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初二数学竞赛试卷第2试及答案201305

发布时间:2014-04-20 14:20:08  

初二数学竞赛试卷第2试

一、选择题:(每题6分,共30分.在每题给出的四个选项中,只有一个是正确的)

1.已知长度为l0cm的线段AB,以AB为直径向上作半圆,记该半圆的周长为C1;将AB两等分,分别以其一半线段为直径向上作半圆,记该两个半圆的周长之和为C2;再将AB三等分,分别以其三分之一线段为直径向上作半圆,记该两个半圆的周长之和为C3;如此继续,记k等分时各半圆周长之和为 Ck,那么随着等分数k的增加,各半圆周长之和Ck的数值 ( )

A.越来越大 B.越来越小 C.不变 D.无法判断

2.桌上放着6张扑克牌,全部正面朝下。你已被告知其中有两张且只有两张是老K,但是你不知道老K在哪个位置。你随便取了两张并把它们翻开,会出现下面两种情况:

(1)两张牌中至少有l张是老K;(2)两张牌中没有l张是老K。比较这两种情况的可能性,可知 ( )

A.(1)的可能性大 B.(2)的可能性大 C.两者一样. D.无法比较

3.有两面可绕一立轴转动的立式镜,我站在这两面镜手前的一个点上,这个点位于镜面夹角的角平分面上。若两镜面的夹角为5O°,我将可以看到自己的镜像数为( )

A.10 B.8 C.6 D.4

4.如图,平行四边形的每一个顶点都用直线与两条对边的中点

相连。这些直线所围成图形的面积是原平行四边形面积的

( )

A.四分之一 B.六分之一 C.八分之一 D.十分之一

5.有一位作家,被一个稀奇古怪的困难弄得寝食不安。他写作品写得越是接近结尾,就写得越慢。他着手写一部作品的时候,每天的完成量同余下要写的页数成比例。例如,对于某一本书来说,他写第一页用了10天时间,但写最后一页却要用50天时间。这本书的页数与他写完的天数分别为

( )

1

(每当余下要写的页数与所用的天数不是整数时,总是用进一法化为大于它且最接近它的那个整数)

A.8,130 B.7,125 C.6,120 D.5,115

二、填空题(每题6分,共30分)

6.如图所示,矩形被一些线段分割成若干块,其中有些线段的长度已知。如果这些小块可以拼成一个正方形,那么这个正方形的周长为 。(此题有误)

(第6题) (第8题)

7.数字3可以有四种方式表达为1个或几个正整数的有序和3,1+2,2+1,l+l+1,那么对于一般的正整数n,如此表达方式的个数为 。

8.如图,半径分别为r与R的两圆相交(R≥r),那么两圆不重叠部分的面积的差是 ,

9.某种产品以液剂与粉剂两种形式出售。一项市场调查表明:

1接受调查的消费者不用粉剂; 3

2 接受调查的消费者不用液剂; 7

427位接受调查的消费者既用液剂,也用粉剂;

1接受调查的消费者根本不用这种商品。 5

接受调查的消费者的人数为 。

10.张斌卖起布来了,他自定零售价比批发价高40%。但他发现,由于他所用的米尺不准确,他只赚了39%。张斌卖布时所用尺的1“米”比较标准的1米多了 。

2

三、解答题(每题15分,共60分)

11.小陈驾车从巴黎出发,在公路上匀速前进。不久,他经过一个“里程碑”(当然,事实上应叫“千米碑”),上面是个两位数。一小时后,他又经过一个里程碑,上面是与他前同样的两个数码,但左右顺序相反。又过一小时,他经过第三个里程碑,上面是个三位数,是在上述两个数码(顺序或逆序)中间再夹一个零。请问小陈的车速是多少?

12.若点P为已知相交两圆的一个交点,试过点P作一不包含公共弦的直线l(公共弦是指两圆交点间的连线段),使其被两圆截出相等的两条线段。

13.王明、李宏和赵亮参加同样系列的测试。在每一项测试中,三人的成绩均为两两相异的正整数x,y,z。每人所得的成绩总和如下:王明20分,李宏lO分,赵亮9分。若李宏在代数测试中名列第一,那么几何测试中谁列第二位?

14.现有一台天平,一个2克的砝码和一个7克的砝码,要求只使用这台天平三次,将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外,为了便于减少误差,每次分离食盐时,规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案,说明基本理由。

3

参考答案及评分意见

一、选择题(每题6分,共30分)

1.C

不管等分数为多少,各个半圆的周长之和始终为5π。

2.A

我们把这6张牌用1到6这些数字编号,并且假定5号牌和6号牌就是那两张老K。现在,我们列出从6张牌中取出两张的所有不同组合,总共有15种这样的组合: 1—2, 2—3, 3—4, 4—5, 5—6

1—3, 2—4, 3—5, 4—6

1—4, 2—5, 3—6

1—5, 2—6

1—6

注意在这15对牌中有9对包含老K(5号牌和6号牌)。既然每对牌出现的可能性都一样,这就意味着,从长远说,你每进行15次尝试就有9次至少翻出一张老K。换句话说,至少翻出一张老K的可能性是9/15,这个分数可化简为3/5。这当然优于1/2,因此本题的答案是:你至少翻出一张老K的可能性比一张老K也翻不出的可能性大。

3.C

设镜面夹角为α。物体A在每面镜子中各有一个初始镜像

A1和A1’。它们在对面的镜子中又会产生镜像,A1’的镜像为

A2,A1的镜像为A2’…….这样,一面镜子就反射出了一系列

的镜像:A1,A2,A3,…,An。另一面镜子则对称地反射出

镜像A1’,A2’,A3’,…,An’。这些镜像依次位于与角平分面所

成之夹角为α,2α,3α,…,nα的平面上。其中nα为小于或等于的最大夹角。如果nα正好等于180°,那么An和An’这两个镜像将重叠,于是总共产生2n-1个镜像。如果α在180?

