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初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑻

发布时间:2013-09-26 16:01:03  

初一数学竞赛讲座

第8讲 列方程解应用题

在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程(或方程组),使问题得以解决。所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解。

列方程解应用题的一般步骤是:审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答。其中列方程是关键的一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题

分析:欲求这个六位数,只要求出五位数abcde?x就可以了。按题意,这

1。 个六位数的3倍等于abcde

1?10x?1,解:设五位数abcde?x,则六位数1abcde?105?x,六位数abcde

从而有

3(105+x)=10x+1,

x=42857。

答:这个六位数为142857。

说明:这一解法的关键有两点: 1; ⑴抓住相等关系:六位数1abcde的3倍等于六位数abcde

1用含x的数学式子表示出来,⑵设未知数x:将六位数1abcde与六位数abcde

这里根据题目的特点,采用“整体”设元的方法很有特色。

(1)是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系;(2)是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此,要提高列方程解应用题的能力,就应在这两方面下功夫。

例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒。问:队伍有多长?

分析:这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长;通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了(650-x)秒,于是不难列方程。

解:设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得

2.6x-1.4x=2.6(650-x)+1.4(650-x)。

解得x=500。推知队伍长为:(2.6-1.4)×500=600(米)。

答:队伍长为600米。

1

说明:在设未知数时,有两种办法:一种是设直接未知数,求什么、设什么;另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些。 例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?

分析:本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/时=1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)×22或(x-3)×26,由此不难列出方程。

解:设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得

(x-1)×22=(x-3)×26。

解得x=14。所以火车的车身长为:(14-1)×22=286(米)。

答:这列火车的车身总长为286米。

例4 如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲

从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。当乙

第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?

分析:这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追

及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题, 根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。

解:设追上甲时乙走了x分,则甲在乙前方3×90=270(米)。依题意

故有:72x=65x+270 270解得:x? 7

2701在这段时间内乙走了:72??2777(米) 77

由于正方形边长为90米,共四条边,故由

可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。

答:当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。

例5 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时。问:甲、乙两港相距多少千米?

分析:这是流水中的行程问题:

顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度。

解答本题的关键是要先求出水流速度。

解:设甲、乙两港相距x千米,原来水流速度为a千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为2∶1,即(8-a)∶(8+a)=1∶2,

再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时,则有

2

解得x=20。

答:甲、乙两港相距20千米。

例6 某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站?

11523分析:把150人分三批,每批50人,均要在115分钟即(时)内?6012

赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同。设每人步行x时,乘车23(x)时。列出方程,解出x,便容易安排了,不过要计算一下客车能否在11512

分钟完成。

解:把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,车速为36千米/时。设每批师生步行用x时,则

解得x=1.5(时),即每人步行90分,乘车25分。三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A点,下车步行;客车从A立即返回,在B点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,又在C点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站。

如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢?必须计算。

25255第一批人到A点,客车已行36?(千米),第二批人已步行4×?15?60603

540(千米),这时客车返回与第二批人步行共同行完15??(千米),需33

40

?1(时),客车与第二批人相遇,就是说客车第一次返回的时间是2036?43

分,同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分,所以当客车与第三批人相遇时,客车已用25×2+20×2=90(分),还有115-90=25(分),正好可把第三批人按时送到。

因此可以按上述方法安排。

说明:列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人 3

正巧可乘车25分,按时到达。但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地。

二、引入参数列方程解应用题

对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。

例7 某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?

分析:此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。

解:设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得

由①②,得

将③代入①,得

说明:此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。

例8 整片牧场上的草长得一样密,一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?

分析:本题中牧场原有草量是多少?每天能生长草量多少?每头牛一天吃草量多少?若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。若能消去a,b,c,便可解决问题。

解:设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有

4

②-①,得

36b=120C。 ④

③-②,得

96xc=1800c+36b。 ⑤

将④代入⑤,得

96xc=1800c+120c。

解得x=20。

答:有20头牛。

例9 从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需91时,从乙地到甲地需7时。问:甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙2

地须行驶多少千米的上坡路?

解:从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得

①+②,得

将y=210-x代入①式,得

解得x=140。

答:甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。

三、列不定方程解应用题

有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解。

例10 六(1)班举行一次数学测验,采用5级计分制(5分最高,4分次之,以此类推)。男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验?

