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小学数学奥数方法讲义40讲(四)

发布时间:2014-04-14 13:02:37  

第三十一讲 分解质因数法

通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分

解质因数法。

分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维。

例1 一块正方体木块,体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米?(适于六年级程度)

解:把1331分解质因数:

1331=11×11×11

答:这块正方体木块的棱长是11厘米。

例2 一个数的平方等于324,求这个数。(适于六年级程度)

解:把324分解质因数:

324= 2×2×3×3×3×3

=(2×3×3)×(2×3×3)

=18×18

答:这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462,求这两个数。(适于六年级程度)

解:把462分解质因数:

462=2×3×7×11

=(3×7)×(2×11)

=21×22

答:这两个数是21和22。

*例4 ABC×D=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数。求ABC代表什么数?(适于六年级程度)

解:因为ABC×D=1673,ABC是一个三位数,所以可把1673分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239×7

答:ABC代表239。

例5 一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米?(适于六年级程度)

解:先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

=(2×2×2×2×3)×(2×2×2×2×3)

=48×48

正方形的边长是48米。

这块田地的周长是:

48×4=192(米)

答略。

*例6 有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友?(适于六年级程度)

解:3250-10=3240(个)

把3240分解质因数:

3240=23×34×5

接近40的数有36、37、38、39

这些数中36=22×32,所以只有36是3240的约数。

23×34×5÷(22×32)

=2×32×5

=90

答:这个幼儿园有90名小朋友。

*例7 105的约数共有几个?(适于六年级程度)

解:求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积??逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。

因为,105=3×5×7,

所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;

含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个;

含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

所以,105的约数共有4+3+1=8个。

答略。

*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少?(适于六年级程度)

解:将这九个数分别分解质因数:

15=3×5

22=2×11

30=2×3×5

35=5×7

39=3×13

44=2×2×11

52=2×2×13

77=7×11

91=7×13

观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。

由以上观察分析可得这三组数分别是:

15、52和77;

22、30和91;

35、39和44。

答略。

*例9 有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁?(适于六年级程度)

解:把5040分解质因数:

5040=2×2×2×2×3×3×5×7

由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是:

7,2×2×2,3×3,2×5

即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

答略。

*例10 在等式35×( )×81×27=7×18×( )×162的两个括号中,填上适当的最小的数。(适于六年级程度)

解:将已知等式的两边分解质因数,得:

5×37×7×( )=22×36×7×( )

把上面的等式化简,得:

15×( )=4×( )

所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。

15×(4)=4×(15)

答略。

*例11 把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?(适于六年级程度)

解:把84分解质因数:

84=2×2×3×7

除了1和84外,84的约数有:

2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42。下面可根据不同的约数进行分组。84÷2=42(组),84÷3=28(组),84÷4=21(组),84÷6=14(组),84÷7=12(组),84÷12=7(组),84÷14=6(组),84÷21=4(组),84÷28=3(组),84÷42=2(组)。

因此每组2人分42组;每组3人分28组;每组4人分21组;每组6人分14组;每组7人分12组;每组12人分7组;每组14人分6组;每组21人分4组;每组28人分3组;每组42人分2组。一共有10种分法。

答略。

*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。(适于六年级程度)

解:要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同。因此,首先应把八个数分解质因数。

14=2×7 143=11×13

30=2×3×5 169=13×13

33=3×11 4445=5×7×127

75=3×5×5 4953=3×13×127

在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个。

在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个。

按这个要求每一组四个数的积应是:

2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

因为,(2×7)×(3×5×5)×(11×13)×(3×13×127)=14×75×143×4953,根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是:30、33、169、4445。

答略。

*例13 一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。(适于五年级程度)

解:设长方形的宽为x厘米,则长为(x+6)厘米。根据题意列方程,得:

x(x+6)= 315

x(x+6)=3×3×5×7

=(3×5)×(3×7)

x(x+6)=15×21

x(x+6)=15×(15+6)

x=15

x+6=21

答:这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米。

*例14 已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少?(适于五年级程度)

解:设这三个连续自然数分别是x-1,x,x+1,根据题意列方程,得:

(x-1)×x×(x+1)

=210

=21×10

=3×7×2×5

=5×6×7

比较方程两边的因数,得:x=6,x-1=5,x+1=7。

答:这三个连续自然数分别是5、6、7。

*例15 将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?(适于六年级程度)

解:把1440分解质因数:

1440= 12×12×10

=2×2×3×2×2×3×2×5

=(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5)

=8×9×20

如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:

8×9=72,

20×3+12=72

正符合题中条件。

答:甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

*例16 一个星期天的早晨,母亲对孩子们说:“你们是否发现在你们中间,大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和?”儿子们齐声回答说:“是的,我们的年龄和您年龄的乘积,等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以

10。”从这次谈话中,你能否确定母亲在多大时,才生下第二个儿子?(适于六年级程度)

解:由题意可知,母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于:

33×1000+32×10=27090

把27090分解质因数:

27090=43×7×5×32×2

根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”,重新组合上面的质因式得:

43×14×9×5

这个质因式中14就是9与5之和。

所以母亲43岁,大儿子14岁,二儿子9岁,小儿子5岁。

43-9=34(岁)

答:母亲在34岁时生下第二个儿子。

第三十二讲 最大公约数法

通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法,叫做最大公约数法。

例1 甲班有42名学生,乙班有48名学生,现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组,并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生?(适于六年级程度)

解:要使每个小组都是同一个班的学生,并且要使每个小组的人数尽可能多,就要求出42和48的最大公约数:

2×3=6

42和48的最大公约数是6。

答:每个小组最多能有6名学生。

例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板,要把它分割成若干个面积最大,井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形?(适于六年级程度)

解:因为分割成的正方形的面积最大,并且面积相等,所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。

求出150和60的最大公约数:

2×3×5=30

150和60的最大公约数是30,即正方形的边长是30厘米。

看上面的短除式中,150、60除以2之后,再除以3、5,最后的商是5和2。这说明,当正方形的边长是30厘米时,长方形的长150厘米中含有5个30厘米,宽60厘米中含有2个30厘米。

所以,这个长方形能分割成正方形:

5×2=10(个)

答:能分割成10个正方形。

例3 有一个长方体的方木,长是3.25米,宽是1.75米,厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块,并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少?可以截成多少块这样的小木块?(适于六年级程度)

解:3.25米=325厘米,1.75米=175厘米,0.75米=75厘米,此题实际是求325、175和75的最大公约数。

5×5=25

325、175和75的最大公约数是25,即小正方体木块的棱长是25厘米。

因为75、175、325除以5得商15、35、65,15、35、65再除以5,最后的商是3、7、13,而小正方体木块的棱长是25厘米,所以,在75厘米中包含3个25厘米,在175厘米中包含7个25厘米,在325厘米中包含13个25厘米。

可以截成棱长是25厘米的小木块:

3×7×13=273(块)

答:小正方体木块的棱长是25厘米,可以截成这样大的正方体273块。 例4 有三根绳子,第一根长45米,第二根长60米,第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米?一共可以截成多少段?(适于六年级程度)

解:此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。

3×5=15

45、60和75的最大公约数是15,即每一小段绳子最长15米。

因为短除式中最后的商是3、4、5,所以在把绳子截成15米这么长时,45米长的绳子可以截成3段,60米长的绳子可以截成4段,75米长的绳子可以截成5段。所以有:

3+4+5=12(段)

答:每段最长15米,一共可以截成12段。

例5 某校有男生234人,女生146人,把男、女生分别分成人数相等的若干组后,男、女生各剩3人。要使组数最少,每组应是多少人?能分成多少组?(适于六年级程度)

解:因为男、女生各剩3人,所以进入各组的男、女生的人数分别是:

234-3=231(人)???????男

146-3=143(人)???????女

要使组数最少,每一组的人数应当是最多的,即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。

231、143的最大公约数是11,即每一组是11人。

因为231、143除以11时,商是21和13,所以男生可以分为21组,女生可以分为13组。

21+13=34(组)

答:每一组应是11人,能分成34组。

例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里,要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒?(适于六年级程度)

解:求一共可以装多少个盒子,要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中,且每个盒子里球的个数相同,装的最多,则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。

2×3×5=30

330和360的最大公约数是30,即每盒装30个球。

330÷30=11(盒)?????红球装11盒

360÷30=12(盒)?????绿球装12盒

11+12=23(盒)?????共装23盒

答略。

例7 一个数除40不足2,除68也不足2。这个数最大是多少?(适于六年级程度)

解:“一个数除40不足2,除68也不足2”的意思是:40被这个数除,不能整除,要是在40之上加上2,才能被这个数整除;68被这个数除,也不能整除,要是在68之上加上2,才能被这个数整除。

看来,能被这个数整除的数是:40+2=42,68+2=70。这个数是42和70的公约数,而且是最大的公约数。

2×7=14

答:这个数最大是14。

例8 李明昨天卖了三筐白菜,每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元,第二筐卖了1.95元,第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克,李明一共卖了多少千克白菜?(适于六年级程度)

解:三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分,每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。

把104、195、234分别分解质因数:

104=23×13

195=3×5×13

234=2×32×13

104、195、234最大的公有的质因数是13,所以104、195、234的最大公约数是13,即每千克白菜的价钱是0.13元。

1.04÷0.13=8(千克)???第一筐

1.95÷0.13=15(千克)???第二筐

2.34÷0.13=18(千克)???第三筐

8+15+18=41(千克)