1

?n

4

和180?180?180??50??之间,那么你总共会得到2n个镜像。 因为,所以总共会得到n43

6个镜像。

4.B

如图,联结平行四边形对边的中点,将这个平行四边形分成四个平行四边形。注意左上角处的平行四边形AEPH,四边形PQRS就是所求图形在AEPH中的部分。

注意到R是△ADB的两条中线的交点,因此A、R、P三点共线,且AP=3RP。

于是有S△APS=3S△RPS,,S△AQP=3S△RQP,因此SPQRS=11SPQAS=SAEPH。 36

类似的推理可用于其他三个子平行四边形,最后得到所需结论为六分之一。

5.D

既然当他只剩下一页要写完时,他一天写1/50页,那么作为一条一般规律,他每天的写作量总是余下要写页数的1/50。他一开始以每天1/10页的速度写作,这意味着这部作品一共有5页。写第一页他用了10天;第2页他以每天4/50页的速度写完,因此用了12天;第3页以每天3/50页的速度写完,用了16 天;第4页以每天2/50页的速度32

1写完,用了25天;写第5页用了50天。因此总共用了114 天,进位为115天。 612

二、填空题(每题6分,共30分)

6. 48.

容易得到这个矩形的尺寸是9×16,由此所拼成的正方形的面积为144,它的边长为12,周长为48。

7.2n-1一个有序的和a1+a2+…+aK=n,ai≥1可以用排成一行的个1被个斜杠“/”分割开的形式来表达,即111…1/11…1/11…1/…/11…1其中第1部分含a个1,第2部分含a2个1,第3部分含a3个1,……,最后的第k部分含ak个1。为了得到所有这样的表达形式(对所有的1≤k≤n),可以将n个l排成一行,在每相邻两个1之间产生的n-1个5

空位中,要么放上一个斜杠,要么不放,这样就可产生2n-1种不同的表达形式。

8.π(R2-r2)

若设两圆重叠部分的面积为S0,则两圆不重叠部分的面积分别为S1=πr2-S0与S2=πR2-S0。那么不重叠部分面积之差为S=S2-S1=π(R2-r2)所有接受调查的对象可以划分为四个部分:

A:根本不用该产品; B:只用液剂;

C:液剂与粉剂都用; D:只用粉剂。

8.735

设接受调查的消费者人数为x,则

由题意,可列方程 11121x?(?)x?427?(?)x?x 53575

解得x=735。

10.7.2毫米

若设张斌用每米1元的价格买进布,并设L是他所用尺上1“米”的实际长度。 张斌认为他是在卖l米长的布时,他实际上卖的是L米,这L米布的进价为上元,售出价为1.40元,所以他赚的利润是(1.40-L)元,从而可以列出下列方程:

39/100=(1.40-L)/L

于是解出L=1140/139=1.0072。因此实际上,他的l“米”长出了7.2毫米。

三.解答题(每题15分,共60分)

11.解:第一个里程碑上的千米数可以写成10A+B;第二个里程碑上的千米数可以写成10B+A。至于第三个里程碑上的千米数,则必为以下两者之一:100A+B或100B+A。由于小陈匀速行驶,故而第一、二两个里程碑之间的距离同第二、三两个里程碑之间的距离相等。于是第三个里程碑上的百位数最大只能是1,(评分4分)这是因为9l+(91-19)=163。又由于A是第一个里程碑上的十位数,它必定小于第二个里程碑上的十位数,所以只能100A=100。于是可以列出方程:(10B+1)-(1 0+B)=(1 00+B)-(10B+1) 解出B=6。(评分4分)故这三个里程碑上的数字分别是:16、61、106。(评分各1分,6

共3分)小陈的车速为每小时45千米。(评分4分) 12.如图,观察所需要的结果,注意到点Ql可以看成是点Q2以P为中心旋转180°而得到的。因此点Q1既在圆O1上,也在圆O2以点为P中心旋转l80°所得的图形上,这个图形与圆O2大小相同,且与圆O2相切于点P。

13.不妨假设x>y>z≥1,记N为测试的项数,据题意(系列测

试)知N>1,且有(x+y+z)N=20+10+9=39。因x+y+z≥3+2+1=6, (评分2分)知N≤6(评分2分),又因N整除3 9,所以N=3(评分2分),x+y+z=1 3(评分2分) (x,y,z≥1)。于是两两相异的整数x,y,z可能为

(x,y,z)=(1 0,2,1):(9,3,1),(8,4,1),(8,3,2),(7,5,1),(7,4,2),(6,5,2),(6,4,3)

基于王明的总分为20 ,只有(8,4,1)是可能的,(评分2分)删去其他情况。因此李宏的代数测试成绩为8,4,1中的最大值8。这样阿题就转化为填空下列表格,使得每一行都为8,4,1这三个成绩,三列的总和分别为20,10,9

容易找到问题的唯一解(评分3分)

7

因此赵亮在几何测试中位列第二。(评分2分)

14.此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况,可将指定重量分为2份,它们的重量之差(克数)仅限于:0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型:

?0或2 (N偶数)?x?y?N, k?,x、y为整数 (评分:第一种2分,第二种???x-y?k?5或7或9 (N奇数)

32发)

从而可得下列5种解决方案

(评分:每个方案各2分,共10分)

而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码,则还可以得到其他的解决方案(略)。

8

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