5

解:设该班有x个男生和y个女生,于是有:4x+3.25y=3.6(x+y)

815 化简后得8x=7y。从而全班共有学生:x?x?x 77

15 在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以x?45 7

推知x=21,y=24。

答:该班有21个男生和24个女生。

例11 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。问:小明至多套中小鸡几次?

解:设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。根据得61分可列方程:9x+5y+2(10-x-y)=61,

化简后得7x=41-3y。

显然y越小,x越大。将y=1代入得7x=38,无整数解;若y=2,7x=35,解得x=5。

答:小明至多套中小鸡5次。

例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子)。问:7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服? 分析:不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产。

我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多。

一般情况,设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为a1;类b1

似的,B组每天缝制上衣与裤子数量的比为a2aa。若1>2,则应在安排A组尽b2b1b2

量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。这是因为,若安排A组做m条裤子,则在这段时间内可做a1m件上衣;这些上衣若安排B组做,要b1

a1

amamamb用1天时间。在这段时间内B组可做2b2条裤子,由于1b2?1?m,2b1a2b1a2b1a2

b2

因此A组尽量多做上衣,B组尽量多做裤子。

6

解:甲、乙、丙、丁4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为897,,,10121166897,由于>>>,所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率高,故这77101211

7天全安排这两组生产单一产品。

设甲组生产上衣x天,生产裤子(7-x)天,乙组生产上衣y天,生产裤子(7-y)天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7+8x+9y(件)和11×7+10(7-x)+12(7-y)(条)。依题意,得

42+8x+9y=77+70-10x+84-12y,

令u=42+8x+9y,则

显然x越大,u越大。故当x=7时,u取最大值125,此时y的值为3。 答:安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套。

说明:本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。本题求套数最多,实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。

练习8

1.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次。问:乙跑完一圈用多少秒?

2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程跑多少秒?

3.如右图,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相

邻的两个顶点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走

50米,乙每分钟走44米,求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次

走在正方形的同一条边上(不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情

形)。

4.农忙假,一组学生下乡帮郊区农民收割水稻,他们被分配到甲、乙两块稻田去,甲稻田面积是乙稻田面积的2倍。前半小时,全队在甲田;后半小时一半人在甲田,一半人在乙田。割了1时,割完了甲田的水稻,乙田还剩下一小块未割,剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。问:这组学生有几人?

5.若货价降低8%,而售出价不变,则利润(按进货价而定)可由目前的P%增加到(P+10)%,求P。

6.甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。

7.某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种,快车的车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站。每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出40分钟后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点。问:快车从起点到终点共需用多少时间?

7

8.甲车以160千米/时的速度,乙车以20千米/时的速度,在长为210千米

1的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车1次,甲车减速而乙3

1车则增速。问:在两车的速度恰好相等的时刻,它们分别行驶了多少千米? 3

练习8答案

1.24秒。

2.44秒。

推知小明前40秒跑了5×40=200(米),后40秒跑了4×40=160(米)。因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的,其余160米是以4米/秒的速度行进的,所以,小明后一半路程共用20÷5+160÷4=44(秒)。

3.34分。提示:仿例4。

4.8人。

解:设学生共x人,甲田面积为2a,乙田面积为a,则

解出x=8。 5.15。 解:设原进货价为x,则下降8%后的进价为0.92x,依题意有 x(1+0.01P)=0.92x[1+0.01(P+10)], 解得P=15。

6.4。

解:设甲所得的商和余数分别为x和y,乙所得的商为z,则乙所得的余数为13-x。依题意得8x+y=9z+(13-x),即9(x-z)=13-y,推知13-y是9的倍数。因为y是被

8除的余数,所以只能在0至7之间,所以y=4。

7.68分。

S解:设起点到终点的路程为S,慢车车速为V,则慢车行驶的时间为,快V

S5SS

5S车行驶的时间为。依题意得:?30?40???3 1.2V6VV6V

共需65+3=68(分)。

8.940km,310km。

1解:在甲车第一次追上乙车的那一时刻,甲车的速度为160(1-),乙车3

1的速度为20(1+)。仿此推理可知,设甲车在第n次追上乙车的时刻,两车速3

度相等,则应有

8

所以n=3。

设甲车第1次追上乙车用了t1时。因为甲比乙车多跑1圈,所以有:

设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时,仿上可知:

设甲车从第2次追上乙车到第3次追上乙车用了t3时,仿上可知t3?从而甲行驶了:

乙车行驶了:

189时。 32

9

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