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3月12日思考题

发布时间:2014-04-19 14:17:18  

思考题:

1. 请叙述二元实函数偏导数连续,可微,偏导数存在,连续之间的关系,并给出相应的证明和反例。

2. 请举出两个在复平面上处处连续,处处不可导的复变函数的例子。举出一个在定义域内处处连续,处处不可导的一元实函数的例子。

3. 证明:复变函数在有界闭区域上解析等价于函数在闭区域上的每一点都解析。

偏导数存在且连续

?

1.解:二元实函数之间的关系式:可微?连续

?

偏导数存在,可以看出,

函数连续与偏导数存在且连续无关,与偏导数存在也无关,函数连续不能保证函数可微,偏导数存在也不能保证函数可微,函数可微,不能保证偏导数存在且连续。

证:偏导数存在且连续?函数可微

我们把全增量?z写作?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?[f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0??y)]?[f(x0,y0??y)?f(x0,y0)](1),在第一个括号里,它是函数f(x,y0??y)关于x的偏增量,在第二个括号则是函数f(x0,y)关于y的偏增量,对它们分别用一元函数的拉格朗日定理,得?z?fx(x0??1?x,y0??y)?x?fy(x0,y0??2?y)?y 0??1,?2?1.由于fx,fy

(x0,y0)连续,因此有fx(x0??1?x,y0??y)?在点fx(x0,y0)?a,(2)

fy(x0,y0??2?y)?fy(x0,y0)??(3),其中,当(?x,?y)?(0,0)时,将(2)

式(3)式带入(1)式中,得?z?

(x0,y0)可微。 可知函数f在点

fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?a?x???y,

可微?偏导数存在

?

函数

f

在(x0,y0)处可微,即

?z?A?x?B?y?o(?)

。其中

A?fx(x0,y0),B?fy(x0,y0),因此,函数f在点(x0,y0)的全微分又可写在区域D上每一点(x,y)

fx(x,y)dx?fy(x,y)dy.

成dz|(x,y)?

fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy.若函数f

都可微,且f在区域D上的全微分为df(x,y)?

(4),故函数的偏导数存在,(4)式即为函数的偏导数。 可微?函数连续

?

函数

f

可微,有定义可知,当

(?x,?y)?(0,0)

时,

|f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)|?|A?x?B?y?o(?)|<?,对于???0,所以由

函数连续的定义可知,函数f连续.

反例:(1)偏导数存在且连续不是可微的必要条件

f(x,y)?x

lim

(x,y)?(0,0)

xy

2

2

?y

0(x2?y2?0)

(x2?y2?0)

2

lim2???0?sin

(x2?y2)sin

1?x??y

2

1

?

?0?f(0,0)

1x?y

2

2

因此

xx?y

2

2

f

在点(0,0)处

1x?y

2

2

连续,当x2?y2?0时,fx(x,y)?2xsin当x2?y2?0,fx(x,y)?lim?x?0

lim

(x,y)?(0,0)

?cos

f(0??x,0)?f(0,0)lim1

??x?0?xsin?0,但由于

?x?x

xx?y

2

2

xsin

1x?y

2

2

?0,而lim(x,y)?(0,0)

cos

1x?y

2

2

不存在,可考察

y?x的情况,因此当(x,y)?(0,0)时,fx(x,y)的极限不存在,从而

fx(x,y)在点不连续,同理可证fy(x,y)在(0,0)处不连续,然而 (0,0)

lim

(?x,?y)?(0,0)?x2??y2?x??y22sin1?x??y22?0,从而,f在处可微. (0,0)

(2)偏导数存在不是可微的充分条件 x2?y2f(x,y)?例:,x2?y2?0xy,x2?y2?0,

?fx(0,0)?lim

?x?0f(?x,0)?f(0,0)lim0?0??x?0?0,同理可得fy(0,0)?0,若函?x?x

数f在原点可微

?x?y

?x2??y2,,而 则?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?

?z?dzlim

??0??lim

??0?x?y1,所以上述极限不存在,因而函数在原??x2??y22

点不可微.

(3)连续不能推出可微 例:f(x,y)?x2?y2(圆锥)在原点连续,但在原点不可微,?fx(x,y)?x

x?y22,所以,f在原点偏导数不存在,故f在原点不

可微。

(4)偏导数存在不能推出函数连续 例:f(x,y)?xy

x?y

0,x2?y2?0,x2?y2?0,因为

续,但却存在偏导数fx(0,0)?lim

?x?0xy1,故f(x,y)在原点不连?x2?y220?0?0,fy(0,0)?0 ?x

(5)连续不能推出偏导数存在 同(3),圆锥f(x,y)?

在。 x2?y2在原点连续,但在原点偏导数不存

2.解:例如:f(z)?z,由书上例2.1可知f(z)在复平面内处处连续,但处处不可导。

或f(z)?2(x?y)?i(x?y),因为u(x,y)?2x?2y,v(x,y)?x?y在xy平面上连续,所以f(z)_在复平面上处处连续。

?u?u?v?v?(x,y)??2,?2;?1,?1;?x?y?x?y

?u?v?u?v??,??; ?x?y?y?x

?f(z)在复平面内处处不可导;

在定义域内处处连续,处处不可导的一元实函数例子:

3?f(x)??acos(b?x),其中a?1,b?2Z?1,(z?R),且ab?1?2n?0?nn

3.

?函数f(z)在有界闭区域D上解析

?函数f(z)在有界闭区域D上每点都可导

??z0?D,有f(z)在U(?z0)上可导

?f(z)在z0处解析,由z0的任意性,

可知,函数f(z)在闭区域内每点都解析

若函数f(z)在闭区域内每点都解析

即函数f(z)在闭区域内每点都可导

所以函数在有界闭区域内解析

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