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初中数学竞赛教程及练习之同一法附答案

发布时间:2014-04-16 13:51:14  

同一法

一、内容提要

1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理,当一个命题不易证明时,釆取证明它的逆命题。

2. 同一法则的定义是:如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时,那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。

互逆两个命题一般是不等价的。例如

原命题:福建是中国的一个省 (真命题)

逆命题:中国的一个省是福建 (假命题)

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时,则它们是等效的。例如

原命题:中国的首都是北京 (真命题)

逆命题:北京是中国的首都 (真命题)

因为世界上只有一个中国,而且中国只有一个首都,所以互逆的两个命题是等效的。又如原命题:等腰三角形顶角平分线是底边上的高。(真命题)

逆命题:等腰三角形底边上的高是顶角平分线。(真命题)

因为在等腰三角形这一前提下,顶角平分线和底边上的高都是唯一的,所以互逆的两个命题是等效的。

3. 釆用同一法证明的步骤:如果一个命题直接证明有困难,而它与逆命题符合同一法则,则可釆用同一法,证明它的逆命题,其步骤是:

作出符合命题结论的图形(即假设命题的结论成立)

证明这一图形与命题题设相同(即证明它符合原题设)

二、例题

求证三角形的三条中线相交于一点

已知:△ABC中,AD,BE,CF都是中线

求证:AD,BE,CF相交于同一点

分析:在证明AD和BE相交于点G之后,本应再证明CF经过点G,这要证明三点共线,

,,直接证明不易,我们釆用同一法:连结并延长CG交AB于F,证明CF就是第三条中线

,,(即证明AF=FB)①②例1.

?证明:∵∠DAB+∠EBA<180

∴AD和BE相交,设交点为G , 连结并延长CG交AB于F

,连结DE交CF于M

∵DE∥AB ∴

∴MEBF?MDMDCM==, 即=AF?BF?CF?AF?MEAF?MDMEMDMG==, 即=????AFGFBFBFMEBF?AF?,,,=, ∴AF=BF,AF是BC边上的中线,AF?BF?

∵BC边上的中线只有一条, ∴AF和AD是同一条中线

∴AD,BE,CF相交于一点G。

例2.已知:△ABC中,D在BC上,AB2-AC2=BD2-DC2,

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