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初中数学竞赛教程及练习之数的整除(三)附答案

发布时间:2014-04-16 13:51:12  

数的整除(三)

一、内容提要

在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中,分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题,本讲介绍应用“同余”方面的知识.

同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除,所得的余数相同时,称a, b关于模m 同余.记作a≡b(mod m).

如:8和15除以7同余1,记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.

∵2003=7×286+1,

∴2003≡1 (mod 7);

∵-7和6对于模13同余6(余数是非负数)

∴-7≡6(mod 13);

∵35和0除以5,余数都是0(即都能整除)

∴35≡0(mod 5).

用同余式判定数的整除

若a≡b(mod m), 则m|(a-b).

即a-b≡0(mod m)?m|(a-b).

例如:11≡25(mod 7)?7|(25-11); 或 7|(11-25).

∵25+35≡2+3≡0 (mod 5),

∴5|25+35.

同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)一二三

1.传递性: a?b(modm)?m).??a?c(modb?c(modm)?

2.a?b(modm),??a?c?b?d(modm);可加可乘性:???c?d(modm).??ac?bd(modm).

推论 可移性:a≡b+c (mod m)?(a-b)≡c(mod m).

可倍性:a≡b(mod m)?ka≡kb(mod m) (k为正整数).

可乘方:a≡b(mod m)? an≡bn(mod m) (n为正整数).

3.当d 是a, b, m的正公因数时, a≡b(mod m)?abm?(mod ).ddd

如:2是20,26,6的正公因数, 20≡26(mod 6)?10?13(mod 3).四根据抽屉原则:任给m+1个整数,其中至少有两个数对于模m同余.

即至少有两个,其差能被m 整除.

例如:任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个,它们的差能被4整除.

∵除以4的余数只有0,1,2,3四种.

∴5个数除以4至少有两个同余.

二、例题

例1. 已知:69,90,125除以正整数n有相同的余数.

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