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初中数学竞赛教程及练习之完全平方数和完全平方式附答案

发布时间:2014-04-17 14:14:45  

完全平方数和完全平方式

一、内容提要

一定义

如果一个数恰好是某个有理数的平方,那么这个数叫做完全平方数.1.

例如0,1,0.36,4,121都是完全平方数.25

2.在整数集合里,完全平方数,都是整数的平方.如果一个整式是另一个整式的平方,那么这个整式叫做完全平方式.

如果没有特别说明,完全平方式是在实数范围内研究的.

例如:

在有理数范围 m2, (a+b-2)2, 4x2-12x+9, 144都是完全平方式.

在实数范围 (a+3)2, x2+22x+2, 3也都是完全平方式.

二. 整数集合里,完全平方数的性质和判定

1. 整数的平方的末位数字只能是0,1,4,5,6,9.所以凡是末位数字为2,3,7,8的整数必不是平方数.

2. 若n是完全平方数,且能被质数p整除, 则它也能被p2整除..

若整数m能被q整除,但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.

例如:3402能被2整除,但不能被4整除,所以3402不是完全平方数.

又如:444能被3整除,但不能被9整除,所以444不是完全平方数.

三. 完全平方式的性质和判定

在实数范围内

如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式,则b2-4ac=0且a>0;

如果 b2-4ac=0且a>0;则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式.

在有理数范围内

当b2-4ac=0且a是有理数的平方时,ax2+bx+c是完全平方式.

四. 完全平方式和完全平方数的关系

1. 完全平方式(ax+b)2 中

当a, b都是有理数时, x取任何有理数,其值都是完全平方数;

当a, b中有一个无理数时,则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.

某些代数式虽不是完全平方式,但当字母取特殊值时,其值可能是完全平方数. 例如: n2+9, 当n=4时,其值是完全平方数.

所以,完全平方式和完全平方数,既有联系又有区别.

五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系

在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中

若b2-4ac是完全平方数,则方程有有理数根;

若方程有有理数根,则b2-4ac是完全平方数.

在整系数方程x2+px+q=0中

若p2-4q是整数的平方,则方程有两个整数根;

若方程有两个整数根,则p2-4q是整数的平方.2.1.①②2.①

二、例题

例1. 求证:五个连续整数的平方和不是完全平方数.

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