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2014年学而思杯数学详解

发布时间:2014-04-14 16:59:47  

2014年第四届全国学而思综合能力测评(学而思杯)

数学试卷详解(四年级)

一、填空题(每题5分,共20分)

1.定义:一天的“幸福指数”是12M-M2,其中M代表今天是星期几.例如,今天是4月7日星期一,那么今天的幸福指数就是12′1-12=11.那么,2014年劳动节(5月1日,星期四)的幸福指数是

【考点】定义新运算

【难度】☆

【答案】32

【分析】12′4-42=32

【点评】第一题很简单,但细心的小朋友会发现,在M=6的时候幸福指数最高,M=1时指数最低,周日和周五都比较高,应该比较符合孩子的幸福指数状态,周六最开心,周一最痛苦哈!

2.在右图“学而思培优”的标志中,共有

个四边形..

【考点】几何计数

【难度】☆

【答案】8

【分析】有5个大四边形和3个重叠的,共8个.

3.学而思在“五一劳动节”即将发行新版积分卡.如果旧版积分卡上共出现300位老师,新版积分卡上共出现400位老师,其中有150位老师在新旧两版积分卡中都出现了,那么,在新旧两版积分卡上共出现了

【考点】容斥原理

【难度】☆

【答案】550

【分析】300+400-150=550

【点评】学而思新版积分卡暑期马上上市了!

4.粗心的俊俊想要计算“1+2+3+4+5+6+7+8+9+10”的和,但他不慎把其中的一个数加了两次,结果得到了64.那么,俊俊把

【考点】等差数列

【难度】☆

【答案】9

【分析】如果把算式正确相加,结果应得55,但有一个数加了2次,也相当于多加了1次,所以多加的是64-55=9.加了两次.位老师.

二、填空题(每题6分,共24分)

5.盛盛在玩一种“跑酷”游戏,他在跑道上奔驰,并拾起跑道上的金币.他每跑1米,会得到8分,

每拾到一个金币,会得到15分.在一次游戏中,盛盛共跑了38米,得了2014分,那么,盛盛平均每米会拾到

【考点】平均数问题

【难度】☆☆

【答案】3

【分析】方法1:盛盛通过跑步会得到38′8=304分;通过金币得到了2014-304=1710分;

盛盛得到了1710?15=114个金币;平均每米得到114?38=3个金币.

方法2:盛盛每米会得到2014?38=53分(2014=2′19′53,所以这步可以口算哦!)

所以,盛盛每米会拾到(53-8)?15=3个.

6.在下面的乘法竖式中,如果方框内填的数字都不是1和4,那么将竖式补充完整后,最后一行的乘积是

.个金币.

【考点】乘法竖式数字迷

【难度】☆☆

【答案】94658

【分析】首先14′4=56,如下图,d的上下都是4,说明d是0或9,而由于d是b′4的个位,只能

是0;则ab只能是15或20,而1514′9=13626<14000,因此ab只能是20,对应c只能是7;2014′47=

94658.

7.请你在下面的5个方框中,不重复的填入1~5这5个数字,组成一个算式(不允许添加括号........)

要使得这个算式最后的计算结果是整数并且最大,这个最大的结果是

□+□-□×□÷□.

【考点】最值极端分析

【难度】☆☆☆

【答案】6

【分析】如果让结果尽可能大,应让加的数尽量大,减得数尽量小,在1~5中,只有4可以除以2,

其它都只能除以1;试验两种可能的较大情况:5+4-3′2?1=3;5+3-4′1?2=6;所以,6是最大值.

8.如下图,ABCD和ABEF都是长方形,如果长方形ABEF的面积是30平方厘米,那么阴影部分的面积是

平方厘米.

【考点】等积变形

【难度】☆☆☆

【答案】15

【分析】设内部交点为O,如下图,通过等积变形可知DFOD的面积和DFOC的面积相等,

则阴影部分变成了DAFC的面积,再通过等积变形可知DAFC的面积和DAFB的面积相等;而DAFB的面积为长方形ABEF的一半,即30?2=

15.

