A、-1 B、0 C、1 D、-5

填空题

7、设a<0,且x≤a, 则 x?1?x?2= a

8、a、b是数轴上两个点,且满足a≤b。点x到a的距离是x到b的距离的2倍,则

m9、 若a?6与?m?3?互为相反数,则a?2

10、计算:1111?????? 1?21?2?31?2?31?2?3???100

11、若a是有理数,则(?a)?|a|?|?a|?(?|a|)的最小值是___.

12、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简

|a?b|?|b?1|?|a?c|?|1?c|?_____.

解答题

13、化简:x?5?2x?3

?1??1?14、已知?2a?1??b?1?0,求??????a??b?222002

15、若abc≠0,求abc??的所有可能的值 abc

16、X是有理数,求x?10095的最小值。 ?x?221221

17、已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值为1,求a+b+x 2-cdx的值。

18、求满足ab?a?b?1的所有整数对(a,b).

19、若2x?4?5x??3x?6的值恒为常数,求x的取值范围及此常数的值。

20、已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根,求a的取值范围。

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