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初中奥赛辅导系列----面积问题

发布时间:2014-04-23 14:07:45  

面积问题

面积问题
等底等高的两个三角形面积相等

底相等的两个三角形面积的比等于对应高的比
高相等的两个三角形面积的比等于对应底的比

S1 S 2 S1 S4

S1

S3
S2

S2

S1

S4 S3

S2

S3

S2

S1

S1

S4
S3

S2

1、△ABC是等腰直角三角形,它的面积是8cm2 ,以斜

边BC为边作正方形EDCB,求正方形EDCB的面积.

A
解:设AB=2a 则S△ABC S正EDCB =2a×2a÷2=2a2 =BC2

B

C

O
E
△ABC

又BC2=(2a)2+(2a)2=4×2a2=4S ∵S△ABC=8

D

∴S正EDCB =32(cm2)

2、 G为边长为4的正方形ABCD边上一点,矩形DEFG的

边EF过A点,已知GD=5,求FG=?
解:连结AG.

E A F D

∵S正方形ABCD =2S△ADG
S矩形DEFG =2S△ADG

∴S正方形ABCD = S矩形DEFG
∴42=5×FG ∴FG=3.2

B G

C

3、ABCD是平行四边形,E在AC上,AE=2EC,F在AB上, BF=2AF,如果△BEF的面积是2平方厘米,则 面积是 ABCD的

9

平方厘米.

A D

F E C

B

S△ ABE AB 解 :? ? S△ BEF BF

S△BEF ? 2, BF ? 2 AF ? S△ ABE ? 3 S△ ABE AE 3 ? ? , AE ? 2 EC ? S △ BEC ? S△ BEC EC 2
? S△ ABC ? S△ ABE ? S△ EBC

9 ? 平行四边形ABCD的面积 ? 2 ? ? 9 2

3 9 ? 3? ? 2 2

4、把△ABC的各边按顺时针方向延长一倍,得△DEF,

F

求证:S△DEF=7S△ABC

解 : 连结CD,因B为AD中点 E ? S△BCD ? S△ABC
同理 : S△FED ? 2S△ECF

A

C

B D

? C为EB中点,? S△BED ? 2S△BCD ? 2S△ ABC
S△FAD ? 2S△ ABC

? S△FED ? S△ECF ? S△FAD ? S△ABC ? S△EBD

? 2S△ ABC ? S△ ABC ? S△ ABC ? 2S△ ABC ? 7 S△ ABC

5、在△ABC中,BD和CE是两边上的中线,并且 BD⊥CE,BD=4,CE=6,求△ABC的面积.

S四BCDE

1 ? BD ? CE 2

A E

1 ? ? 4 ? 6 ? 12 2

x

D C

x ? 12 ? 4 x

x?4

B

?△ ABC的面积是16

6、已知△BOF,△AOF,△BOD,△COE的面积分别是

30,40,35,84,求△ABC的面积

A F D
40

40 30 ? x ? 84 35 ? y

x E
84

x ? 84 40 ? 30 ? y 35

B

30 35

O y

C

解得x ? 56, y ? 70
?△ABC的面积是315

7、已知:△ABC中, ∠ACB=90ο ,AB=c,BC=a,AC=b

求证:AB2=AC2+BC2
证明:作四个形状大小与:△ABC 相同且两直角边分别为a,b.斜边

A

E

a
M

H
Q P N

为c的直角三角形
按右图拼合成正方形EFGH

C

B F

G

则S正EFGH =4S
∴S正EFGH =c2 ∴C2=2ab+(b-a)2 ∴AB2=AC2+BC2

△ABC

+S正MNPQ
=2ab S正MNPQ =(b-a)2 ∴a2+b2=c2

4S

△ABC

8、已知:△ABC中, ∠ACB=90ο ,求证 G :AB2=AC2+BC2
证明:以△ABC的三边为边向 外作正方形AFDB,正方形

BCHM,正方形ACGF.作CK⊥DE
于K,交AB于N.连CE.BF

F

H

C
A B

M

则△ABF绕A旋转后与△ACE重合

∴S△ABF=S△AEC ∵S正方形ACGF =2S△ABF S四边形AEKN =2S△ACE ∴S正方形ACGF =S四边形AEKN 同理:S正方形BCHM =S四BNKD

N

E

K

D

∴S正ABDE =S正ACGF +S正BCHM ,即:AB2=AC2+BC2

ο 9、△ABC中, ?ACB ? 90 , CD ? AB, 求证: c ? h ? a ? b

证明 : ? ?ACB ? 90 , CD ? AB
ο

C

? S△ ABC
2


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