三、填空题(每题7分,共28分)

9.甲乙丙丁4个队进行单循环赛,每两个队都要比赛一场.每场比赛胜者得3分,负者不得分,平

局则双方各得1分.比赛全部结束后,发现甲队战胜了乙队,但甲队是最后一名(不与其它队并列),而乙队却是第一名(也不与其它队并列).那么,这4个队的得分按甲乙丙丁的顺序组成的四位数是

【难度】☆☆☆

【答案】3644

【分析】4队循环赛共比6场,总得分12~18之间;甲队战胜了乙队,所以至少3分,如果甲队得4

分,乙丙丁都最少是5分(因为甲不和其他人并列),5+5+5+4=19>18,所以不可能,所以甲只能是3分,他战胜了乙,输给了丙丁;同理,乙队已经输给了甲队,如果他再平一场,得分是4分,显然无法取得第一名(还不与其他队并列),所以乙得6分,战胜了丙丁;此时丙和丁都是1胜1负,由于不能和甲乙并列,它们之间只能打平,得分是4分,于是得到答案.

【点评】此题丙和丁从头至尾没有任何分别,但最后却能按顺序写出得分,可以得出结论:它们一定

是同分,这样可以很容易解出题目,这也是今后孩子做题的答题技巧!

10.甲、乙、丙3人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发,出发地和行走方向如图所示.已知,

出发15秒后乙和丙第一次相遇,又过了10秒,甲和乙第一次相遇.那么,再经过

甲第一次追上丙.秒,.【考点】体育比赛逻辑推理

【考点】环形跑道

【难度】☆☆☆

【答案】50

【分析】乙丙相遇时,和走了全程的一半,可以得到他们的速度和乙+丙=150?15=10;

甲乙相遇时,和走了整个一圈全程,可以得到他们的速度和甲+乙=300?(15+10)=12;通过上两式,可得到甲-丙=12-10=2,所以甲追上丙总共需要150?2=75(秒);

即再经过75-15-10=50(秒).

11.有些数,它们既可以表示成两个不同质数的和,也可以表示成两个不同质数的乘积,我们称这样

的数是“未来数”.那么,两位数中,最大的“未来数”是

【考点】质数合数,极端分析

【难度】☆☆☆

【答案】94

【分析】奇偶性分析,凡是奇数分解为2个质数的和,只能是2+一个奇质数;

凡是偶数分解为2个质数的乘积,只能是2×一个奇质数;

从99开始枚举;99=2+97正确;但99=3′3′11,所以无法拆乘2个质数乘积;

98=2′49直接排除;97=2+95直接排除;

96=2′48直接排除;95=2+93直接排除;

94=2′47正确;同时94=5+89;也可以拆成两个不同质数的和.

所以,本题答案是94.

12.A、B、C、D、E、F六个人相约去照相(所有人都可以负责摄影),安排如图所示.他们6人的身

高依次递增,A最矮,F最高.照相要求所有后排的人必须比所有前排的人高(摄影师身高不限),那么,共有种不同的安排方式.

【考点】加乘原理

【难度】☆☆☆

【答案】72

【分析】先从6人中选出1人做摄影师,共有6种选法;种方法;

剩余5人按身高从低到高排序:

排名前2的只能站在前排,但他们在前排可以调换顺序,共2种方法;

排名后3的只能站在后排,但他们在后排可以调换顺序,共3×2×1=6种方法;

总计6′2′6=72种方法.

四、填空题(每题8分,共32分)

13.有一个神奇的五位数,它能同时被1、3、5、7、9、11、13、15整除,却不能被2、4、6、8、10、

12、14、16中的任何一个数整除.那么,这个五位数是

【考点】整除特征

【难度】☆☆☆

【答案】45045

【分析】方法一:能被1、3、5、7、9、11、13、15整除,1无需考虑,考虑9就无需考虑3;考虑5

(即和9就无需考虑15;所以只需考虑5、7、9、11、13即可,最小是5′7′9′11′13=45045,

使5、7、9、11、13的最小公倍数);但不能被2整除,所以45045′2不行,如果′3就不是5位数了,所以答案只能是45045.

方法二:能同时被7、11、13整除,也就是能被1001整除,能被1001整除的5位数一定符合AB0AB的形式,又通过能被5整除但不能被2整除,得B=5;通过能被9整除,得A=4.

14.下图是一个正六边形,面积是360平方厘米,A、B、C、D分别是四条边的中点.那么,阴影部分的面积是

平方厘米..

【考点】几何图形分割

【难度】☆☆☆☆

【答案】210

【分析】显然,每个大阴影三角形的面积为360?6=60;

再将小阴影三角形所在的空白部分进行分割如下:显然,阴影在8个格子中相当于3个格子,则面积为60′2?8′3=45;

综上,阴影面积为60′2+45′2=210.