答:第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克,李明一共卖了41千克白菜。

例9 一个两位数除472,余数是17。这个两位数是多少?(适于六年级程度)

解:因为这个“两位数除472,余数是17”,所以,472-17=455,455一定能被这个两位数整除。

455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455,这些约数中35、65和91大于17,并且是两位数,所以这个两位数可以是35或65,也可以是91。

答略。

例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上,要使每个角必须有一个焊点,并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点?(单位:厘米)(适于六年级程度)

解:要求焊点最少,焊点间距就要最大;要求每个角有一个焊点,焊点间距离相等,焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。

2×3=6

它们的最大公约数是6,即焊点间距离为6厘米。焊点数为:

7+4+3+6=20(个)

按这个算法每个角上的焊点是两个,因为要求每一个角上要有一个焊点,所以,要从20个焊点中减4个焊点。

20-4=16(个)

答略。

第三十三讲 最小公倍数法

通过计算出几个数的最小公倍数,从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。

例1 用长36厘米,宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面,最少需要多少块瓷砖?(适于六年级程度)

解:因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少,所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。

2×2×3×3×2=72

36、24的最小公倍数是72,即正方形的边长是72厘米。

72÷36=2

72÷24=3

2×3=6(块)

答:最少需要6块瓷砖。

*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大?用多少块上面那样的长方体木块?(适于六年级程度)

解:此题应先求正方体模型的棱长,这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。

2×3×2=12

6、4和3的最小公倍数是12,即正方体模型的棱长是12厘米。

正方体模型的体积为:

12×12×12=1728(立方厘米)

长方体木块的块数是:

1728÷(6×4×3)

=1728÷72

=24(块)

答略。例3 有一个不足50人的班级,每12人分为一组余1人,每16人分为一组也余1人。这个班级有多少人?(适于六年级程度)

解:这个班的学生每12人分为一组余1人,每16人分为一组也余1人,这说明这个班的人数比12与16的公倍数(50以内)多1人。所以先求12与16的最小公倍数。

2×2×3×4=48

12与16的最小公倍数是48。

48+1=49(人)

49<50,正好符合题中全班不足50人的要求。

答:这个班有49人。

例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8分钟发一次车;第二条线路每隔10分钟发一次车;第三条线路每隔12分钟发一次车。三条线路的汽车在同一时间发车以后,至少再经过多少分钟又在同一时间发车?(适于六年级程度)

解:求三条线路的汽车在同一时间发车以后,至少再经过多少分钟又在同一时间发车,就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数,即8、10、12的最小公倍数。

2×2×2×5×3=120

答:至少经过120分钟又在同一时间发车。

例5 有一筐鸡蛋,4个4个地数余2个,5个5个地数余3个,6个6个地数余4个。这筐鸡蛋最少有多少个?(适于六年级程度)

解:从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数,还是5个5个地数、6个6个地数,筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。因为要求这筐鸡蛋最少是多少个,所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2,就得到鸡蛋的个数。

2×2×5×3=60

4、5、6的最小公倍数是60。

60-2=58(个)

答:这筐鸡蛋最少有58个。

*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中,平均每15人有3个人得一等奖,每8人有2个人得二等奖,每12人有4个人得三等奖。参加这次竞赛的共有94人得奖。求有多少人参加了这次竞赛?得一、二、三等奖的各有多少人?(适于六年级程度)

解:15、8和12的最小公倍数是120,参加这次竞赛的人数是120人。 得一等奖的人数是:

3×(120÷15)=24(人)

得二等奖的人数是:

2×(120÷8)=30(人)

得三等奖的人数是:

4×(120÷12)=40(人)

答略。

*例7 有一个电子钟,每到整点响一次铃,每走9分钟亮一次灯。中午12点整时,电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟?(适于六年级程度)

解:每到整点响一次铃,就是每到60分钟响一次铃。求间隔多长时间后,电子钟既响铃又亮灯,就是求60与9的最小公倍数。

60与9的最小公倍数是180。

180÷60=3(小时)

由于是中午12点时既响铃又亮灯,所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。 答略。

*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个?(适于六年级程度)

解:这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:

96÷4+1=25(个)

后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9(个)

96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑不必重新挖。

答略。

例9 一项工程,甲队单独做需要18天,乙队单独做需要24天。两队合作8天后,余下的工程由甲队单独做,甲队还要做几天?(适于六年级程度)

解:由18、24的最小公倍数是72,可把全工程分为72等份。

72÷18=4(份)????是甲一天做的份数

72÷24=3(份)????是乙一天做的份数

(4+3)×8=56份)???两队8天合作的份数

72-56=16(份)????余下工程的份数

16÷4=4(天)?????甲还要做的天数

答略。

*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米,某船从甲码头到乙码头需要9小时,从乙码头返回甲码头需要13小时。求此船在静水中的速度?(适于高年级程度)

解:9、13的最小公倍数是117,可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。

每一份是:

234÷117=2(千米)

静水中船的速度占总份数的:

(13+9)÷2=11(份)

船在静水中每小时行:

2×11=22(千米)

答略。

*例11 王勇从山脚下登上山顶,再按原路返回。他上山的速度为每小时3千米,下山的速度为每小时5千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米?(适于六年级程度)

解:设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。

3×5=15(千米)

上山用:

15÷3=5(小时)

下山用:

15÷5=3(小时)

总距离÷总时间=平均速度

(15×2)÷(5+3)=3.75(千米)

答:他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。

*例12 某工厂生产一种零件,要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50个;第二道工序每个工人每小时做30个;第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下,这三道工序至少各应分配多少名工人?(适于六年级程度)

解:50、30、25三个数的最小公倍数是150。

第一道工序至少应分配:

150÷50=3(人)

第二道工序至少应分配:

150÷30=5(人)

第三道工序至少应分配:

150÷25=6(人)

答略。

第三十四讲 解平均数问题的方法

已知几个不相等的数及它们的份数,求总平均值的问题,叫做平均数问题。

解答平均数问题时,要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和,总份数是这几个数的份数的和。解答这类问题的公式是;

总数量÷总份数=平均数

例1 气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。(适于四年级程度)

解:本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。这里的总数量是指测得的四个温度的和,即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和;这里的总份数是指测量气温的次数,一天测量四次气温,所以总份数为4。

(13+16+25+18)÷4

=72÷4

=18(摄氏度)

答:这一天的平均气温为18摄氏度。

例2 王师傅加工一批零件,前3天加工了148个,后4天加工了167个。王师傅平均每天加工多少个零件?(适于四年级程度)

解:此题的总数量是指前3天和后4天一共加工的零件数,总份数是指前、后加工零件的天数之和。用总数量除以总份数,便求出平均数。

前、后共加工的零件数:

148+167=315(个)

前、后加工零件共用的天数:

3+4=7(天)

平均每天加工的零件数:

315÷7=45(个)

综合算式:

(148+167)÷(3+4)

=315÷7

=45(个)

答:平均每天加工45个零件。

例3 某工程队铺一段自来水管道。前3天每天铺150米,后2天每天铺200米,正好铺完。这个工程队平均每天铺多少米?(适于四年级程度)

解:本题的总数量是指工程队前3天、后2天一共铺自来水管道的米数。总份数是指铺自来水管道的总天数。用铺自来水管道的总米数除以铺自来水管道的总天数,就可以求出平均每天铺的米数。

前3天铺的自来水管道米数:

150×3=450(米)

后2天铺的自来水管道米数:

200×2=400(米)

一共铺的自来水管道米数:

450+400=850(米)

一共铺的天数:

3+2=5(天)

平均每天铺的米数:

850÷5=170(米)

综合算式:

(150×3+200×2)÷(3+2)

=(450+400)÷5

=850÷5

=170(米)

答略。

例4 有两块实验田,第一块有地3.5亩,平均亩产小麦480千克;第二块有地1.5亩,共产小麦750千克。这两块地平均亩产小麦多少千克?(适于四年级程度)

解:本题的总数量是指两块地小麦的总产量,总份数是指两块地的总亩数,用两块地的总产量除以两块地的总亩数,可求出两块地平均亩产小麦多少千克。

3.5亩共产小麦:

480×3.5=1680(千克)

两块地总产量:

1680+750=2430(千克)

两块地的总亩数:

3.5+1.5=5(亩)

两块地平均亩产小麦:

2430÷5=486(千克)

综合算式:

(480×3.5+750)÷(3.5+1.5)

=(1680+750)÷5

=2430÷5

=486(千克)

答略。

例5 东风机器厂,五月份上半月的产值是125.2万元,比下半月的产值少70万元。这个厂五月份平均每天的产值是多少万元?(适于四年级程度)

解:本题的总数量是指五月份的总产值。五月份上半月的产值是125.2万元,比下半月的产值少70万元,也就是下半月比上半月多70万元,所以下半月产值为125.2+70=195.2(万元)。把上半月的产值和下半月的产值相加,求出五月份的总产值。

本题的总份数是指五月份的实际天数。五月份为大月,共有31天。用五月份的总产值除以五月份的实际天数,可求出五月份平均每天的产值是多少万元。

下半月产值:

125.2+70=195.2(万元)

五月份的总产值:

125.2+195.2=320.4(万元)

五月份平均每天的产值:

320.4÷31≈10.3(万元)

综合算式:

