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人教版数学七年级竞赛教程之乘法公式附答案

发布时间:2014-04-16 13:51:13  

乘法公式

【知识精读】

1. 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。

公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2. 基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

立方和(差)公式:(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b3

3.公式的推广:

① 多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)

(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5)

????

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

③ 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4

(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6

????

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律

在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数

-----(a+b)(a2n1-a2n2b+a2n3b2-?+ab2n2-b2n1)=a2n-b2n

---(a+b)(a2n-a2n1b+a2n2b2-?-ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1

类似地:

-----(a-b)(an1+an2b+an3b2+?+abn2+bn1)=an-bn

4. 公式的变形及其逆运算

由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

由公式的推广③可知:当n为正整数时

an-bn能被a-b整除,

a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n-b2n能被a+b及a-b整除。

【分类解析】

例1. 己知x+y=a xy=b

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