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初中数学竞赛教程及练习之图象法附答案

发布时间:2014-04-17 14:14:53  

图象法

1.一、内容提要在第45讲(一元二次方程)中,根据根的判别式和根与系数的关系,介绍了存在实数

根,有理数根,整数根的充分必要条件.

要讨论两个实数根的符号,则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中,2.

①?a?0有两个实数根的充分必要条件是?

???0????0? c?b②有两个正实数根的充要条件是?-?0(a≠0包含在?0之中)a?a

?c?0?a?

③有一正一负实数根的充要条件是c?0(a≠0,△>0均已包含在内)a?c?0??a④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???b?0??a

3.在较小区间内讨论实数根,则常利用图象来建立不等式组.

一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解,也可借助图象.

二、例题

例1..已知:方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实数根x1,x2满足:0<x1<1<x2<2.

求:k的取值范围.

解:先画出二次函数y=7x2-(k+13)x+k2-k-2的图象的略图.

根据图象的开口方向是向上,它与横轴有两个交点,这两点在点(1,0)的两旁,

的大体位置是:4.

分析图象 可知

当x=0 时,y>0, 记作f(0)>0;

当x=1时,y<0, f(1)<0;

当x=2时,y>0, f(2)>0.

?k2?k?2?0;

?2?得不等式组 ??(k?13)?k?k?2?0;

??2(k?13)?k2?k?2?0.??1

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