(125.2+125.2+70)÷31

=320.4÷31

≈10.3(万元)

答略。

例6 崇光轴承厂六月上旬平均每天生产轴承527只,中旬生产5580只,下旬生产5890只。这个月平均每天生产轴承多少只?(适于四年级程度)

解:本题的总数量是指六月份生产轴承的总只数,总份数是指六月份生产轴承的总天数。用六月份生产轴承的总只数除以六月份的总天数,可求出六月份平均每天生产轴承数。

六月上旬生产轴承的只数:

527×10=5270(只)

六月中、下旬共生产轴承:

5580+5890=11470(只)

六月份共生产轴承:

5270+11470=16740(只)

六月份平均每天生产轴承:

16740÷30=558(只)

综合算式:

(527×10+5580+5890)÷30

=(5270+5580+5890)÷30

=16740÷30

=558(只)

答略。

例7 糖果店配混合糖,用每千克4.8元的奶糖5千克,每千克3.6元的软糖10千克,每千克2.4元的硬糖10千克。这样配成的混合糖,每千克应卖多少元?(适于四年级程度)

解:本题中的总数量是指三种糖的总钱数;总份数是指三种糖的总重量。总钱数除以总重量,可求出每千克混合糖应卖多少钱。

三种糖总的钱数:

4.8×5+3.6×10+2.4×10

=24+36+24

=84(元)

三种糖的总的重量:

5+10+10=25(千克)

每千克混合糖应卖的价钱:

84÷25=3.36(元)

综合算式:

(4.8×5+3.6×10+2.4×10)÷(5+10+10)

=84÷25

=3.36(元)

答略。

例8 一辆汽车从甲地开往乙地,在平地上行驶了2.5小时,每小时行驶42千米;在上坡路行驶了1.5小时,每小时行驶30千米;在下坡路行驶了2小时,每小时行驶45千米,就正好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均速度。(适于四年级程度)

解:本题中的总数量是由甲地到乙地的总路程:

42×2.5+30×1.5+45×2

=105+45+90

=240(千米)

本题中的总份数是由甲地到乙地所用的时间:

2.5+1.5+2=6(小时)

这辆汽车从甲地到乙地的平均速度是:

240÷6=40(千米/小时)

综合算式:

(42×2.5+30×1.5+45×2)÷(2.5+1.5+2)

=240÷6

=40(千米/小时)

答略。

*例9 学校发动学生积肥支援农业,三年级85人积肥3640千克,四年级92人比三年级多积肥475千克,五年级的人数比四年级多3人,积肥数比三年级多845千克。三个年级的学生平均每人积肥多少千克?(适于四年级程度)

解:本题中的总数量是三个年级积肥的总重量。已知三年级积肥3640千克。

四年级积肥:

3640+475=4115(千克)

五年级积肥:

3640+845=4485(千克)

三个年级共积肥:

3640+4115+4485=12240(千克)

本题中的总份数就是三个年级学生的总人数。三年级学生人数是85人已知,四年级学生人数是92人已知,五年级学生人数是:

92+3=95(人)

三个年级学生的总人数是:

85+92+95=272(人)

三个年级的学生平均每人积肥:

12240÷272=45(千克)

综合算式:

(3640×3+475+845)÷(85+92×2+3)

=12240÷272

=45(千克)

答略。

例10 山上某镇离山下县城有60千米的路程。一人骑自行车从该镇出发去县城,每小时行20千米。从县城返回该镇时,由于是上坡路,每小时只行了15千米。问此人往返一次平均每小时行了多少千米?(适于四年级程度)

解:本题中的总数量是从某镇到县城往返一次的总路程:

60×2=120(千米)

总份数是往返一次用的时间:

60÷20+6O÷15

=3+4

=7(小时)

此人往返一次平均每小时行的路程是:

120÷7≈17.14(千米)

综合算式:

60×2÷(60÷20+60÷15)

=120÷(3+4)

=120÷7

≈17.14(千米)

答略。

*例11 有两块棉田,平均亩产皮棉91.5千克。已知一块田是3亩,平均亩产皮棉104千克。另一块田是5亩,求这块田平均亩产皮棉多少千克?(适于四年级程度)

解:两块棉田皮棉的总产量是:

91.5×(3+5)=732(千克)

3亩的那块棉田皮棉的产量是:

104×3=312(千克)

另一块棉田皮棉的平均亩产量是:

(732-312)÷5

=420÷5

=84(千克)

综合算式:

[91.5×(3+5)-104×3]÷5

=[732-312]÷5

=420÷5

=84(千克)

答略。

*例12 王伯伯钓鱼,前4天共钓了36条,后6天平均每天比前4天多钓了5条。问王伯伯平均每天钓鱼多少条?(适于四年级程度)

解(1):题中前4天共钓36条已知,后6天共钓鱼:

(36÷4+5)×6

=14×6

=84(条)

一共钓鱼的天数是:

4+6=10(天)

10天共钓鱼:

36+84=120(条)

平均每天钓鱼:

120÷10=12(条)

综合算式:

[36+(36÷4+5)×6]÷(4+6)

=[36+84]÷10

=120÷10

=12(条)

答略。

解(2):这道题除用一般方法解之外,还可将后6天多钓的鱼按10天平均后,再加上原来4天的平均钓鱼数。

(5×6)÷(4+6)+36÷4

=3+9

=12(条)

答:王伯伯平均每天钓鱼12条。

例13 一个小朋友爬山,上山速度为每小时2千米,到达山顶后立即按原路下山,下山速度为每小时6千米。这个小朋友上、下山的平均速度是多少?(适于四年级程度)

解:本题的总数量是上山、下山的总路程,题中没有说总路程是多少。假设上山的路程是1千米,那么下山的路程也是1千米,上山、下山的总路程是2千米。

本题的总份数是上山、下山总共用的时间。

上山、下山总共用的时间是:

所以,上山、下山的平均速度是:

答略。

例14 某厂一、二月份的平均产值是1.2万元,三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元。这个工厂三月份的产值是多少万元?(适于四年级程度)

解:此题数量关系比较隐蔽,用“总数量÷总份数”的方法做不出来。作图(34-1)。从图34-1可以看出,一、二月份的平均产值都是1.2万元。题中说“三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元”,那么三月份的产值一定比一、二月份的平均产值要高,所以图34-1中表示三月份产值的线段比表示

一、二月份平均产值的线段长。

第一季度的平均产值是多少万元呢?

我们用“移多补少”的方法,把图34-1中三月份的0.4万元平均分成2份,分别加到一、二月份的产值上,这样就得到第一季度的平均产值了。

1.2+0.4÷2=1.4(万元)

因为三月份的产值比第一季度的平均月产值还多0.4万元,所以三月份的产值是:

1.4+0.4=1.8(万元)

综合算式:

1.2+0.4÷2+0.4

=1.4+0.4

=1.8(万元)

答略。

*例15 苹果2千克卖2元钱,梨3千克卖2元钱。把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺到一起,按2元钱2.5千克来卖,是挣钱,还是赔钱?按照前面的标准价计算差了多少元?(适于四年级程度)

解:苹果的单价是每1千克1元钱,梨的单价是每1千克2/3元,混合后每1千克混合水果的价钱应当是:

因为是把每一筐15千克的梨、苹果各一筐掺合到一起,所以混合的水果一共是30千克,这30千克水果要少卖钱:

答:混合后是赔钱,照标准价差了1元钱。

*例16 三块小麦实验田的平均亩产量是267.5千克。已知第一块地是3亩,平均亩产量是275千克;第二块是5亩,平均亩产量是285千克;而第三块地的平均亩产量只有240千克。第三块地是多少亩?(适于四年级程度)

解:第三块地的亩产量比总平均亩产量低:

267.5-240=27.5(千克)

每亩低27.5千克,需要第一、二两块地可拿出多少千克来填补呢?

(275-267.5)×3+(285-267.5)×5

=7.5×3+17.5×5

=22.5+87.5

=110(千克)

110千克中含有多少个27.5千克,第三块地就是多少亩。

110÷27.5=4(亩)

综合算式:

[(275-267.5)×3+(285-267.5)×5]÷(267.5-240)

=[22.5+87.5]÷27.5

=110÷27.5

=4(亩)

答:第三块地是4亩。

第三十五讲 解行程问题的方法

已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个,求第三个数量的应用题,叫做行程问题。

解答行程问题的关键是,首先要确定运动的方向,然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。

行程问题的基本数量关系是:

速度×时间=路程

路程÷速度=时间

路程÷时间=速度

行程问题常见的类型是:相遇问题,追及问题(即同向运动问题),相离问题(即相背运动问题)。

(一)相遇问题

两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。

小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题。

相遇问题根据数量关系可分成三种类型:求路程,求相遇时间,求速度。 它们的基本关系式如下:

总路程=(甲速+乙速)×相遇时间

相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度

1.求路程

(1)求两地间的距离

例1 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出,一辆汽车每小时行56千米,另一辆汽车每小时行63千米,经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米?(适于五年级程度)

解:两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是它行驶的路程;另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间,就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和,就是两地距离。

56×4=224(千米)

63×4=252(千米)

224+252=476(千米)

综合算式:

56×4+63×4

=224+252

=476(千米)

答略。

例2 两列火车同时从相距480千米的两个城市出发,相向而行,甲车每小时行驶40千米,乙车每小时行驶42千米。5小时后,两列火车相距多少千米?(适于五年级程度)