15.如图,一个小正四面体印章,每面刻着1至4中的一个数字,各面数字互不相同.小明用这个小

正四面体印章在右图的三角形格子内滚动,从任意一格以任意摆放方法开始,到任意一格结束,但要求每格恰好经过一次.那么,当滚动结束后,所有小三角形格中印下的数字之和共有

不同的取值.种

【考点】几何,立体图形与空间想象

【难度】☆☆☆☆

【答案】4【分析】研究下图所示的滚动路径:

c

aba

若以O点为三角形的顶点,那么共有这个顶点的3个相邻面滚动时一定依次出现,那么有对顶角的两个三角形上的数一定相同.

按这样的思路,枚举每条路径,发现除了中心三角形,都是3个1、3个2、3个3、3个4,和是相同的,都是30;但中心三角形上的数有4种取值,故总和有4种不同的取值(31、32、33、

34).

16.有12张卡牌,分别写着1~12,不同卡牌上的数互不相同.甲、乙、丙分别抓取其中的四张牌,

进行游戏.规则如下:

比赛分4轮,每轮三人各出一张牌(出过的牌不能再出),并计算三张牌的和,如果和比中间牌的3倍小,则出最小牌的人获胜,反之,则出最大牌的人获胜.如果和等于中间牌的3倍,则无人获胜.(例如:甲、乙、丙分别出的是2、4、1,则乙获胜).已知:

④四轮都有人获胜;甲四轮出牌顺序依次是3、4、8、1,结果只有前3轮获胜;乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌;乙、丙两人手中四张牌的和相等.那么,乙所拥有的四张牌的乘积是

【考点】逻辑推理

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】3150

【分析】①剩余8张牌的和是(1+2+?+12)-3-4-8-1=62,所以乙、丙的和都是31;

②观察2这张牌,如果乙有2,他一定第一轮出(题目条件3),但乙第一轮出2,甲的3是无法获胜的(因为丙没有1,所以他一定比3大,那么3是中间数无法获胜),所以2一定在丙手中;

③同理,还是2这张牌,如果它在第2轮,甲的4也无法获胜;如果它在第3轮,甲的8想获胜,剩余的1个数一定是3、4,但3、4都已出现,所以2也不能在第3轮,所以2一定是丙第4轮由丙出;

④如果丙还有5,那么丙的4个数最大,是2+5+11+12=30<31,所以5一定在乙手上,那么5就是乙最小的牌,5是在第一轮出的,如果甲的3想要获胜,丙只能出6;

⑤丙已经由2和6,丙的4个数最大是2+6+11+12=31,刚好,所以11和12只能是丙,那么乙的4个数就是5、7、9、10,乘积是5′7′9′10=3150..

五、解答题(每题8分,共16分)

17.计算:

(1)952-91′99

(2)4.7′8.4+9.4′19+4.7′3.6【考点】平方差公式;提取公因数【难度】☆☆

【答案】(1)16;(2)235

【分析】(1)原式=952-(95-4)×(95+4)

=952-(952-42)=16

(2)原式=4.7×8.4+4.7×38+4.7×36

=4.7×(8.4+38+3.6)=4.7×50=235

18.计算:

(1)12+1′2+22+2′3+32+??+92+9′10+102

(2)(201420132012-201220132014)?(20142013-20132014)【考点】平方和公式;平方差公式【难度】☆☆☆

【答案】(1)715;(2)20002

【分析】(1)原式=(12+22+……+102)+(1×2+2×3+……+9×10)

=10×11×21÷6+9×10×11÷3=385+330=715

(2)原式=(200000000-2)÷(10000-1)

=2×(10000+1)×(10000-1)÷(10000-1)=20002

……(4分)……(1分)……(2分)……(4分)……(1分)……(2分)

……(4分)……(4分)……(1分)……(2分)……(2分)

【附】17、18题共4道小题,如果没有任何过程,但答案正确,每道小题得2分;

,只要有至少1步过程,并且答案正确,得满分;每道小题不论用任何方法(死算也可)

如果答案错误,但过程部分正确,可按评分标准酌情得1~2分,但不会超过2分.

六、解答题(每题15分,共30分)

19.甲、乙两人平时喜欢散步.甲从A地出发,每走5分钟就要休息2分钟,需要50分钟走到B地.

