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第四讲:三角形中位线

发布时间:2014-04-14 13:52:44  

三角形的中位线

第一部分:知识梳理

一、三角形中位线

1.(1)三角形的中位线的定义:连结三角形两边____________叫做三角形的中位线.

(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边,并且等于____________

2.△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,若DE=4,AD=3,AE=2,则△ABC的周长为______.

第二部分:例题与解题思路方法归纳

类型一证明线段的相等和倍分关系

【例题1】如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.请判断△PMN的形状,并说明理由.

【课堂训练题】

1.如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点.求证:△EFG是等腰三角形.

2.△ABC中E是AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD与点D,求证:DE=(BC﹣AC).

3.如图:AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线,AE分别交BD、BC于F、E,AC、BD相交于O,求证:OF=CE.

1

类型二证明角相等

【例题2】(2007?宿迁)如图,已知AE、BD相交于点C,AC=AD,BC=BE,F、G、H分别是DC、CE、AB的中点. 求证:(1)HF=HG;(2)∠FHG=∠DAC.

【课堂训练题】

1.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图所示).求证:∠DEF=∠HFE.

类型三判断两线平行

【例题3】如图,已知AD与BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于

H,CH交AD于F.

(1)求证:CD∥AB;

(2)求证:△BDE≌△ACE;

(3)若O为AB中点,求证:OF=BE.

练习:如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

(1)请判断四边形EFGH的形状?并说明为什么.

(2)若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?

(3)在(2)的条件下,若EF=2,求四边形ABCD的面积.

类型四证明线段的不等关系

2

【课堂训练题】

1.已知:四边形ABCD中,AB=2,CD=3,M、N分别是AD,BC的中点,则线段MN的取值范围是( )

A.1<MN<5 B.1<MN≤5 C.<MN< D.<MN≤

2.如图,M、N是四边形ABCD的边BC、AD的中点,且AB与CD不平行。

求证:MN<1(AB+

CD) 2

【例题4】(2013?常德压轴题)已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.

(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:MB∥CF;

(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;

(3)如图2,当∠BCE=45°时,求证:BM=ME.

第三部分:课内练习

2、(2013?雅安)如图,DE是△ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S△

CEF:S四边形BCED的值为( ) 3

3、(2013?绥化)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AD,AB的中点,EF交AC于点H,则的值为( )

两部分拼成一个四边形,所得四边形的周长是( )

A.8或23 B.10或4?23

C.10或23 D.8或4?23

5、(2013?烟台)如图,?

ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 15 .

6、(2013鞍山)如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3

E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是.

7、(2013菏泽)如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP= .

8、(13年北京4分、11)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为__________

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9.如图1,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N.

(1)试说明:FG=(AB+BC+AC);

(2)如图2,若BD、CE分别是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由;

(3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是 .

10、(2013?衢州)如图,在菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°.顺次连结菱形ABCD各边中点,可得四边形A1B1C1D1;顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点,可得四边形A2B2C2D2;顺次连结四边

形A2B2C2D2各边中点,可得四边形A3B3C3D3;按此规律继续下去….则四边形A2B2C2D2的周长是 ;四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 .

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