解:此题的答案不能直接求出,先求出两车5小时共行多远后,从两地的距离480千米中,减去两车5小时共行的路程,所得就是两车的距离。

480-(40+42)×5

=480-82×5

=480-410

=70(千米)

答:5小时后两列火车相距70千米。

例3 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行,甲每小时行5千米,乙每小时行4千米。二人第一次相遇后,都继续前进,分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇,共用了6小时。A、B两地相距多少千米?(适于五年级程度)

解:从开始走到第一次相遇,两人走的路程是一个AB之长;而到第二次相遇,

两人走的路程总共就是3个AB之长(图35-1),这三个AB之长是:

(5+4)×6=54(千米)

所以,A、B两地相距的路程是:

54÷3=18(千米)

答略。

例4 两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来,第一列火车每小时行驶60千米,第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时,第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。(适于五年级程度)

解:两车相遇时,两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同,第一列火车每小时比第二列火车多行(60-55)千米。由此可求出两车相遇的时间,进而求出甲、乙两地间的距离。

(60+55)×[20÷(60-55)]

=115×[20÷5]

=460(千米)

答略。

*例5 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走5千米,两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。(适于五年级程度)

解:由题意可知,当二人相遇时,甲比乙多走了1.5×2千米(图35-2),甲比乙每小时多行(6-5)千米。由路程差与速度差,可求出相遇时间,进而求出A、B两地之间的距离。

(6+5)×[1.5×2÷(6-5)]

=11×[1.5×2÷1]

=11×3

=33(千米)

答略。

由两车“在离中点2千米处相遇”可知,甲车比乙车少行:

2×2=4(千米)

所以,乙车行的路程是:

甲车行的路程是:

A、B两站间的距离是:

24+20=44(千米)

答略。

同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米?(适于六年级程度)

快车从乙城开出,普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米,快车每小时行80千米,可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间,可

以按“速度之和×相遇时间”,求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶

普通客车与快车速度之和是:

60+80=140(千米/小时)

两车相对而行的总路程是:

140×4=560(千米)

两车所行的总路程占全程的比率是:

甲、乙两城之间相距为:

综合算式:

答略。

2)求各行多少

例1 两地相距37.5千米,甲、乙二人同时从两地出发相向而行,甲每小时走3.5千米,乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米?(适于五年级程度)

解:到甲、乙二人相遇时所用的时间是:

37.5÷(3.5+4)=5(小时)

甲行的路程是:

3.5×5=17.5(千米)

乙行的路程是:

4×5=20(千米)

答略。

例2 甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来,甲每小时走4千米,乙每小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米?(适于五年级程度)

解:到甲、乙二人相遇所用的时间是:

40÷(4+6)=4(小时)

由于他们又都走了1小时,因此两人都走了:

4+1=5(小时)

甲走的路程是:

4×5=20(千米)

乙走的路程是:

6×5=30(千米)

答略。

例3 两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出,第一列火车每小时行48.65千米,第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米?(适于五年级程度)

解:两车同时开出,行的路程有一个差,这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间,然后再分别求出所行的路程。

从出发到相遇所用时间是:

5.2÷(48.65-47.35)

=5.2÷1.3

=4(小时)

第一列火车行驶的路程是:

48.65×4=194.6(千米)

第二列火车行驶的路程是:

47.35×4=189.4(千米)

答略。

*例4 东、西两车站相距564千米,两列火车同时从两站相对开出,经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米?(适于五年级程度)

解:两列火车的速度和是:

564÷6=94(千米/小时)

第一列火车每小时行:

(94+2)÷2=48(千米)

第二列火车每小时行:

48-2=46(千米)

相遇时,第一列火车行:

48×6=288(千米)

第二列火车行:

46×6=276(千米)

答略。

2.求相遇时间

例1 两个城市之间的路程是500千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,客车的平均速度是每小时55千米,货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇?(适于五年级程度)

解:已知两个城市之间的路程是500千米,又知客车和货车的速度,可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。

500÷(55+45)

=500÷100

=5(小时)

答略。

例2 两地之间的路程是420千米,一列客车和一列货车同时从两个城市

答略。

例3 在一次战役中,敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告,敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击,每小时前进6.5千米,敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇?(适于五年级程度)

解:此题已给出总距离是62.75千米,由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到(62.75-11)千米。

(62.75-11)÷(6.5+5)

=51.75÷11.5

=4.5(小时)

答:我军出发4.5小时后与敌人相遇。

例4 甲、乙两地相距200千米,一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时;一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出,经过几小时可以相遇?(得数保留一位小数)(适于五年级程度)

解:此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和,根据“时间=路程÷速度”的关系,即可求出相遇时间。

200÷(200÷5+200÷4)

=200÷(40+50)

=200÷90

≈2.2(小时)

答:两车大约经过2.2小时相遇。

例5 在复线铁路上,快车和慢车分别从两个车站开出,相向而行。快车车身长是180米,速度为每秒钟9米;慢车车身长210米,车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开,需要几秒钟?(适于五年级程度)

解:因为是以两车离开为准计算时间,所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和,就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。

(180+210)÷(9+6)

=390÷15

=26(秒)

答略。

3.求速度

例1 甲、乙两个车站相距550千米,两列火车同时由两站相向开出,5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米?(适于五年级程度)

解:先求出速度和,再从速度和中减去快车的速度,便得出慢车每小时行:

550÷5-60

=110-60

=50(千米)

答略。

例2 A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出,经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米?(适于五年级程度)

解:客车每小时行:

(380÷4-5)÷2

=(95-5)÷2

=45(千米)

货车每小时行:

45+5=50(千米)

答略。

例3 甲、乙两个城市相距980千米,两列火车由两城市同时相对开出,经过10小时相遇。快车每小时行50千米,比慢车每小时多行多少千米?(适于五年级程度)

解:两城市的距离除以两车相遇的时间,得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度,得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度,即得到题中所求。

50-(980÷10-50)

=50-(98-50)

=50-48

=2(千米)

答略。

例4 甲、乙两地相距486千米,快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出,经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是5∶4。求快车和慢车每小时各行多少千米?(适于六年级程度)

两车的速度和是:

486÷6=81(千米/小时)

快车每小时行:

慢车每小时行:

答略。

例5 两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出,4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米?(适于五年级程度)

解:如果两地间的距离减少120千米,4.5小时两车正好相遇。也就是两车

4.5小时行465-120=345千米,345千米除以4.5小时,可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度,得到另一辆车的速度。

答略。

例6 甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。甲步行,每小时走5千米,先出发0.8小时。乙骑自行车,骑2小时后,两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米?(适于五年级程度)

解:两人相遇时,甲共走:

0.8+2=2.8(小时)

甲走的路程是:

5×2.8=14(千米)

乙在2小时内行的路程是:

40-14=26(千米)

所以,乙每小时行:

26÷2=13(千米)

综合算式:

[40-5×(0.8+2)]÷2

=[40-5×2.8]÷2

=[40-14]÷2

=26÷2

=13(千米)

答略。

例7 甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发,每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发,骑了2小时,两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米?(适于五年级程度)

解:从相距的50千米中,去掉甲在1小时内先走的5千米,又去掉相隔的11千米,便得到:

50-5-11=34(千米)

这时,原题就改变成“两地相隔34千米,甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行,乙骑自行车,甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米?”

由此可知,二人的速度和是:

34÷2=17(千米/小时)

乙每小时行驶的路程是:

17-5=12(千米)

综合算式:

(50-5-11)÷2-5

=34÷2-5

=17-5

=12(千米)

答略。

(二)追及问题

追及问题的地点可以相同(如环形跑道上的追及问题),也可以不同,但方向一般是相同的。由于速度不同,就发生快的追及慢的问题。

根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系,常用下面的公式: 距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

*例1 甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前,以每小时5千米的速度步行;乙在后,以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。几小时后乙能追上甲?(适于高年级程度)

解:求乙几小时追上甲,先求乙每小时能追上甲的路程,是:

10-5=5(千米)

再看,相差的路程9千米中含有多少个5千米,即得到乙几小时追上甲。

9÷5=1.8(小时)

综合算式:

9÷(10-5)

=9÷5

=1.8(小时)

答略。

*例2 甲、乙二人在相距6千米的两地,同时同向出发。乙在前,每小时行5千米;甲在后,每小时的速度是乙的1.2倍。甲几小时才能追上乙?(适于高年级程度)

解:甲每小时行:

5×1.2=6(千米)

甲每小时能追上乙:

6-5=1(千米)

相差的路程6千米中,含有多少个1千米,甲就用几小时追上乙。

6÷1=6(小时)

答:甲6小时才能追上乙。

*例3 甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米,乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发,经过多长时间甲能追上乙?(适于高年级程度)

解:此题的运动路线是环形的。求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者,也就是平时所说的“落一圈”,这一圈相当于在直线上的400米,也就是追及的路程。因此,甲追上乙的时间是:

400÷(350-250)

=400÷100

=4(分钟)

答略。

*例4 在解放战争的一次战役中,我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地,正以每小时5.5千米的速度向南逃窜,我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后,只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军,共用了多长时间?(适于高年级程度)

解:敌我两军行进的速度差是:

8.5-5.5=3(千米/小时)

我军追上敌军用的时间是:

6÷3=2(小时)

从开始追击到全歼敌军,共用的时间是:

