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初中数学竞赛初赛试卷及答案201305

发布时间:2014-04-20 14:20:05  

初中数学竞赛初赛试卷

一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把正确的答案的字母代号填写括号内.

1.若m为实数,则代数式m+m的值一定是( ).

A、正数 B、0 C、负数 D、非负数

2.如图1所示,是两架处在平衡状态的天平,那么,对于a、b、c三种物体的重量,下列判断正确的是( ).

A、c>a B、a<b C、a<c D、b<c

3.如图2,点C是∠PAQ的平分线上一点,点B、B′分别在边AP、AQ上,如果再添加一个条件,即可推出AB=AB′,那么该条件不可以是( ).

A、BB′⊥AC B、CB=CB′ C、∠ACB=∠ACB′ D、∠ABC=∠AB′C

1 图2

4.图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形

2的两条直角边长分别为a、b,则(a+b)的值是( ).

A、13 B、19 C、25 D、169

x+1=0的一个根,则代数式 5.已知m是方程x-2006

2006m-2005m+2+3的值等于( ). m+122图3

A、2005 B、2006 C、2007 D、.2008

6.将一段72cm长的绳子,从一端开始每3cm作一记号,每4cm也作一记号,然后从有记号的地方剪断,则这段绳子共被剪成的段数为( ).

A、37 B、36 C、35 D、34

7.某旅游团92人在快餐店就餐,该店备有9种菜,每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9(元),旅游团领队交代:每人可选不同的菜,但金额都须正好10元,且每一种菜最多只能买一份,这样,该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中,至少有一个方案的人数不少于( ).

A、9人 B、10人 C、11人 D、12人

8.如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图,则这立体图形中小正方体共有( )块.

A、9 B、10 C、11 D、

12

1

9.如图5,将△ABC沿着它的中位线DE折叠后,点A落到点A′,若∠C=120,∠?A=26,则∠A′DB的度数是( ). ???? A、120 B、112 C、110 D、108

10.方程2x-x=2?2的正根的个数是( ). x

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

二、填空题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分)

11.若[x]表示不超过x的最大整数,如[3.2]=3,[-3.7]=-4,

[0.7]=0等,则+3[-p]=_________ 12.在直径为4cm的⊙O中,长度为23cm的弦BC所对的圆周角的度数

为 .

13.如图6,电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡,闭合开关D或 同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光,那么随机闭

合其中两个开关,能使小灯泡发光的概率为 .

14.如图7,在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC的

中点,AD=2,则tan∠BAD = __________.

15.若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同,

如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕;现改变装卸

方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,

每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕,且最后参加的一个人 装卸的时间是第一个人的1,则按改变的方式装卸, 4

自始至终共需时间 小时.

16.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手所走的路程y(千米)随时间x(分钟)变化的图象(全程)分别用图8中的实线(O→A→B→C)与虚线(OD)表示,那么,在本次比赛过程中,乙领先甲时的x的取值范围是 .

17.已知a<3,b>3,且a+b=k-1,

ab=3,则k的最小整数值是_____________.

3x+y-z=50, 18.若x+y+z=30,

且x、y、z均为非负数,则M=5x+4y+2z

的最大值为________.

三、解答题(本大题共2小题,每小题15分,满分30分) ?19.已知在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角

2

板的直角顶点置于AB的中点O,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0?<α<90?),旋转后,直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分(如图所示).那么,在上述旋转过程中:

(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系?四边形CHOK的面积是否发生变化?证明你发现的结论;

(2)连接HK,设BH=x,

①当△CKH的面积为2时,求出x的值; 3

②试问△OKH的面积是否存在最小值,若存在,求出此时x的值,若不存在, 请说明理由.

20.某农机租赁公司共有50台收割机,其中甲型20台、乙型30台,现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割水稻,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该

3

参考答案

一、选择题:

1、D;2、A;3、B;4、C;5、D;6、B;7、C;8、A;9、B;10、A.

1.提示:若m≥0,则|m|+m=2m≥0;若m<0,则|m|+m=-m+m=0,故选D;

2.提示:由左天平知a>b,由右天平知b>c,∴a>c故选A;

3.提示:由已知条件和选项B不能保证△ACB≌△ACB′,从而无法推出AB=AB′,故选B;

2222224.提示:依题意知(a-b)=1,∴a-2ab+ b=1,又∵a+ b=13,∴2ab=12,∴(a+b)=a+2ab+

2b=13+12=25,故选C;

2225.由已知条件得m-2006m+1=0,∴m-2005m= m-1,m+1= 2006m,于是原式=m-200612006m?mm2?m+11++3=-1++3= +3=+3=3005+3=2008,故选D; 2006mmmm

6.提示:每隔3cm剪一刀共剪72÷3-1=24-1=23(刀),每隔4cm剪一刀, 共剪72÷4-1=17(刀),所以应共剪23+17=40(刀),但其中重复位置的刀数为: 72÷12-1=5(刀),因此互不重复的刀数为40-5=35(刀),所以72cm长的绳子 按要求被剪的段数为35+1=36(段),故选B,

