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初中奥数辅导--牛吃草问题--方程组的试题

发布时间:2014-04-22 13:58:41  

“牛吃草”问题

1.(第8届希望杯)有一片牧场,草每天都匀速地生长(草每 天增长量相等).如果放牧24头牛,则6天吃完牧草;如果放 牧21头牛,则8天吃完牧草.假设每头牛吃草的量是相等的.
问:(1)如果放牧16头牛,几天可以吃完牧草? (2)要使牧草永远吃不完,最多放牧几头牛? 解:(1)设牧场原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛 每天吃草量为c,x天16头牛可吃完牧草. 则 a+6b=24×6c (2) 设至多放牧 y头牛, a+8b=21 ×8c

b=12c,a=72c

则 a+bx=yxc, a+xb=16xc
从而 , 72c+12cx=yxc 解得 b=12c,a=72c, 代入,可得 x=18 72 ∴ y= +12 > 12. x 故至多放牧12头牛.

2.(1999年江苏)山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即 单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌, 现池塘中有一定深度的水,若用1台A型抽水机,则1小时 后正好能把池塘中的水抽完;若用2台A型抽水机,则20分 钟正好能把池塘中的水抽完.
问:若用3台抽水机同时抽,则需要多长时间恰好把 池塘中的水抽完?
解:设泉水每分钟流进池塘里的水为x立方米,每台 抽水机每分钟抽水y立方米,池塘里原有水z立方米, 三台抽水机抽完池塘里的水需要t分钟, 由题意,得 1×60y=z+60x 2×20y=z+20x 3ty=z+tx

解得 从而

y=2x,z=60x, t=12

3.(1999年全国竞赛)江堤边一洼地发生了管涌,江水不 断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水 机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟 可抽完;如果要在10分钟内抽完水,那么至少需要抽水 6 台. 机___ 解:设开始抽水前已有水量为a,每分钟涌水量为b,每 分钟每台抽水机抽水量为c,并设x台抽水机抽完水需t 分钟. 则 a+40b=2×40c
a+16b=4×16c a+tb=xtc 解得

160 代入,得 t= 3x-2
∴x≥6.

b=2/3c,a=160/3c
≤10.

4.(2001年广州)在车站开始检票时,有名旅客在候车室等候 进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定 的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅 客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需10分钟便可将排队 等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等 候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随 检,至少要同时开放几个检票口?
解:设每分钟旅客进站人,检票口每分钟检票人,并设至少要同 时开放个检票口. 则 a+30x=1×30y a+10x=2×10y 解得 y=2x,a=30x.

a+5x≤5ny
∴30x+5x≤5n·2x 解之,得n≥3.5

∵n为整数, ∴n=4.

5.(1999年绍兴)某水库的水位已超过警戒线,上游河水 仍以每秒a立方米的流量流入水库,为了防洪,需打开放 水闸.假设每个闸门均以每秒( a2-3 )立方米的流量放 水.经测算,若打开一个闸门,15小时可将水位降至警戒 线;若打开两个闸门,5小时可将水位降至警戒线. 求a的值.

解:依题意,得 3600×15a=1×3600×15( a2-3 ) 3600

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