2+0.5=2.5(小时)

综合算式:

60÷(8.5-5.5)+0.5

=6÷3+0.5

=2.5(小时)

答略。

*例5 一排解放军从驻地出发去执行任务,每小时行5千米。离开驻地3千米时,排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。通讯员以每小时10千米的速度回到驻地,取了地图立即返回。通讯员从驻地出发,几小时可以追上队伍?(适于高年级程度)

解:通讯员离开队伍时,队伍已离开驻地3千米。通讯员的速度等于队伍的2倍(10÷5=2),通讯员返回到驻地时,队伍又前进了(3÷2)千米。这样,通讯员需追及的距离是(3+3÷2)千米,而速度差是(10-5)千米/小时。

根据“距离差÷速度差=时间”可以求出追及的时间。

(3+3÷2)÷(10-5)

=4.5÷5

=0.9(小时)

答略。

(三)相离问题

相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题,也叫做相背运动问题。

解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×时间=两个人或物体之间的距离”。

例1 哥哥由家向东到工厂去上班,每分钟走85米,弟弟同时由家往西到学校去上学,每分钟走75米。几分钟后二人相距960米?(适于四年级程度)

解:二人同时、同地相背而行,只要求出速度和,由“时间=距离÷速度和”即可求出所行时间。因此,得:

960÷(85+75)

=960÷160

=6(分钟)

答略。

例2 甲、乙二人从同一城镇某车站同时出发,相背而行。甲每小时行6千米,乙每小时行7千米。8小时后,甲、乙二人相距多少千米?(适于四年级程度)

解:先求出二人速度之和,再乘以时间就得到二人之间的距离。

(6+7)×8

=13×8

=104(千米)

答略。

*例3 东、西两镇相距69千米。张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行,6小时后二人分别到达东、西两镇。已知张每小时比王多行1.5千米。二人每小时各行多少千米?出发地距东镇有多少千米?(适于高年级程度)

解:由二人6小时共行69千米,可求出他们的速度和是(69÷6)千米/小时。张每小时比王多行1.5千米,这是他们的速度差。从而可以分别求出二人的速度。

张每小时行:

(69÷6+1.5)÷2

=(11.5+1.5)÷2

=13÷2

=6.5(千米)

王每小时行:

6.5-1.5=5(千米)

出发地距东镇的距离是:

6.5×6=39(千米)

答:张每小时行6.5千米,王每小时行5千米;出发地到东镇的距离是39千米。

第三十六讲 解工程问题的方法

工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间的关系是:

工作效率×工作时间=工作量

工作量÷工作时间=工作效率

工作量÷工作效率=工作时间

根据上面的数量关系,只要知道三者中的任意两种量,就可求出第三种量。 由于工作量的已知情况不同,工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两类。在整数工程问题中,工作量是已知的具体数量。解答这类问题时,只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题,计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中,工作量是未知数量。解这类题时,也要根据上面介绍的数量关系计算,但在计算过程中要涉及到分率。

(一)工作总量是具体数量的工程问题

例1 建筑工地需要1200吨水泥,用甲车队运需要15天,用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天?(适于四年级程度)

解:这是一道整数工程问题,题中给出了总工作量是具体的数量1200吨,还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”,分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量,利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”,求出两队合运需用多少天。

甲车队每天运的吨数:(甲车队工作效率)

1200÷15=80(吨)

乙车队每天运的吨数:(乙车队工作效率)

1200÷10=120(吨)

两个车队一天共运的吨数:

80+120=200(吨)

两个车队合运需用的天数:

1200÷200=6(天)

综合算式:

1200÷(1200÷15+1200÷10)

=1200÷(80+120)

=1200÷200

=6(天)

答略。

*例2 生产350个零件,李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟小王合作,则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件,需多少小时?(适于四年级程度)

解:题中工作总量是具体的数量,李师傅完成工作总量的时间也是具体的。 李师傅1小时可完成:

350÷14=25(个)

由“如果李师傅和他的徒弟小王合作,则10小时可以完成”可知,李师傅和徒弟小王每小时完成:

350÷10=35(个)

小王单独工作一小时可完成:

35-25=10(个)

小王单独做这批零件需要:

350÷10=35(小时)

综合算式:

350÷(350÷10-350÷14)

=350÷(35-25

=350÷10

=35(小时)

答略。

*例3 把生产2191打毛巾的任务,分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打,乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后,甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间?(适于四年级程度)

解:两组共同生产的总任务是:

2191-160×2+1=1872(打)

两组共同生产的时间是:

1872÷(160+128)=6.5(小时)

乙组生产的时间是:

6.5+2=8.5(小时)

综合算式:

(2191-160×2+1)÷(160+128)+2

=1872÷288+2

=6.5+2

=8.5(小时)

答略。

一同生产用了多少小时?(适于六年级程度)

解:两台机器一同生产的个数是:

108-45=63(个)

第一台机器每小时生产:

第二台机器每小时生产:

两台机器一同生产用的时间是:

63÷(4+5)=7(小时)

综合算式:

答略。

(二)工作总量不是具体数量的工程问题

例1 一项工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做16天完成。甲、乙两队合做,多少天可以完成?(适于六年级程度)

解:把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成,做1天完成

答略。

例2 一项工程,由甲工程队修建需要20天,由乙工程队修建需要

30

解:把这项工程的工作总量看作1,由甲工程队修建需要20天,知甲工

答略。

例3 一项工程,甲、乙合做5天可以完成,甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成?(适于六年级程度)

解:把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成,甲、乙合

需要多长的时间。

=7.5(天)

答:乙单独做7.5天可以完成。

例4 有一个水箱,用甲水管注水10分钟可以注满,用乙水管注水8分钟可以注满。甲、乙两管同时开放2分钟后,注入水箱中的水占水箱容量的几分之几?(适于六年级程度)

解:把水箱的容量看作1。用甲水管注水10分钟可以注满,则甲水管

1

的:

答略。

例5 一项工程,由甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务。如果三人合作需要几天完成任务?(适于六年级程度)

解:甲、乙、丙三人各自单独做分别要用6天、3天、2天完成任务,

=1(天)

答略。

所以,乙单独做可以完成的时间是:

综合算式:

=6(天)

答略。

以完成?(适于六年级程度)

解:甲队独做3天,乙队独做5天所完成的工作量,相当于甲乙两队合做3天,乙队再独做2天所完成的工作量。这时完成了全工程的:

乙队单独做完成的时间是:

答略。

*例8加工一批零件,甲独做需要3天完成,乙独做需要4天完成。两人同时加工完成任务时,甲比乙多做24个。这批零件有多少个?(适于六年级程度)

解:解这道题的关键是,求出24个零件相当于零件总数的几分之几。

完成任务时甲比乙多做:

综合算式:

答略。

*例9 一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。甲、乙合做了数天后,乙因事请假,甲继续做,从开工到完成任务共用了14天。乙请假几天?(适于六年级程度)

解:根据“甲单独做20天完成”和“从开工到完成任务共用了14天”,可知甲做了全工程的:

乙做了全工程的:

乙请假的天数是:

14-9=5(天)

综合算式:

答略。

*例10 一项工程,乙队单独做需要15天完成。甲、乙两队合做,比乙队单独做可提前6天完成。如果甲、乙两队合做5天后,再由甲队单独做,甲队还需要多少天才能完成?(适于六年级程度)

解:设这项工程为1,则乙队每天做:

两队合做时每天做:

甲队每天做:

两队合做5天后剩下的工作量是:

甲队做剩的工作还需要的时间是:

综合算式:

答略。

(三)用解工程问题的方法解其他类型的应用题

例1 甲、乙两地相距487千米。李华驾驶摩托车从甲地到乙地,需要1小时;王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时。照这样的速度,两人分别从两地同时相向出发,经过几小时在途中相遇?

一般解法:(适于四年级程度)

用解工程问题的方法解:(适于六年级程度)

把全程看作1。李华驾驶摩托车从甲地到乙地需要1小时,李华的速度就是1;王明骑自行车从乙地到甲地需要3小时,王明每1小时要行全程的

例2 某学校食堂购进一车煤,原计划烧60天。由于改进了炉灶的构造,实际每天比原来少烧10千克,这样这车煤烧了70天。这车煤重多少千克?

