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2013数学竞赛题

发布时间:2014-04-26 14:03:00  

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

(5月5日8:00至10:00)

一.填空题:本大题共10小题,每小题7分,共70分.

1.设方程x?2mx?m?1?0的根大于?2,且小于4,则实数m的范围是

2.从6双不同号码的鞋中取出4只,至少配成一双的概率为.

3.设实数x,y满足x2?4x?y?3?0,则x2?y2的最大值与最小值之差是

4.若存在正实数a,b满足(a?bi)n?(a?bi)n(i是虚数单位,n?N),则n的最小值是 .

5.若三角形ABC的三边AB,BC,AC成等差数列,则?A的取值范围是

6.若数列?an?满足a4?9,(an?1?an?1)(an?1?3an)?0(n?N),则满足条件的a1的**22

所有可能值之积是 .

7.已知f(x)?x?94x?2013,则

260n?30??f(n)?f(n)??

s?8.设x,y??0,2??,且满足2sinxcoy

为 .

sixn?1coys?,则x?y的最大值2

9.已知正四面体ABCD的棱长为9,点P是面ABC上的一个动点,满足P到面DAB、DBC、DCA的距离成等差数列,则P到面DCA距离的最大值是

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平

方数,再过31年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 .

二.解答题:本大题共4小题,每小题20分,共80分.

(x?k)2x2

2?y?1与椭圆E2:?y2?1交于点A和11.设k为实数,0?k?6,椭圆E1:99

C,E1的左顶点为B,E2的右顶点为D(如图),若四边形ABCD是正方形,求实数k.

12.如图,梯形ABCD中,B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、D',A、C关于

对角线BD对称的点分别是A'、C'.证明:四边形A'B'C'D'是梯形.

13.设实数a,b满足0?a?1?b?1.证明:2(b?a)?cos?a?cos?b. 2

14.正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰

梯形的顶点.

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