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对一道华杯数学竞赛题的解答

发布时间:2014-04-20 14:25:48  

对一道华杯数学竞赛题的解答

以下题目是2011年4月份“华罗庚杯”全国数学联赛决赛(小学六年级组)广州赛区的最后一道压轴题,据说能做出此题,即使其它题目不做,也会得“华杯”一等奖。

题目:有两个最简分数,差是六分之五,两个分子的最大公约数等于他们的差,两个分子的最小公倍数是1050,问这两个最简分数是多少?

我的答案: 75/34和70/51。

推导过程:

1、设两个分数的分子分别为a(m+1)和am,a为它们的最大公约数,m为自然数,则其最小公倍数为

am(m+1)=1050.而1050写成一个数与两个连续自然数的乘积有4种写法:175x2x3、35x5x6、25x6x7、5x14x15.

所以a可能的值有4个:175、35、25、5.

2、再设两个分母分别b和c,两个分数的差为:a(m+1)/b - am/c=a[(c-b)m+c]/bc.它的绝对值等于5/6.

a和b及a和c必须互质,否则就不是最简分数了.若a=175、25或35,那么bc必然是5或7的倍数(否则差值就不是5/6了),

而这与a和b及a和c互质的前提相矛盾.所以a=5.两个分数分别为75/b和70/c.

3、由75/b - 70/c =5/6或-5/6求b和c

若75/b - 70/c =5/6,可得:b=90 - 84x90/(c+84)

由于b不能是3或5的倍数,所以84x90/(c+84)也不能是3或5的倍数.再由84x90=3x3x3x5x7x8可知

c+84=3x3x3x5=135,那么c=51,b=34.

若75/b - 70/c =-5/6,同样可推出此时b和c无解.所以75/34和70/51是唯一解.。

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