*一般解法:(适于四年级程度)

10×60÷(70-60)×70

=4200(千克)

答:这车煤重4200千克。

用解工程问题的方法解:(适于六年级程度)

答略。

一般解法:(适于六年级程度)

答略。

用解工程问题的方法解:(适于六年级程度)

如果把这批零件的总数作为一项“工程”,以1表示,则这个工厂计划

因此,实际需要的天数是:

答略。

(四)用份数法解工程问题

例1 一项工程,甲队单独做9天完成,乙队单独做18天完成。甲、乙两队合做4天后,剩下的任务由乙队单独做。乙队还需要几天才能完成?(适于六年级程度)

解:把整个工程的工作量平均分成9×18=162(份)

甲队每天可以完成:

162÷9=18(份)

乙队每天可以完成:

162÷18=9(份)

甲、乙两队合做每天共完成:

18+9=27(份)

两队4天共完成:

27×4=108(份)

两队合做4天后,剩下的工程是:

162-108=54(份)

剩下的任务由乙队单独做,需要的天数是:

54÷9=6(天)

综合算式:

[9×18-(9×18÷18+9×18÷9)×4]÷9

=[162-108]÷9

=6(天)

答略。

例2 一项工程,甲队单独做16天完成,乙队单独做20天完成。甲队先做7天,然后由甲、乙两队合做。甲、乙两队合做还要多少天才能完成?(适于六年级程度)

解:把这项工程的总工作量看做16×20份,则甲队每天做20份,乙队每天做16份。

甲队先做7天,完成的工作量是:

20×7=140(份)

甲队做7天后,剩下的工作量是:

16×20-140=180(份)

甲、乙两队合做,一天可以完成:

20+16=36(份)

甲、乙两队合做还需要的天数是:

180÷36=5(天)

答略。

例3 一个水池装有进、出水管各一个。单开进水管10分钟可将空池注满,单开出水管12分钟可将满池水放完。若两管齐开多少分钟可将空池注满?(适于六年级程度)

解:把注满全池水所用的时间看作10×12份,当进水管进12份的水量时,出水管可放出10份的水量,进出水相差的水量是:

12-10=2(份)

甲、乙两管齐开注满水池所用的时间是:

10×12÷2=60(分钟)

答:若两管齐开60分钟可将空池注满。

(五)根据时间差解工程问题

例1 师、徒二人共同加工一批零件,需要4小时完成。师傅单独加工这批零件需要5小时完成。师、徒二人共同加工完这批零件时,徒弟加工了30个。这批零件有多少个?(适于六年级程度)

解:从时间差考虑,师、徒共同加工完的时间与师傅单独加工完的时间相差5-4=1(小时)。这说明师傅1小时加工的零件数等于徒弟4小时加工的零件数。

所以,师傅5小时加工的零件就是这批零件的总数:

30×5=150(个)

答略。

例2 一份稿件需要打字,甲、乙两人合打10天可以完成。甲单独打15天可以完成。乙单独打需要几天完成?(适于六年级程度)

解:从时间差考虑,甲、乙两人合打完成与甲单独打完,两者的时间差是15-10=5(天),这说明甲5天的工作量相当于乙10天的工作量。

那么,甲15天的工作量,乙要工作:

10÷5×15=30(天)

答:乙单独打需要30天完成。

例3 一辆快车和慢车同时分别从A、B两站相对开出,经过12小时相遇。已知快车行完全程需要20小时。求两车相遇后慢车还要行多少小时才能到达A站?(适于六年级程度)

解:从时间差考虑,两车相遇与快车行完全程的时间差是20-12=8(小时)。这说明快车8小时行的路程相当于慢车12小时行的路程。那么快车行12小时的路程,慢车要行多长时间?也就是两车相遇后慢车还要行驶而到达A点的时间。

12÷8×12=18(小时)

答略。

第三十七讲、解流水问题的方法

流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此,又叫行船问题。在小学数学中涉及到的题目,一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是,水速在船逆行和顺行中的作用不同。

流水问题有如下两个基本公式:

顺水速度=船速+水速 (1)

逆水速度=船速-水速 (2)

这里,顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程;船速是指船本身的速度,也就是船在静水中单位时间里所行的路程;水速是指水在单位时间里流过的路程。

公式(1)表明,船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时,船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进,同时这艘船又在按着水的流动速度前进,因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。

公式(2)表明,船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。

根据加减互为逆运算的原理,由公式(1)可得:

水速=顺水速度-船速 (3)

船速=顺水速度-水速 (4)

由公式(2)可得:

水速=船速-逆水速度 (5)

船速=逆水速度+水速 (6)

这就是说,只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个,就可以求出第三个。

另外,已知某船的逆水速度和顺水速度,还可以求出船速和水速。因为顺水速度就是船速与水速之和,逆水速度就是船速与水速之差,根据和差问题的算法,可知:

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 (7)

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 (8)

*例1 一只渔船顺水行25千米,用了5小时,水流的速度是每小时1千米。此船在静水中的速度是多少?(适于高年级程度)

解:此船的顺水速度是:

25÷5=5(千米/小时)

因为“顺水速度=船速+水速”,所以,此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。

5-1=4(千米/小时)

综合算式:

25÷5-1=4(千米/小时)

答:此船在静水中每小时行4千米。

例2 一只渔船在静水中每小时航行4千米,逆水4小时航行12千米。水流的速度是每小时多少千米?(适于高年级程度)

解:此船在逆水中的速度是:

12÷4=3(千米/小时)

因为逆水速度=船速-水速,所以水速=船速-逆水速度,即:

4-3=1(千米/小时)

答:水流速度是每小时1千米。

*例3 一只船,顺水每小时行20千米,逆水每小时行12千米。这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少?(适于高年级程度)

解:因为船在静水中的速度=(顺水速度+逆水速度)÷2,所以,这只船在静水中的速度是:

(20+12)÷2=16(千米/小时)

因为水流的速度=(顺水速度-逆水速度)÷2,所以水流的速度是:

(20-12)÷2=4(千米/小时)

答略。

*例4 某船在静水中每小时行18千米,水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米?此船从乙地回到甲地需要多少小时?(适于高年级程度)

解:此船逆水航行的速度是:

18-2=16(千米/小时)

甲乙两地的路程是:

16×15=240(千米)

此船顺水航行的速度是:

18+2=20(千米/小时)

此船从乙地回到甲地需要的时间是:

240÷20=12(小时)

答略。

*例5 某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。此船从乙港返回甲港需要多少小时?(适于高年级程度)

解:此船顺水的速度是:

15+3=18(千米/小时)

甲乙两港之间的路程是:

18×8=144(千米)

此船逆水航行的速度是:

15-3=12(千米/小时)

此船从乙港返回甲港需要的时间是:

144÷12=12(小时)

综合算式:

(15+3)×8÷(15-3)

=144÷12

=12(小时)

答略。

*例6 甲、乙两个码头相距144千米,一艘汽艇在静水中每小时行20千米,水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时,由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时?(适于高年级程度)

解:顺水而行的时间是:

144÷(20+4)=6(小时)

逆水而行的时间是:

144÷(20-4)=9(小时)

答略。

*例7 一条大河,河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米,沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下,6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时?(适于高年级程度)

解:此船顺流而下的速度是:

260÷6.5=40(千米/小时)

此船在静水中的速度是:

40-8=32(千米/小时)

此船沿岸边逆水而行的速度是:

32-6=26(千米/小时)

此船沿岸边返回原地需要的时间是:

260÷26=10(小时)

综合算式:

260÷(260÷6.5-8-6)

=260÷(40-8-6)

=260÷26

=10(小时)

答略。

*例8 一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行,逆水行120千米用24小时。顺水行150千米需要多少小时?(适于高年级程度)

解:此船逆水航行的速度是:

120000÷24=5000(米/小时)

此船在静水中航行的速度是:

5000+2500=7500(米/小时)

此船顺水航行的速度是:

7500+2500=10000(米/小时)

顺水航行150千米需要的时间是:

150000÷10000=15(小时)

综合算式:

150000÷(120000÷24+2500×2)

=150000÷(5000+5000)

=150000÷10000

=15(小时)

答略。

*例9 一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时,逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度。(适于高年级程度)

解:此船顺水航行的速度是:

208÷8=26(千米/小时)

此船逆水航行的速度是:

208÷13=16(千米/小时)

由公式船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,可求出此船在静水中的速度是:

(26+16)÷2=21(千米/小时)

由公式水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,可求出水流的速度是:

(26-16)÷2=5(千米/小时)

答略。

*例10 A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时,乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时?(适于高年级程度)

解:甲船逆水航行的速度是:

180÷18=10(千米/小时)

甲船顺水航行的速度是:

180÷10=18(千米/小时)

根据水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,求出水流速度:

(18-10)÷2=4(千米/小时)

乙船逆水航行的速度是:

180÷15=12(千米/小时)

乙船顺水航行的速度是:

12+4×2=20(千米/小时)

乙船顺水行全程要用的时间是:

180÷20=9(小时)

综合算式:

180÷[180÷15+(180÷10-180÷18)÷2×3]

=180÷[12+(18-10)÷2×2]

=180÷[12+8]

=180÷20

=9(小时)

答略。

第三十八讲 解植树问题的方法

植树问题是研究植树地段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用题。植树应用题基本分为两类:沿路旁植树;沿周长植树。

沿路旁植树,因为首尾两端都要种一棵,所以植树棵数要比分成的段数多1;沿周长植树,因为首尾两端重合在一起,所以,植树的棵数和所分成的段数相等。

解答植树问题的基本方法是:

(1)沿路旁植树

棵数=全长÷间隔+1

间隔=全长÷(棵数-1)

全长=间隔×(棵数-1)

(2)沿周长植树

棵数=全长÷间隔

间隔=全长÷棵数

全长=间隔×棵数

(一)沿路旁植树

例1 有一段路长720米,在路的一边每间隔3米种1棵树。问这样可以种多少棵树?(适于三年级程度)

解:根据棵数=全长÷间隔+1的关系,可得:

720÷3+1

=240+1

=241(棵)

答:可以种241棵树。

例2 在某城市一条柏油马路上,从始发站到终点站共有14个车站,每两个车站间的平均距离是1200米。这条马路有多长?(适于三年级程度)

解:根据全长=间隔×(棵数-1)的关系,可得:

1200×(14-1)

=1200×13

=15600(米)

