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第四届全国大学生数学竞赛数学类决赛试题(无答案)

发布时间:2014-04-25 13:17:23  

第四届全国大学生数学竞赛数学类决赛试题及其参考解答

已有 294 次阅读 2013-3-27 10:20 |个人分类:数学|系统分类:科研笔记|关键词:数学 大学生 决赛

一、设 A 为正常数, 直线 L 与双曲线 x2?y2=2 (x>0) 所围成的有限部分的面积为 A. 证明:

1.

2. 上述 L 被双曲线 x2?y2=2 (x>0) 所截线段的中点的轨迹为双曲线; L 总是 (1) 中轨迹曲线的切线.

二、设函数 f(x) 满足条件:

1.

2. f:[a,b]→ [a,b], 其中 ?∞<a<b<∞; 存在常数 0<L<1 使得 |f(x)?f(y)|≤ L|x?y|, ? x,y∈ [a,b]. 设 x1∈[a,b], 令 xn+1=12[xn+f(xn)], n=1,2,?. 证明: limn→∞xn=x 存在, 且 f(x)=x.

三、设实 n 阶方阵 A 的每个元素的绝对值为 2. 证明: 当 n≥ 3 时,

|A|≤13? 2n+1n!.

四、设 f(x) 为区间 (a,b) 上的可导函数. 对 x0∈ (a,b), 若存在 x0 的领域 U 使得对任意的 x∈ U? {x0} 都有 f(x)>f(x0)+f′(x0)(x?x0), 则称 x0 为 f(x) 的凹点; 类似地, 若存在 x0 的领域 U 使得对任意的 x∈ U? {x0} 都有 f(x)<f(x0)+f′(x0)(x?x0), 则称 x0 为 f(x) 的凸点. 求证: 若 f(x) 是区间 (a,b) 上的二次可微函数, 且不是一次函数, 则 f(x) 一定存在凹点或凸点.

五、设

A=??a11a21a31a12a22a32a13a23a33??

为实对称矩阵, A? 为 A 的伴随矩阵, 记

f(x1,x2,x3,x4)=det????x21?x2?x3?x4x2a11a21a31x3a12a22a32x4a13a23

a33????.

若 |A|=?12, A 的特征值的和为 1, 且 (1,0,?2)t 为 (A??4I)x=0 的一个解. 试给出一正交变换

????x1x2x3x4????=Q ????y1y2y3y4????,

使得 f(x1,x2,x3,x4) 化为标准型.

六、令 R 为实数域, n 为给定的正整数, A 表示所有 n 次首一实系数多项式组成的集合. 证明:

infb∈R, c>0, P(x)∈ A1cn+1∫b+cb|P(x)|dx>0.

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