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初中奥数辅导--巧用一个公式解竞赛题例谈

发布时间:2014-04-22 13:58:38  

巧用一个等式

公式
1 a2+b2+c2-ab-bc-ca= [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2] 2

例1.(2004年北京)如果a+2b+3c=12, 且a2+b2+c2=ab+bc+ca 则 a+b2+c3= ( B ) A.12 B.14 C.16 D.18

解:由已知,可得 a=b=c,从而,知 a=b=c=2, ∴原式= 2+22+23=14.

例2.(2005年四川)已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3 , 则 a2005 +b2005 +c2005 的值是( B ) A.0 B.3
22005 C. 22005 D. 3·

2 解:∵a+b+c=3, ∴ (a+b+c) =9

∴ 3(a2+b2+c2)-(a+b+c) 2=0 即 (a-b)2+(b-c) 2+(c-a)2=0 ∴a=b=c

又 a+b+c=3
∴a=b=c=1.

例3.(1994年全国联赛)设a,b,c是不全相等的任意实数,
若 x=a2-bc,y=b 2-ca,z=c 2-ab, 则x,y,z ( D ) A.都不等于0 C.至少有一个小于0 B.都不大于0 D.至少有一个大于0

解: X+Y+Z=a 2+b2+c2-ab-bc-ca 1 = [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a)2] 2

例4.(2002年全国)已知a=1999x+2000, b=1999x+2001,
2 2 2 c=1999x+2002,则多项式 a +b +c -ab-bc-ca 的值为( D )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

?? 2 例5.(2002年全国)设a,b,c为实数,且 x=a -2b+ 3 ? ? 2 2 y=b -2c+ z=c -2a+ ,则x,y,z中,至少有一个值( A ) 2 6
A.大于0 B.等于0 C.不大于0 D.小于0

例6.(1989年南昌)a,b,c是⊿ABC的三条边,且满足 等边 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 ,则⊿ABC的形状是______
三角形.

例7.(第8届江苏)已知x-y=a,z-y=10,则代数式

x2+y2+z2-xy-yz-zx 的最小值为( A )
A.75 B.80 C.100 D.105

x2+y2+z2-xy-yz-zx=

1 2 [a +102+(10-a)2] 2 = (a-5) 2+75

例8.(1999年天津)如图,立方体的每个面上都有一个 自然数.已知相对的两个面上的两数之和都相等,如果 13,9,3的对面的数分别是a,b,c, 试求
a2

+

b2

+

c2

- ab-bc-ca的值. 13
(c-a)2 〕

3 9

由题意,得a+13=b+9=c+3,
则 a-b=-4,b-c=-6,c-a=10
1 2

∴原式=


1

(a-b) 2

+

(b-c)2+

=

〔 2

(-4)2

+

(-6)2

+

10 2



=76

例9.(1997年山东)设a,b,c为互不相等的非零实数, 求证:三个方程

ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0
不可以都是两个相等的实数根. 证明:若题中方程都有两个相等的实数 根,则有

b2-ac=0,c2-ab=0,a2-bc=0

a2+b2+c2-ab-bc-ca 1 = [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2] 2 =0

但由题意知上式应大于0,此矛盾证明本 题结论成立.

例10.(第2届美国邀请赛)解方程组 x+y+z=3

x2+y2+z2=3 x5+y5+z5=3
2 2 2 解:由已知①②,易得 2x +2y +2z -2xy-2yz-2zx=0

∴ (x-y) 2+(y-z) 2+(z-x) 2=0
∴x-y=0,y-z=0,z-x=0 ∴x=y=z.代入①,得x=y=z=1, 又x=y=z=1满足③, 原方程组的解为 x=y=z=1.


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