答:这条马路长15600米。例3 要在612米长的水渠的一岸植树154棵。每相邻两棵树间的距离是多少米?(适于三年级程度)

解:根据“间隔=全长÷(棵数-1)”的关系,可得:

612÷(154-1)

=612÷153

=4(米)

答:每相邻两棵树间的距离是4米。

例4 两座楼房之间相距60米,现要在两座楼房之间栽树9棵。每两棵树的间隔是多少米?(适于三年级程度)

解:因为在60米的两端是两座楼房,不能紧挨着楼房的墙根栽树,所以,把60米平均分成的段数要比树的棵数多1。由距离和段数便可求出两棵树之间的距离:

60÷(9+1)

=60÷10

=6(米)

答:每两棵树的间隔是6米。

*例5 原计划沿公路一旁埋电线杆301根,每相邻两根间的距离50米。实际上在公路一旁只埋了201根电线杆。求实际上每两根电线杆之间的距离。(适于四年级程度)

解:题中所埋电线杆的根数比段数多1,因此在计算段数时,要从根数减去1,才得段数。

50×(301-1)÷(201-1)

=50×300÷200

=75(米)

答:实际上每两根电线杆之间的距离是75米。

(二)沿周长植树

例1 在周长是480米的圆形养鱼池周围,每隔12米栽一棵树。一共可以栽多少棵树?(适于三年级程度)

解:根据棵数=全长÷间隔,可求出一共栽树的棵数:

480÷12=40(棵)

答:一共可以栽40棵树。

例2 一个圆形湖的周长是945米,沿着湖的周长栽了270棵树。求相邻两棵树间的距离是多少米?(适于三年级程度)

解:

945÷270=3.5(米)

答:相邻两棵树间的距离是3.5米。

例3 一块长方形场地,长300米,宽比长少50米。从这个长方形的一个角开始,沿长方形的周长栽树,每隔10米栽一棵。这块场地周围可以栽树多少棵?(适于四年级程度)

解:先求出长方形场地的周长,再求可栽树多少棵。

(300+300-50)×2÷10

=550×2÷10

=1100÷10

=110(棵)

答:可以栽树110棵。

*例4 有一个圆形花坛,绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花,再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株?可栽月季花多少株?每2株紧相邻的月季花相距多少米?(适于四年级程度)

解:根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数:

120÷6=20(株)

由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花,丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等,因此,可栽月季花:

2×20=40(株)

由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份,因此紧相邻2株月季花之间距离为:

6÷3=2(米)

答:可栽丁香花20株,可栽月季花40株,2株紧相邻月季花之间相距2米。 例5 在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为3米的圆周上,按弧长计算,每隔2米植一棵树,共植了314棵。水池的周长是多少米?(适于六年级程度)

解:先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长,这个圆的周长是:

2×314=628(米)

这个圆的直径是:

628÷3.14=200(米)

由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:

200-3×2=194(米)

圆形水池的周长是:

194×3.14=609.16(米)

综合算式:

(2×314÷3.14-3×2)×3.14

=(200-6)×3.14

=194×3.14

=609.16(米)

答略。

第三十九讲 解时钟问题的方法

研究时钟的长针(分针)与短针(时针)成直线、成直角与重合的问题,叫做时钟问题。

钟表的分针每小时走60个小格,而时针每小时只走5个小格;分针每分

出题中所要求的时间。

解题规律:

(1)求两针成直线所需要的时间,有:

(3)求两针重合所需要的时间,有:

求出所需要的时间后,再加上原来的时刻,就得出两针形成各种不同位置的时刻。

(一)求两针成直线所需要的时间

*例1 在7点钟到8点钟之间,分针与时针什么时候成直线?(适于高年级程度)

解:在7点钟的时候,分针在时针后面(图39-1):

5×7=35(格)

当分针与时针成直线时,两针的间隔是30格。因此,只需要分针追上时针:

35-30=5(格)

综合算式:

*例2 在4点与5点之间,分针与

时针什么时候成直线?(适于高年级程度)

解:4点钟时,分针在时针的后面(图39-2):

5×4=20(格)

当分针与时针成直线时,分针不仅要追上已落后的20格,还要超过时针30格,所以一共要追上:

20+30=50(格)

综合算式:

(二)求两针成直角所需要的时间

*例1 在6点到7点之间,时针与分针什么时候成直角?(适于高年级程度) 解:分针与时针成直角时,分针在时针前面15格或时针后面15格,因此,本题有两个答案。

(1)6点钟时,分针在时针后面(图39-3):

5×6=30(格)

因为两针成直角时,分针在时针后面15格,所以分针追上时针的格数是:

30-15=15(格)

综合算式:

(2)以上是两针第一次成直角的时刻。当两针第二次成直角时,分针在时针前面15格,所以分针不仅追上时针,而且要超过时针:

5×6+15=45(格)

综合算式:

*例2 在1点到2点之间,时针与分针在什么时候成直角?(适于高年级程度)

解:1点钟时,分针在时针后面:

5×1=5(格)

当分针与时针成直角时,两针间隔是15格,因此,分针不仅要追上时针5格,而且要超过时针15格,分针实际追上时针的格数是:

5+15=20(格)

综合算式:

当分针走到时针前面45格(也就是走到时针后面15格)时,两针也成直角。因此,所需时间是:

*例3 在11点与12点之间,时针与分针在什么时候成直角?(适于高年级程度)

解:在11点钟时,分针在时针后面:

5×11=55(格)

第一次两针成直角时,分针是在时针后面45格,因此,分针需要追上时针的格数是:

55-45=10(格)

综合算式:

(三)求两针重合所需要的时间

在11点到1点之间,两针除在12点整重合外,其他每一点钟之间都有一次重合。

*例1 3点钟到4点钟之间,分针与时针在什么时候重合?(适于高年级程度)

解:在3点钟时,分针在时针后面:

5×3=15(格)

*例2在4点与5点之间,两针什么时候重合?(适于高年级程度)

解:在4点钟时,分针在时针后面5×4格,分针只要追上时针4×5格,两针就重。

“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具——钟表,人们的生活就离不开它了。什么时间起床,什么时间吃饭,什么时间上学??全都依靠钟表,如果没有钟表,生活就乱套了。 时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知道,钟面的一周分为60格,分针每走60格,时针正好走5格,所以时针的速度是分针速度

垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同,并且都沿顺时针方向转动,所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。

例1 现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?

分析:如右图所示,2点分针指向12,时针指向2,分针在时针后面

例2 在7点与8点之间,时针与分针在什么时刻相互垂直?

分析与解:7点时分针指向12,时针指向7(见右图),分针在时针后 面5×7=35(格)。时针与分针垂直,即时针与分针相差15格,在7点与8点之间,有下图所示的两种情况:

(1)顺时针方向看,分针在时针后面15格。从7点开始,分针要比时针多走35-15=20(格),需

(2)顺时针方向看,分针在时针前面15格。从7点开始,分针要比时针多走35+15=50(格),需

例3 在3点与4点之间,时针和分针在什么时刻位于一条直线上?

分析与解:3点时分针指向12,时针指向3(见右图),分针在时针后 面5×3=15(格)。时针与分针在一条直线上,可分为时针与分针重合、时针与分针成180°角两种情况(见下图):

(1)时针与分针重合。从3点开始,分针要比时针多走15格,需15÷

(2)时针与分针成180°角。从3点开始,分针要比时针多走15+30

例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片,开始时分针与时针正好成一条直线,结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间?

分析与解:这道题可以利用例3的方法,先求出开始的时刻和结束的时刻,再求出播出时间。但在这里,我们可以简化一下。因为开始时两针成180°,结束时两针重合,分针比时针多转半圈,即多走30格,所以播出时间为

例1~例4都是利用追及问题的解法,先找出时针与分针所行的路程差是多少格,再除以它们的速度差求出准确时间。但是,有些时钟问题不太容易求出路程差,因此不能用追及问

题的方法求解。如果将追及问题变为相遇问题,那么有时反而更容易。

例5 3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等,并且在“3”的两边?

分析与解:假设3点以后,时针以相反的方向行走,时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题,两针所行距离和是15个格。

例6 小明做作业的时间不足1时,他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间?

