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初中数学联赛试卷及答案201318

发布时间:2014-04-27 13:52:41  

初中数学联赛试卷及答案

2008年4月13日上午8:30—9:30

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1、设a + 1 = 3 a,b + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式2211+的值为( ) a2b2

(A)5 (B)7 (C)9 (D)11

2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,

EF = 3,则线段BE的长为( )

(A)FE

182124 (B)4 (C) (D) 555

3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第B

一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是( )

(A)1321 (B) (C) (D) 51052

4、在△ABC中,∠ABC = 12°,∠ACB = 132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则( )

(A)BM > CN (B)BM = CN (C)BM < CN (D)BM和CN的大小关系不确定

5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为( )

(A)(93999) (B)() 4 (C)() 5 (D) 8888

6、已知实数x,y满足( x

y

则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为( )

(A)– 2008 (B)2008 (C)– 1 (D)1

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) NAMa5?a4?2a3?a2?a?21、设a

= 。 a3?a2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上

的两点,且

AM =MAN = 135°,则四边形AMCN的面积为 。

3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = 。 1

4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 。

答案: B、D、C、B、B、D;– 2、

251、、1。 222解答:一、1、由题设条件可知a – 3 a + 1 = 0,b – 3 b + 1 = 0,且a ≠ b,

所以a,b是一元二次方程x – 3 x + 1 = 0的两根,故a + b = 3,a b = 1, 2

11a2?b2(a?b)2?2ab32?2?1因此2+2=22=== 7; 22abab1(ab)

2、因为AD,BE,CF为△ABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,

于是△AEF∽△ABC,故AFEF334==,即cos∠BAC =,所以sin∠BAC =。 ACBC555

424在Rt△ABE中,BE = AB sin∠BAC = 6 ×=; 55

3、能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个,所以所组成的数是3的倍数的概率是82=; 205

1( 180° – 12° ) = 84°, 24、∵∠ABC = 12°,BM为∠ABC的外角平分线,∴∠MBC =

又∠BCM = 180° –∠ACB = 180° – 132° = 48°,∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°,∴BM = BC,又∠ACN =11( 180° –∠ACB ) =( 180° – 132° ) = 24°,∴∠BNC = 180° –∠ABC –∠BCN = 180° 22

– 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC,∴CN = CB,因此,BM = BC = CN;

5、容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。

设5种商品降价前的价格为a,过了n天,n天后每种商品的价格一定可以

9k8n – k) ? () ,其中k为自然数,且0 ≤ k ≤ n,1010

9898要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为:a ? () i ? () n – i,a ? () i + 1 ? () n – i – 1,10101010

989898a ? () i + 2 ? () n – i – 2,a ? () i + 3 ? () n – i – 3,a ? () i + 4 ? () n – i – 4, 101010101010表示为a ? ( 1 – 10% ) k ? ( 1 – 20% ) n – k = a ? (

98a?()i?4?()n?i?49其中i为不超过n的自然数,所以r的最小值为= () 4; 8a?()i?()n?i

1010

2

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