乙从B地出发,每走4分钟就要休息1分钟,需要74分钟走到A地.已知,A、B两地的距离是3600米.

(1)如果甲不休息,走完全程需要多少分钟?

(2)有一天,甲、乙分别从A、B两地同时出发,相向而行(各自按先走后休息的方法走),经过

25分钟后,甲、乙还相距多少米?

(3)接(2)问,甲、乙继续行走,当两人第一次相遇时,甲从出发开始总共走了多少米?

【考点】行程走走停停

【难度】☆☆☆

【答案】(1)36;(2)500;(3)2160

【分析】(1)甲7分钟一个周期;50?7=7?1,5′7+1=36(分);

(2)甲的速度是3600?36=100(米/分);

;乙5分钟一个周期,74?5=14?4,14′4+4=60(分)

速度是3600?60=60(米/分);

,共100′19=1900(米);25分钟,25?7=3?4,甲实际走了3′5+4=19(分)

,共60′20=1200(米);25?5=5,乙实际走了4′5=20(分)

两人相距3600-1900-1200=500(米);

(3)剩余500米,第26分钟,甲乙均走,共行160米;

剩余340米,第27分钟,只有乙走,共行60米;

剩余280米,第28分钟,只有乙走,共行60米;

剩余220米,第29分钟,甲乙均走,共行160米;

剩余60米,第30分钟,只有甲走,这60米全部是由甲完成的;

甲总计走了1900+100+100+60=2160(米).

【附】每问5分,无任何过程,只有正确答案,每问可得3分;

答案正确,且有简要并且正确的推理过程,可得满分5分;答案不正确,每问酌情给分:

(1)问,有7分钟一周期,可得1分;有50÷7除法算式,可再加2分;

(2)问,计算出甲、乙的速度,可分别得1分;计算出甲、乙走的距离,可分别再得1分.

(3)问,有1分钟1分钟枚举的思路,可得2分.

20.把从1开始的自然数按照下图方式排列(下图只给出了这个数表的一部分).如果我们认为1在第

0行第0列,6在第上2行第0列,12在第0行第左2列,19在第下2行第右1列.请问:

(1)在第上2行第右3列的数是多少?

(2)自然数2014在第几行第几列?(要求写出方向)

(3)从1开始向上数100个数(1算作第1个,向后依次是2,6,14……),那么,这100个数的和是多少?

左左左0右右右123321列列列列列列列

3行

2行1行180行

1行2行3行【考点】数表

【难度】☆☆☆☆☆

【答案】(1)45;(2)第上5行第右28列;(3)646999

【分析】(1)用列举法,按规律继续写,很快得到45的答案;

(注:由于命题组失误,答题纸上的题目是上2行左3列,这样计算的答案是59,59也算作正确!)

——(深深自责中……)

(2)观察第0列从1向上的数,1、2、6、14、26、42……

从2开始,依次是+4,+8,+12,+16……

所以,按照2+(4+8+12+16+?)进行估算

即估算2+4′(1+2+3+?)?2014;

即1+2+3+??503,可得1+2+3+?+31=496;

即第上33行第0列的数是2+4′496=1986,从1986到2014每次都是向右下移动,

2014-1986=28,所以共移动28次,2014在第上5行第右28列;

(3)接(2)问规律,第100个数是2+4′(1+2+3+?+98)

第2个数至第100个数,每个数都会有一个打头的2,把它们都提到最前,可得到这100个数的和是1+2′99+4′[1+(1+2)+(1+2+3)+?+(1+2+?

+98)]

把中括号内的数写成一个三角形,可用“二踢脚”模型(平方和公式的推导)解决

中括号内等于(98+1+1)′(1+2+3+?+98)?3=161700

所以,这100个数的和是1+2′99+4′161700=646999.

【附】每问5分,无任何过程,只有正确答案,每问可得3分;

答案正确,且有简要并且正确的推理过程,可得满分5分;答案不正确,每问酌情给分:

(1)问,在答题纸上直接枚举,或者写有“通过枚举法可得”等类似字样,都可得满分;

(2)问,只要能够找到任何一个数列的规律,可得2分;(不论找到多少个数列规律,都最多

只得2分)

(3)问,写出第100个数的表示形式——2+4′(1+2+?+98),得2分.写出这100个数

的和的算式,可再加1分.

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