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第6讲 数列求和

发布时间:2014-04-21 13:18:04  

第6讲 数列通项与求和

一.基础知识回顾

1.求数列的通项:(1)数列前n项和Sn与通项an的关系:

??S1, n=1,an=? ?Sn-Sn-1, n≥2.?

(2) 等差数列通项公式an=____________,推导方法:____________;

(3) 等比数列通项公式an=____________,推导方法:____________.

2.求数列的前n项的和:(1)公式法

①等差数列前n项和Sn=____________=________________,推导方法:____________;

?? ,q=1,②等比数列前n项和Sn=?推导方法: ? = ,q≠1.?

③常见数列的前n项和:

a.1+2+3+?+n=__________;b.2+4+6+?+2n=__________;

c.1+3+5+?+(2n-1)=______;d.12+22+32+?+n2=__________;

e.13+23+33+?+n3=__________________.

(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

(3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.

常见的裂项公式有:

11111111①-=(n+1n. ?)n?n+1?nn+1?2n-1??2n+1?22n?12n?1nn+1

(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(5)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.

二.典例精析

题型一:求通项公式

例1:已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1) (n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)求数列{bn}的通项公式bn;

变式迁移1:设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

题型二:公式法求和

例2:根据数列{an}的通项公式,求其前n项和Sn

(1) an=10n-1;(2)an =n(n+1).

变式迁移2:已知数列{log2(an -1)},n∈N*为等差数列,且a1=3, a3=9.

(1)求数列{ an }的通项公式;

1111++…+=1-n(2)证明: a2-a1a3-a2an+1-an2

题型三:裂项相消法求数列和

例3:正项数列{an}满足:a2n-(2n-1)an-2n=0.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)令bn=1{bn}的前n项和Tn. (n+1)an

变式训练3:等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设bn=1{bn}的前n项和Sn.nan[来源学

题型四:错位相减法求数列和

例4:设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.

(1)求数列{an}的通项公式;

bbb1(2)若数列{bn}=1-n∈N*,求{bn}的前n项和Tn. a1a2an2

1变式训练4:已知数列{an}的前n项和Snn2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值为8. 2

(1)确定常数k,并求an;

?9-2an?(2)求数列?的前n项和Tn. ?2?

题型五:分组求和法

例5:求和:Sn=1+11+111+…+11…1;

变式迁移5:求和:11+103+1 005+10 007+…+[10n+(2n-1)]

三.方法规律总结

1.在利用并项转化求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果却往往可以用一个公式来表示

2.求数列的通项:(1)公式法:例如等差数列、等比数列的通项;(2)观察法:例如由数列的前几项来求通项;(3)可化归为使用累加法、累积法;(4)可化归为等差数列或等比数列,然后利用公式法;(5)求出数列的前几项,然后归纳、猜想、证明.

3.数列求和的方法:一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.

3.求和时应注意的问题:(1)直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程.

(2)注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和.

四.课后作业练习

51.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1且a4与2a7的等差中项为,4

则S5等于 ( )

A.35 B.33 C.31 D.29

2.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是其前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为

( )

A.-1 B.1 C.±1 D.0

3.已知等比数列{an}的公比为4,且a1+a2=20,设bn=log2an,则b2+b4+b6+?+b2n等于

( )

A.n2+n B.2(n2+n) C.2n2+n D.4(n2+n)

Sn7n+2a54.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,若=,则= Tnn+3b5

( )

6537729 C. 128134

15.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于 ( ) n?n+1?

511A.1 6630

an-1-anan-an+16.如果数列{an}满足a1=2,a2=1且 (n≥2)则此数列的第10项( ) anan-1anan+1

1111 22105

2n-17.数列1,1+2,1+2+4,?,1+2+2+?+2,?的前n项和Sn>1 020,那么n的最小

值是 ( )

A.7 B.8 C.9 D.10

1118.数列1,4710项的和为________. 248

9.数列{an}的前n项和为Sn且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,?),则log4S10=__________.

110.已知数列{an}满足a1=1,a2=-2,an+2=-26项的和为________. an

11.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=____________.

12.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*).

(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},试证明数列{an}是等差数列;

(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},试求数列{bn}的前n项和Sn.

113.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=nan+an-c(c是常数,n∈N*),a2=6. 2

(1)求c的值及数列{an}的通项公式;

1111(2)证明. a1a2a2a3anan+18

14.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)记Tn=anb1+an-1b2+?+a1bn,n∈N*,证明Tn+12=-2an+10bn(n∈N*).

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