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16. 初

发布时间:2014-04-22 13:58:35  

初一数学尖子班 7 年级

第6讲 三角形的边

知识总结归纳

一. 三角形三边的关系

(1)三角形的两边之和大于第三边;

(2)三角形的两边之差小于第三边.

二. 验证三条线段能否构成三角形的方法

只需要判断最长边是否小于其余两边之和即可,没有必要去验证所有的不等式.

三. 三角形的稳定性

(1)三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性;

(2)四边形等不具有稳定性.

四. 与等腰三角形相关的边长问题

题目如果没有指明腰或底是哪条线段,则需要分类讨论,避免漏解.

典型例题

一. 三角形三边的关系

例题1 现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组

成的三角形的个数是多少?

例题2 有长度为下列数值的几组线段:

22 111111,,;(4)2,2,2. 345354(1)3,4,5;(2)3,4,5;(3)其中哪几组能组成三角形?

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例题3 以下列长度的三条线段为边,能构成三角形的有哪些?并说明理由.

222(1)3,6,1;(2)3,5,8;(3)a?3,a?4,a?5(a?0);

(4)三线段长度之比为4:5:6;(5)3a,4a,5a(a?0).

例题4 一个三角形的两边长分别是3和8,第三边的长为奇数,则第三边的长为多少?

例题5 已知一个等腰三角形的两条边分别为3.5cm、7cm,那么这个三角形的周长是多少?

例题6 三角形的三边长分别是5和11,则此三角形的周长l的取值范围是多少?

例题7 一个三角形的三边长分别是三个连续的自然数,则符合条件的自然数中,周长最小的一组是多

少?

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例题8 三角形的最长边等于10,另两条边的长分别为x和4,周长为C,求x和C的取值范围.

二. 与边长相关的计算和求值

例题9 等腰三角周长为24cm,其中两条边长的比为3:2,求该等腰三角形的三边长.

例题10 在等腰?ABC中,AB?AC,一腰上中线BD将三角形周长分为21和12两部分,求这个三

角形的腰长及底边长.

例题11 已知a、b、c为?ABC的三边,化简:a?b?c?b?a?c.

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例题12 已知a、b、c分别是?ABC的三边长,且b、c满足(b?2)2?c?3?0,a满足a?4?2.

(1)求?ABC的周长;(2)判断?ABC的形状.

例题13 等腰三角形中的两边的比为3:5,第三边长为15cm,求这个等腰三角形的周长.

例题14 三角形三条边长的比是3:5:7,求三条边上的三条高的比.

三. 三角形的稳定性

例题15 要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少要钉上几根木条?五边形木架和六边形木架

呢?

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四. 与三角形相关的计数问题

例题16 三角形三边的长都是正整数,其中最长边的长为10,这样的三角形有多少种?

例题17 已知三角形的三条边a、b、c的长都是整数,且a?b?c,如果b?7,则这样的三角形共

有多少个?

例题18 周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?

例题19 将长度为24的一根铅丝折成各边均为整数的三角形,记(a,b,c)为分别为a,b,c且

a?b?c的一个三角形.

(1)试尽可能多地写出满足题意的(a,b,c);

(2)你能否提出更进一步的问题?

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例题20 如图,加油站A和商店B在马路MN的同一侧,A到MN的距离大于B到MN的距离,

AB?7m,一个行人P在马路MN上行走.问:当P到A的距离与P到B的距离之差最大时,这个差等于多少米?

A

例题21 已知M是?ABC内一点,求证:AB?AC?MB?MC.

P N

例题22 已知P为?ABC内任一点.

(1)AB?BC?CA与2(PA?PB?PC)哪个大?证明你的结论;

(2)AB?BC?CA与PA?PB?PC哪个大?证明你的结论.

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初一数学尖子班 7 年级 例题23 不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长度也是整数,那么这条高

的长度等于多少?

例题24 7条长度均为整数的线段a1,a2,…,a7满足a1?a2???a7,且这7条线段中的任意三

条都不能构成三角形,若a1?1,a7?21,求a6.

例题25 已知?ABC的两条高线的长分别为5、20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的

最大值为多少?

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作业

1. 有长度为下列数值的几组线段:

(1)4,5,6;(2)

2. 已知a、b、c是三角形的三边,且满足(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0,试判断这个三角形的

形状.

3. 若三角形的周长是偶数,其中有两边的长是2和5,则这个三角形是什么三角形?(按边分类) 111,,;(3)三线段之比为3:4:7. 456

4. 一个等腰三角形两边的长分别是4和9,那么这个三角形的周长是多少?

5. 若三角形的三边长为3,4,x?1,那么x的取值范围是多少?

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6. 在等腰?ABC中,AB?AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分,则这

个等腰三角形的底边长是多少?

7. 三角形三边的长都是正整数,其中最长边的长为11,这样的三角形有多少种?

8. 已知三角形的三条边a、b、c的长都是整数,且a?b?c,如果b?8,则这样的三角形共有多

少个?

9. 周长为28,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个? 初一数学尖子班 7 年级

10. 有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9(单位:cm)的细木棒各1根,利用它们(允

许连接加长但不允许折断)能够围成多少种周长不同的等边三角形?

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