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初中数学联赛初赛试题(模拟)201305

发布时间:2014-04-20 14:20:09  

初中数学联赛初赛试题(模拟)

(3月24日上午9:00—11:00)

一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)

1.若a,b为实数,满足1?a1?b=,则(1+a+b)(1-a-b)的值是( ). 1?a1?b

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

2.设p是正奇数,则p2除以8的余数等于( ).

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7

3.已知△ABC中,AB=AC=4,高AD=4,则△ABC的外接圆半径是( ).

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

24.设a,b是整数,方程x+ax+b=0的一根是4?23,则a+b的值是( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

5.工地上有甲、乙二块铁板,铁板甲形状为等腰三角形,其顶角为45°,腰长为12cm;铁板乙形状为直角梯形,两底边长分别为4cm、10cm,且有一内角为60°.现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过,结果是( ).

(A)甲板能穿过,乙板不能穿过 (B)甲板不能穿过,乙板能穿过

(C)甲、乙两板都能穿过 (D)甲、乙两板都不能穿过

26.设抛物线y=x+kx+4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立

的是( ).

22222222(A)x1+x2=17 (B) x1+x2=8 (C) x1+x2<17 (D) x1+x2>8

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)

1.已知不等式ax+3≧0的正整数解为1,2,3,则a的取值范围是2.如图,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点, DC且△ADM为等边三角形,则S△CDM:S△ABM

3.有一种产品的质量要求从低到高分为1,2,3,4共四种 M不同的档次.若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次) A

B的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,

每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大,车间应生产第 种档次的产品.

224.方程2x+5xy+2y=2007的所有不同的整数解共有 组.

三、(本大题满分20分)

已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(,+2),B(-1,),C(c,2-c).

求a+b+c-ab-bc-ca的值.

四、(本大题满分25分)

如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点,

延长线交⊙O于E,DE交BC于N.求证:BN=CN.

1 222AM的

五、(本大题满分25分)

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.

按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)

参考答案及评分细则

一、选择题(本大题满分42分,每小题7分,共42分).

1、C;2、A;3、D;4、B;5、A;6、D.

二、填空题(本大题满分28分,每小题7分,共28分).

1、-1≦a<-3; 2、2; 3、3; 4、4. 4

三、(本大题满分20分). 解:由条件知,+2=3a+b,且= -a+b,解得a=3-1,b=23-1. 5分

于是2-c=ac+b=(3-1)c+(2-1),解得c=-2 10分

因此,a -b= -3,b-c=+1,c-a= -1;

∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=

=1〔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2〕 221〔(-23)+(23+1)+(-1)〕=4+2 . 20分

四、(本大题满分25分)

证明:连结AC和BD,

∵弦CD垂直于直径AB,

∴BC=BD. 5分

∴∠BCD=∠BDC.

∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.

∵∠BDC=∠OAC,∴∠BCD=∠OCA.

∴△BCD∽△OCA. ∴BCBCD= 15分 COCA在△CDN和△CAM中,

∵∠DCN=∠ACM,∠CDN=∠CAM,

∴△CDN∽△CAM; 20分

2

CNCDCBCB===, CMCACO2CM

1∴CN=CB,即BN=CN. 25分 2∵

五. (本大题满分25分)

一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.

按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)

解:由于甲、乙都非常聪明,他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到

2,3,4,…,2006中有1002个奇数,有1003个偶数;

(1)若裁判擦去的是奇数,此时乙一定获胜.

乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,故乙胜; 10分

(2)若裁判擦去的数是偶数,此时甲一定获胜。

设裁判擦去的数是2m,则将所剩的数配成1002对:(2,3),…,

(2m-2,2m-1),(2m+1,2m+2), …,(2005,2006).

这样,不管乙取哪一个数,甲就去所配数对中的另一个数,这样最后剩下的两数必然互质,故甲胜. 20分 所以,甲获胜的概率为

1003. 25分 2005

3

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