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初中数学竞赛教程及练习之整数的一种分类附答案

发布时间:2014-04-19 14:07:00  

整数的一种分类

一、内容提要

余数的定义:在等式A=mB+r中,如果A、B是整数,m是正整数,

r为小于m的非负整数,那么我们称r是A 除以m的余数。

即:在整数集合中 被除数=除数×商+余数 (0≤余数<除数)

例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1

(∵-1=5(-1)+4。 -9=5(-2)+1。)

显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。

整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1} (k为整数)

m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}.

或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。

m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4}

或{5k},{5k±1},{5k±2}, 其中5k-2表示除以5余3。

余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。举例如下:

①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 (余数1+1=2)

②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 (余数1×3=3)

③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 (余数22=4)

以上等式可叙述为:

两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。

两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。

如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是

4或9。

余数的乘方,包括一切正整数次幂。

如:∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26=64)

运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。....①②③.

二、例题

例1. 今天是星期日,99天后是星期几?

分析:一星期是7天,选用模m=7, 求99除以7的余数

解:99=(7+2)9,它的余数与29的余数相同,

29=(23)3=83=(7+1)3它的余数与13相同,

∴99天后是星期一。

又解:设{A}表示A除以7的余数,

{99}={(7+2)9}={29}={83}={(7+1)3}={13}=1

例2. 设n为正整数,求43 n+1 除以9的余数。

分析:设法把幂的底数化为9k+r形式

解:43 n+1=4×43n=4×(43)n=4×(64)n=4×(9×7+1)n

∵(9×7+1)n除以9的余数是1n=1

∴43 n+1 除以9的余数是4。

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