分析与解:从左上图我们可以看出,时针从A走到B,分针从B走到A,两针一共走了一圈。换一个角度,问题可以化

为:时针、分针同时从B出发,反向而行,它们在A点相遇。两针所行的

时间是:

第四十讲 几何变换法

利用几何图形的变换解答几何题的方法叫做几何变换法。

在实际生产和生活中,几何形体往往不是以标准的形状出现,而是以比较复杂的组合图形出现,很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下,对图形进行适当的变换,就容易找出计算其面积或体积的方法。

(一)添辅助线法

有些组合图形按一般的思考方法好像已知条件不足,很难解答。如果在图形中添加适当的辅助线,就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。

*例1 求图40-1阴影部分的面积。(单位:平方米)(适于三年级程度)

解:图40-1中,右边两个部分的面积分别是20平方米和30平方米,所以可如图40-2那样添上三条辅助线,把整个长方形分成5等份。这样图中右边的五个小长方形的面积相等。同时,左边五个小长方形的面积也相等。左边每个小长方形的面积是:

25÷2=12.5(平方米)

所以,阴影部分的面积是:

12.5×3=37.5(平方米)

答略。

*例2 如图40-3,一个平行四边形被分成两个部分,它们的面积差是10平方厘米,高是5厘米。求EC的长。(单位:厘米)(适于五年级程度)

解:如图40-4,过E点作AB的平行线EF,则△AEF与△ABE是等底等高的三角形。所以,△AEF的面积与△ABE的面积相等。

小平行四边形EFDC的面积就是10平方厘米。

因为它的高是5厘米,所以,

EC=10÷5=2(厘米)

答:EC长2厘米。

*例3 如图40-5,已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数,求这个四边形的面积。(单位:厘米)(适于五年级程度)

解:这是一个不规则的四边形,无法直接计算它的面积。

如图40-6,把AD和BC两条线段分别延长,使它们相交于E点。这样,四边形ABCD的面积就可以转化为△ABE的面积与△DCE的面积之差。

在△ABE中,∠A是直角,∠B=45°,所以∠E=45°,即△ABE是等腰直角三角形。所以AB=AE=7(厘米),则△ABE的面积是:

7×7÷2=24.5(平方厘米)

在△DCE中,∠DCE是直角,∠E=45°,所以,∠CDE=45°,即△DCE是等腰直角三角形。所以,CD=CE=3厘米,则△DCE的面积是:

3×3÷2=4.5(平方厘米)

所以,四边形ABCD的面积是:

24.5-4.5=20(平方厘米)

答略。

(二)分割法

分割法是在一个复杂的几何图形中,添上一条或几条辅助线,把图形分割成若干个已学过的基本图形,然后分别计算出各图形的面积或体积,再将所得结果相加的解题方法。

例1 计算图40-7的面积。(单位:厘米)(适于五年级程度)

解:如图40-8,在图中添上一条辅助线,把图形分割为一个梯形和一个长方形,分别计算出它们的面积,再把两个面积相加。

[2+(8-4)]×(6-4)÷2+4×8

=6+32

=38(平方厘米)

答:图形的面积是38平方厘米。

例2 图40-9中,ABCD是长方形,AB=40厘米,BC=60厘米,E、F、G、H是各边的中点。求图中阴影部分的面积。(适于五年级程度)

解:如图40-10,在图中添加辅助线EG,使阴影部分被分割成为两个面积相等的三角形。先计算出一个三角形的面积,再把它的面积乘以2。

三角形的底是长方形的长,高是长方形的宽的一半。

60×(40÷2)÷2×2

=60×20

=1200(平方厘米)

答:阴影部分的面积是1200平方厘米。

*例3 求图40-11中各组合体的体积。(单位:厘米)(适于六年级程度)

解:如图40-12,把各组合体分割为几个基本形体,然后分别求出每个基本形体的体积,再用加法、减法算出各组合体的体积。

(三)割补法

在计算一些不规则的几何图形的面积时,把图形中凸出来的部分割下来,填补到相应的凹陷处,或较适当的位置,使图形组合成一个或几个规则的形状,再计算面积的解题方法叫做割补法。

例1 求图40-13阴影部分的面积。(单位:厘米)(适于六年级程度)

成了一个梯形如图40-14,这个梯形的面积就是图40-13中的阴影部分的面积。

答:阴影部分的面积是45平方厘米。

*例2 求图40-15中阴影部分的面积。(单位:米)(适于六年级程度)

16×16×2=512(平方米)

答:阴影部分的面积是512平方米。

*例3 图40-17中,ABCD是正方形,ED=DA=AF=2厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度)

解:经割补,把图40-17组合成图40-18。很容易看出,只要从正方形的面积中减去空白扇形的面积,便得到阴影部分的面积。

答:图中阴影部分的面积是2.43平方厘米。

(四)平移法

在看不出几何图形面积的计算方法时,通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离,使图形重新组合成可以看出计算方法的图形,从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。

例1 计算图40-19中阴影部分的周长。(单位:厘米)(适于六年级程度) 解:把图40-19中右边正方形中的阴影部分向左平移5厘米,图40-19中的阴影部分便转化为图40-20中的正方形。图40-20中阴影正方形的面积就是图40-19阴影部分的面积。

5×5=25(平方厘米)

答略。

*例2 求图40-21中阴影部分的周长。(单位:厘米)(适于三年级程度)

解:按图40-22箭头指示,把两条横向的线段向上平移到虚线处,再按图40-23箭头指示把垂直线段的一部分向右平移到虚线处,求图40-21阴影部分的周长便转化为求图40-24的周长和两条竖线长之和的问题了。

(5+4)×2+2×2

=9×2+4

=22(厘米)

答略。

*例3 求图40-25S形水泥弯路面的面积。(单位:米)(适于三年级程度)

解:把图40-25中水泥弯路面左边的甲部分向右平移2米,使S形水泥路面的两条边重合,图40-25便转化为图40-26,S形水泥路面的面积转化为图40-26中的阴影部分的面积。

S形水泥路的面积是:

30×2=60(平方米)

答略。

(五)旋转法

将看不出计算方法的图形的一部分以某一点为中心旋转适当角度,使图形重新组合成能看出计算方法的形状,从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。

*例1 计算图40-27阴影部分的面积。(单位:分米)(适于六年级程度)

图40-27便转化为图40-28。图40-28中梯形的面积就是图40-27中的阴影面积。

答略。

例2 图40-29中,小圆的半径是10厘米,中圆的半径是20厘米,大圆的半径是30厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度)

解:把图40-29中的小圆向逆时针方向旋转90度,把中环向顺时针方向旋转90度,图40-29便转化为图40-30。

很明显,图40-29阴影部分的面积就是整个大圆面积的四分之一。

答略。

*例3 计算图40-31的阴影面积。(单位:厘米)(适于六年级程度)

解:把图40-31右边的半圆以两个半圆的公共点为中心,顺时针方向旋转180度,与左边的半圆组成一个圆(图40-32)。

此时,两个空白的三角形组成一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形的底边等于圆的直径10厘米,高等于圆的半径5厘米,三角形的面积可求,接着也就可以求出图中阴影部分的面积了。

答略。

(六)扩倍法

扩倍法就是把组合图形扩大几倍后,先求扩大倍数后的面积或体积,然后再求原来的面积或体积。

*例1 求图40-33的面积。(单位:厘米)(适于三年级程度)

解:此题用分割法计算比较麻烦,而用扩倍法解答就容易多了。如图40-34那样把图40-33扩大为原来的2倍,就会看出图40-33的面积是:

(30+40)×30÷2=1050(平方厘米)

答略。

例2 计算图40-35木块的体积。(单位:分米)(适于五年级程度) 解:在图40-35的木块上再扣上同形状、同体积的木块,如图40-36。图40-35木块的体积就是图40-36长方体木块体积的一半儿。

3×10×(3+2)÷2

=150÷2

=75(立方分米)

答略。

(七)缩倍法

缩倍法与扩倍法正好相反,它是先将图形的面积缩小若干倍,计算出面积,再把面积扩大为原来那么大。

例1 图40-37中,每个小正方形的面积都是2平方厘米,求图中阴影部分的面积。(适于五年级程度)

解:将图40-37中小正方形的面积先缩小2倍,则每个小正方形的面积都是1平方厘米,边长都是1厘米。

从大长方形面积减去三个空白三角形的面积(即①、②、③三个部分的面积),得阴影部分面积。

3×5-3×3÷2-2×1÷2-5×2÷2

=15-4.5-1-5

=4.5(平方厘米)

把4.5平方厘米扩大2倍,得阴影部分的实际面积。

4.5×2=9(平方厘米)

答略。

例2 图40-38正方形的面积是18平方厘米。求图中阴影部分的面积。(适于六年级程度)

解:先将正方形面积缩小2倍,18平方厘米被转化为9平方厘米,则正方形的边长是3厘米。

先算出已经缩小的正方形中的阴影面积,然后再把它扩大2倍,就得到题中所求。

答略。

(八)剪拼法

有些几何图形比较抽象,不适于用割补、分割、平移等方法解答。如果把这类图形剪成若干部分,再重新组合、拼接,就有可能找到解答方法。

*例1 计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。(单位:厘米)(适于六年级程度)

解:沿各图中的虚线,把各图剪成上、下两部分,再把下半部分翻过来,以它的背面与上半部分的正面拼接,图40-39、图40-40、图40-41便转化为图40-42、图40-43、图40-44的形状。

很容易看出,图40-39的阴影面积等于大圆面积的一半。

图40-40的阴影面积等于从大圆面积减去小圆的面积。

图40-41的阴影面积等于从大圆面积减去中圆的面积,加上小圆的面积。

答略。

*例2 图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米,求(1)~(10)各图阴影部分的面积。(适于六年级程度)

解:作图40-46,并把图40-46中的(1)画在一张透明纸上剪成(2)那样的4个小正方形。如果画出两个(1),就可以剪出8个(2)那样的小正方形。

用(2)的4个小正方形,可以组合、拼接出图40-45中(1)~(5)中的任何一个图形。

这时可清楚地看出,图40-45中(1)~(5)每个图形的阴影部分的面积都与图40-46中(1)的阴影部分的面积相等,它们的面积都是:

2×2-3.14×1×1=0.86(平方厘米)

同理,用8个图40-46中(2)的小正方形可以组合、拼接出图40-45中(6)~

(10)的任何一个图形。

图40-45中(6)~(10)每个图形的阴影面积都是图40-46中(1)的阴影面积的2倍:

(2×2-3.14×12)×2=1.72(平方厘米)

答略。

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