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2013全国数学联赛初中数学试题

发布时间:2014-04-21 10:55:58  

2013全国数学联赛

初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

?a?2b?3c?0,ab?bc?ca1.设非零实数a,b,c满足?则2的值为( ). 222a?3b?4c?0,a?b?c?

11(A)? (C) (B)0 (D)1 22

2.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根x1,x2,则下列关于x的一元二次方程中,以

(A)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

(C)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

11,为两个实根的是( ). 22x1x2(B)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 (D)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定是有理数...的为( ).

(A)OD

(C)DE

4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC?4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( ).

(A)3

(C)6

5.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:

x?y?3x3y?3x2y2?xy3?45(第3题)

(B)OE (D)AC (B)4 (D)8 (第4题)

?x?1???y?1?33?60,

且x?y?z??x?y??z,则2013?2012??3?2的值为( ).

(A)

607 967(B)1821 967(C)5463 967(D)16389 967

二、填空题

6

.设a?b是a2的小数部分,则(b?2)3的值为.

7.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线

BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3,

4,5,则四边形AEFD的面积是

8.已知正整数a,b,c满足a?b2?2c?2?0,3a2?8b?c?0,

则abc的最大值为

(第7题)

9.实数a,b,c,d满足:一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a,b,一元二次方程x2?ax?b?0的两根为bcd)c,d,则所有满足条件的数组(a,,,为.

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了支圆珠笔.

三、解答题

11.如图,抛物线y?ax2?bx?3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴

1交于点C,且OB=OC=3OA.直线y??x?1与y轴交于点D. 3

求∠DBC?∠CBE.

(第11题)

12.设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,C,H,O共圆,对于所有的△ABC,求?BAC所有可能的度数.

13.设a,b,c是素数,记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,

当z2?y,

时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.

14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,…,an,满足对任意

一个正整数m,在a1,a2,…,an中都至少有一个为m的魔术数. ?2

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