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人教版数学七年级竞赛教程之经验归纳法附答案

发布时间:2014-04-16 13:51:11  

经验归纳法

【知识精读】

1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如

①由 ( - 1)2 = 1 ,(- 1 )3 =- 1 ,(- 1 )4 = 1 ,??,

归纳出 - 1 的奇次幂是- 1,而- 1 的偶次幂 是 1 。

②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ),

2三位数从 100 到 999 共900个(9×10),

四位数有9×103=9000个(9×103),

????

归纳出n 位数共有9×10n-1(个)

③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42??

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)

【分类解析】

例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点?

解:两条直线只有一个交点, 第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1+2

第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得1+2+3

第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1+2+3+4

???

第n条直线和前n-1条直线都相交,增加了n-1个交点

由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1+2+3+??n-1(个),

这里n≥2,其和可表示为[1+(n+1)]×n?1n(n?1), 即个交点。 22

例2.符号n!表示正整数从1到n的連乘积,读作n的阶乘。例如

5!=1×2×3×4×5。试比较3n与(n+1)!的大小(n 是正整数)

解:当n =1时,3n=3, (n+1)!=1×2=2

n当n =2时,3=9, (n+1)!=1×2×3=6

当n =3时,3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24

当n =4时,3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120

当n =5时,3n=243, (n+1)!=6!=720 ??

猜想其结论是:当n=1,2,3时,3n>(n+1)!,当n>3时3n<(n+1)!。

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