7.提示:因为每份菜单价为别为1、2、3、4、5、6、7、8、9(元),共9种菜,所有符合要求的购菜方案为:1+9,2+8,3+7,4+6,1+2+7,1+3+6,1+4+5,2+3+5,1+2+3+4,共9种,又共有92人就餐,∴92÷9=10…余2,故选C;

8.提示:从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体,

各位置上小正方体的个数如图所示,故选A;

9.提示:分别延长BD,CE相交,则交点即为点A,由三角形

中位线的性质知DE∥BC,∴∠ADE=∠B=180°-∠C-∠A

=180°-120°-26°=34°,又由轴对称的性质知∠A′DE=∠ADE=34°, ∴∠A′DB=180°-2×34°, ∴∠A′DB=180°-2×34°=112°,故选B;

2(x>0)图象 x

22(如图所示),因为函数y=2x-x和y=的图象在第一 x

22象限内无交点,因此,方知2x-x=无正数根,故选A. x

222另解:令2x-x=0,解得x1=0,x2=2,易知方程2x-x=的 x10.提示,分别画出函数y=2x-x和y=2

正数解x的值的范围应是0<x<2,而此时2x-x=-(x-1)+1≤1,

无正数解。

二、填空题:

11.10;12.60°或120°;13.222>1,因此,原方程x13;14.;15.16;16.24<x<38;17.-

18.130. 24

11.-10,提示:

+3〔-?〕=2+3(-4)=2-12=10;

12.60°或120°,提示:作⊙O径AB,连结AC,则在△ABC中,AB=4,BC

4

∠C=90°,∴∠A=60°,设BC所对的圆周角为∠P.当∠P的顶点P在BAC上时,∠P=∠A=60°,当∠P的顶点P在劣弧BC上时,∠P+∠A=180°,∴∠P=120°; 11,提示:画出树状图求解,答案为; 22

314.,提示:延长AD到E,使DE=AD=2,连结BE,则△BDE≌△CDA, 4

BE3∴BE=AC=3,又AE=4,AB=5,显然△AEB为Rt△,∠E=90°,∴tan∠BAD==; AD413.

15.16,提示:设自始至终需x小时,由于每个工人的装卸速度相同,且工作时间是等差递减的,因此,这些工人的装卸时间的平均数为

方程11·(x+x);于是得: 2411·(x+x)=10. 24

16.24<x<38,提示:分别求线段AB、BC与线段OD的交点的横坐标.

17.6. 提示:∵a<3,b>3,∴a-3<0,b-3>0,∴(a-3)(b-3)<0,

∴ab-3(a+b)+9<0,又∵a+b=k-1,ab=3,代入上述不等式,得3-3(k-1)+9<0, 解得k>5.

x?y?z?3018.130,提示:由?用x来表示y、z,得y=40-2x,z=x-10, ??3x?y?z?50

40?2x??又由y≥0,z≥0,得?解得10≤x≤20,又把y=40-2x,z=x-10代入M=5x+4y+2z??x?????

得,M=-x+140,显然M是关于x的一次函数,且M随x增大而减小,所以当x=10时,M的最大值为130.

三、解答题:

19.(1)在旋转过程中,BH=CK,四边形CHOK的面积始终保持不变,其值为△ABC面积的一半.

理由如下:连结OC∵△ABC为等腰直角三角形,O为斜边AB的中点,CO?AB; ∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB,又 ∵∠COK与∠BOH均为旋转角,

∴∠COK=∠BOH=?,∴△COK≌△BOH,

?S△ABC=4. ?

??(2)①由(1)知CK=BH=x,∵BC=4,∴CH=4-x,根据题意,得CH·CK=,即(4??

?-x)x=3,解这个方程得x1=1,x2=3,此两根满足条件:0<x<4所以当△CKH的面积为?∴BH=CK,S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=

时,x的取值是1或3;

②设△OKH的面积为S,由(1)知四边形CHOK的面积为4,于是得关系式: S=4-S△CKH=4-???22x(4-x)=(x-4x)+4=(x-2)+2 ???

当x=2时,函数S有最小值2,

5

∵x=2时,满足条件0<x<4,

∴△OKH的面积存在最小值,此时x的值是2.

20.(1)由于派往A地的乙型收割机x台,则派往B地的乙型收割机为

(30-x)台,派往A、B地区的甲型收割机分别为(30-x)台和(x-10)台.

∴y=1600x+1200(30-x)+1800(30-x)+1600(x-10)=200x+74000(10≤x≤30)

(2)由题意,得200x+74000≥79600,解得x≥28,

∵10≤x≤30,x是正整数

∴x=28、29、30

∴有3种不同分派方案:

①当x=28时,派往A地区的甲型收割机2台,乙型收割机28台,余者全部派往B地区;②当x=29时,派往A地区的甲型收割机1台,乙型收割机29台,余者全部派往B地区;③当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区;

(3)∵y=200x+74000中y随x的增大而增大,

∴当x=30时,y取得最大值,此时,y=200×30+74000=80000,建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,这样公司每天获得租金最高,最高租金为80000元.

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