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2012年第四届大学生数学竞赛试题及答案(非数学类)

发布时间:2013-09-26 17:01:36  

: 业 专 :号 位 座 生 线 考 封 :校 院 在 所 密 : 号 证 考 准 : 名 姓 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类,2012) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分14 100 得 分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够,可写在当页背面,并标明题号. 得 分 一、(本题共5小题,每小题各6分,共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤). 评阅人 1(1) 求极限nlim(→∞n!)n2; (2) 求通过直线L:??2x+y?3z+2=0的两个相互垂直的平面?5x+5y?4z+3=0π1和π2,使其中一个平面过点(4,?3,1); (3) 已知函数z=u(x,y)eax+by,且?2u?

x?y

=0, 确定常数a和b,使函数z=z(x,y)满足方程 ?2z?x?y??z?x??z?y+z=0; (4) 设函数u=u(x)连续可微, u(2)=1, 且∫(x+2y)udx+(x+u3)udy在右半平面上L与路径无关,求u(x); (5) 求极限 limxx+1x.

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二、(本题10分) : 业 专 : 号

线

生 编 考 封 :校 院 在 所 密 : 号 证 考 准 : 名 姓 得 分 评阅人

计算∫+∞0e?2x|sinx|dx.

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得 分 评阅人 三、(本题10分) 1求方程x2sin=2x?501的近似解,精确到0.001. x 第 4 页( 共 8 页)

业: 得 分 评阅人 四、(本题12分)?设函数y=f(x)二阶可导,且f′′(x)>0,f(0)=0, x3f(u)求lim,其中u是曲线y=f(x)f′(0)=0,x→0f(x)sin3u上点P(x,f(x))处的切线在x轴上的截距. 专 : 号 生编线 考 封 :校 院 在 所 密 : 号 证 考 准 : 名 姓 .

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得 分 评阅人

1 五、(本题12分) 1求最小实数C,使得对满足∫|f(x)|dx=1的连续的函数f(x),

都有∫fdx≤C.

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专 业: 得 分评阅人 六、(本题12分) 设f(x)为连续函数, t>0.区域Ω是由抛物面z=x2+y2和球面x2+y2+z2=t2所围起来的上半部分.定义三重积分 F(t)=∫∫∫f(x2+y2+z2)dv. : 号 编生线 考 封 :校 院 在 所 密 : 号 证 考 准 : 名 姓 求F(t)的导数F′(t). Ω

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得 分 评阅人 七、(本题14分) 设∑an与∑bn为正项级数,那么

n=1n=1∞∞

∞?an1??(1)若lim??>0,则∑an收敛; n→∞abbn=1n+1??n+1n

∞∞?an1?? (2)若lim??<0且∑bn发散,则∑an发散. n→∞an=1n=1?n+1bnbn+1?

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